王 磊，袁 泉

（1.合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽合肥 230601；2.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢 430074）

關(guān)于雙曲周期點(diǎn)與雙曲周期軌的一種等價(jià)性及其證明

王 磊1，2，袁 泉2

（1.合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽合肥 230601；2.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢 430074）

闡述雙曲周期點(diǎn)與雙曲周期軌的異同，指出雙曲周期點(diǎn)與雙曲周期軌之間的一種相互蘊(yùn)含關(guān)系，并利用微分流形上微分同胚的保維數(shù)性質(zhì)、復(fù)合微分同胚求導(dǎo)法則給予嚴(yán)格證明。

雙曲周期點(diǎn)；雙曲周期軌；雙曲直和分解

緊致度量空間中微分自映射的雙曲集是微分動(dòng)力系統(tǒng)研究的主要對(duì)象之一，不變集的雙曲性具有很多好的性質(zhì)，也是我們進(jìn)一步定義并研究雙曲不變流形、公理A系統(tǒng)以及闡述Smale譜分解定理的基礎(chǔ)［1，2］。雙曲集不但在微分動(dòng)力系統(tǒng)中占有很重要的地位，而且在研究混沌動(dòng)力學(xué)中也具有重要作用，比如著名的Smale馬蹄集就是一個(gè)一致雙曲集［3］，利用雙曲集的性質(zhì)往往可以給出混沌動(dòng)力系統(tǒng)一些復(fù)雜結(jié)果的拓?fù)鋷缀握f明，因此雙曲集至今依然是現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要方向之一［4-8］。在雙曲集中有兩個(gè)重要的研究對(duì)象：雙曲周期點(diǎn)和雙曲周期軌。這兩個(gè)對(duì)象在雙曲集的研究中扮演著很重要的角色，為許多雙曲性的深入理解提供了兩個(gè)很好的實(shí)例，是研究跟蹤引理、橫截同宿點(diǎn)理論、Ω-穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。對(duì)雙曲周期點(diǎn)大多數(shù)文獻(xiàn)都給出了嚴(yán)格定義［1，3］，但是對(duì)于雙曲周期軌大多數(shù)文獻(xiàn)并沒有直接給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，而是將其嵌在雙曲不變集的定義中［1，3］。由于雙曲集定義的復(fù)雜性［1］，這極易導(dǎo)致很多學(xué)者將這兩個(gè)概念混為一談，這有失數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。實(shí)際上，它們定義的角度和反映的動(dòng)力學(xué)目的是完全不同的，故有必要將這兩個(gè)概念做一個(gè)詳細(xì)的探究，闡明他們之間的區(qū)別與聯(lián)系。本文將在雙曲不變集的基礎(chǔ)上將雙曲周期軌的概念提煉出來，提出如下兩個(gè)自然的問題：（1）雙曲周期點(diǎn)形成的周期軌道是否為雙曲集；（2）雙曲周期點(diǎn)所形成軌道上的每一個(gè)點(diǎn)是否都是雙曲的。據(jù)我們所知，目前文獻(xiàn)中還未曾有關(guān)這兩個(gè)問題的嚴(yán)格證明或說明。本文將嚴(yán)格證明上述兩個(gè)問題的答案都是肯定的，從而徹底揭示雙曲周期點(diǎn)與雙曲周期軌之間的相互蘊(yùn)含關(guān)系。

設(shè)X為m維緊致無邊流形，具有黎曼度量，f∶X→X為一微分同胚。先給出幾個(gè)相關(guān)概念和引理。

定義1［1］（雙曲不動(dòng)點(diǎn)） p為f的不動(dòng)點(diǎn)，如果對(duì)切映射A=Df（p）∶TpX→TpX，存在TpX的一個(gè)直和分解：TpX=Es（p）⊕Eu（p），使得A在這個(gè)直和分解下?；c(diǎn)不變，即

則稱p為f的雙曲不動(dòng)點(diǎn)。

定義2［1］（雙曲周期點(diǎn)） 設(shè)p為f的k周期點(diǎn)，fk（p）=p，fi（p）≠p，?1≤i≤k-1。若p作為fk∶X→X的不動(dòng)點(diǎn)為雙曲的，則稱p為f的雙曲周期點(diǎn)。

