李 琳，楊海洋，田 壘

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133）

Gronwall-Bellman積分不等式在分?jǐn)?shù)階微分方程中的應(yīng)用

李 琳，楊海洋，田 壘

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133）

本文主要介紹了Gronwall-Bellman積分不等式及其推廣形式在分?jǐn)?shù)階微分方程中的應(yīng)用。利用Gronwall -Bellman積分不等式及其推廣形式證明了分?jǐn)?shù)階微分方程解的唯一性，獲得了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。

Gronwall-Bellman積分不等式；分?jǐn)?shù)階微分方程；初值問(wèn)題；穩(wěn)定性

分?jǐn)?shù)微積分是任意（非整數(shù)）階微分和積分的統(tǒng)稱(chēng)。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)微積分應(yīng)用已經(jīng)被越來(lái)越多的應(yīng)用科學(xué)家及工程技術(shù)人員所青睞，其應(yīng)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣泛。在許多種情況下，分?jǐn)?shù)微積分比整數(shù)微積分更能準(zhǔn)確地描述基本現(xiàn)象。相比于整數(shù)階微積分而言，分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)于反常擴(kuò)散、電化學(xué)、粘彈性、控制科學(xué)、電磁理論等方面的應(yīng)用是更好的理論工具。隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分方程模型也大量涌現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微分方程理論及應(yīng)用的研究備受關(guān)注。Gronwall-Bellman積分不等式及其推廣形式在在整數(shù)階微分方程中對(duì)于穩(wěn)定性、一致穩(wěn)定性以及一致漸近穩(wěn)定性的分析中具有廣泛的應(yīng)用［1-2］。本文主要利用Gronwall-Bellman積分不等式及Gronwall積分不等式的推廣對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程解的唯一性進(jìn)行證明，同時(shí)獲得了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［3-4］對(duì)區(qū)間［α，b］上給定的函數(shù)f，函數(shù)f的q階（q＞0）Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

其中n=［q］+1，［q］表示q的整數(shù)部分，Γ（·）是伽馬函數(shù)。

定義2［3-4］函數(shù)f∈L1（［α，b］，R+）的q∈R+階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

定義3［3-4］對(duì)區(qū)間［α，b］上給定的函數(shù)f，函數(shù)f的q階（q→0）Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

其中n=［q］+1，［q］表示q的整數(shù)部分。

引理1［5］（Gronwall不等式）設(shè)λ為非負(fù)數(shù)，f（t）和g（t）為在區(qū)間［α，b］上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿(mǎn)足不等式

引理2［6］（Gronwall不等式的推廣）令f（t），k（t）在［0，H］上是非負(fù)的且局部可積，其中H≤+∞，g（t）是定義在［0，H］上的非負(fù)非減的連續(xù)函數(shù)，且g（t）≤M（M是實(shí)數(shù)）。當(dāng)q＞0時(shí)

2 Gronwall不等式及其推廣在分?jǐn)?shù)階微分方程中的應(yīng)用

首先利用Gronwall-Bellman積分不等式及其推廣證明分?jǐn)?shù)階微分方程解的唯一性。

定理1已知

其中1＜q＜2，Dq是R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，X=｛x（t）∶t2-αx（t）∈C［0，1］｝，x（t）∈X，f（t，x（t））∈C（［0，1］×R）且f滿(mǎn)足Lipschitz條件，則初值問(wèn)題（2）存在唯一解。

證明由文獻(xiàn)［11］知，初值問(wèn)題（2）的解存在，且初值問(wèn)題（2）的等價(jià)積分方程為

證明根據(jù)分?jǐn)?shù)階0＜q＜1的性質(zhì)，可以獲得系統(tǒng)（5）的等價(jià)Volterra積分方程

注對(duì)于分?jǐn)?shù)階中立型微分差分方程

可借助于引理3獲得有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件（參見(jiàn)［13］）。

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Applicationsof Gronwall-Bellman Integral inequality in Fractional-Order Differential Equations

LILin，YANG Hai-yang，TIAN Lei
（School of Mathematics and Computation Science，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China）

The applicationsof the Gronwall-Bellman integral inequality and itsextended form in the fractional-order differential equation aremainly introduced in this paper.Taking advantage of Gronwall-Bellman integral inequality and its extended form，we prove the uniqueness of the fractional-order differential equations and obtain the sufficient conditions of finite-time stability for a class of fractional-order differential equation with delay.

Gronwall-Bellman integral inequality，fractional-order differential equations，initial value problems，stability

O175.1

A

1007-4260（2014）03-0013-04

時(shí)間：2014-9-15 16：07 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2014.03.005.html

2014-04-19

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目（KJ2011A197，KJ2013Z186）資助。

李琳，女，安徽阜陽(yáng)人，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院碩士研究生，專(zhuān)業(yè)方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程。