下面給出雙曲周期軌道的嚴(yán)格定義。

定義3（雙曲周期軌） 若p為f的k周期點(diǎn)，則Orb（p）=｛p，f（p），…，fk-1（p）｝，記pi=fi（p），0≤i≤k，這里pk=p0。若對(duì)任意0≤i≤k-1，存在切空間TpiX處的直和分解Es（pi）⊕Eu（pi），使切映射滿足?；c(diǎn)不變性

注由定義2和定義3可知，雙曲周期點(diǎn)與雙曲周期軌是兩個(gè)完全不同的概念，k雙曲周期點(diǎn)p是將p當(dāng)成g=fk的不動(dòng)點(diǎn)，該不動(dòng)點(diǎn)為雙曲的，換句話說，按照雙曲不動(dòng)點(diǎn)的定義1，即存在p點(diǎn)的切空間TpX的直和分解TpX=Es（p）⊕Eu（p），使得g=fm在這個(gè)分解下不變，且Dg（p）=Dfm（p）在Es（p）上一致擴(kuò)張，在Eu（p）上一致壓縮，而對(duì)軌道中其他k-1個(gè)點(diǎn)（即Orb（p0）｛p｝中的點(diǎn)）沒有做任何要求。而雙曲周期軌要求對(duì)軌道Orb（p0）中每一點(diǎn)都有切空間直和分解，使得切映射Df（x）（x∈Orb（p））在該直和分解上具有?；c(diǎn)不變性，且在每個(gè)子空間上分別具有?；c(diǎn)一致壓縮和擴(kuò)張。由此可知，雙曲周期點(diǎn)看起來是一個(gè)“局部”的概念，而雙曲周期軌道看起來是一個(gè)“整體”的概念，要求也更加苛刻。

引理1［1］設(shè)p為f的雙曲不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于Df（p）的雙曲分解TpX=Es（p）⊕Eu（p），則存在一個(gè)關(guān)于Es（p）⊕Eu（p）的乘積型范數(shù)｜·｜及一個(gè)常數(shù)0＜τ＜1（稱為適配度），使得

下面給出主要結(jié)果及其證明。

定理1X為m維緊致無邊流形，具有黎曼度量，微分同胚f∶X→X，p0為f的雙曲周期點(diǎn)的充分必要條件為Orb（p0）為雙曲周期軌道。

證明（α）充分性的證明

設(shè)雙曲周期軌道Orb（p0）=｛p0，p1，…，pk-1｝，這里pi=fi（p），1≤i≤k-1，fk（p）=p，Orb（p0）為有限個(gè)點(diǎn)組成，作為緊致空間的子集為緊致不變集，由雙曲集的定義，對(duì)?1≤i≤k-1，存在pi的切空間的直和分解Tpi=Es（pi）⊕Eu（pi），使得

且存在常數(shù)C＞0，0＜λ＜1，使得下式成立：

特別的，考慮微分同胚g=fk∶X→X，則p為g的不動(dòng)點(diǎn)，且Dg（p）為Tp0到自身的線性映射。由復(fù)合同胚求導(dǎo)法則得

（b）必要性的證明

必要性的證明要復(fù)雜很多，分析如下。

分析p0為f的雙曲周期點(diǎn)，設(shè)Orb（p0）=｛p0，p1，…，pk-1｝，要證明Orb（p0）為雙曲周期軌道，根據(jù)定義，需要構(gòu)造Orb（p0）中任意點(diǎn)處的切空間的直和分解，使得f的微分Df作用到分解上，保結(jié)構(gòu)、?；c(diǎn)且一致壓縮或發(fā)散。

第一步 構(gòu)造保結(jié)構(gòu)直和分解

由p0為f的雙曲周期點(diǎn)，考慮微分同胚g= fk∶X→X，則p0為g的雙曲不動(dòng)點(diǎn)，所以存在p0處切空間的直和分解Tp0=Es（p0）⊕Eu（p0），滿足

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［3］W.Stephen.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos［M］.Second Edition.New York：Springer，2003：731-761.

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An Equivalence Property Between Hyperbolic Periodic Point and Hyperbolic Periodic Orbit and Its Proof

WANG Lei1，2，YUAN Quan2
（1.Department of Mathematics and Physics，Hefei University，Hefei230601，China；
2.School of Mathematics and Statistics，Huazhong University of Science and Technology.Wuhan 430074，China）

We elaborate the similarities and differences between hyperbolic periodic pointand hyperbolic periodic orbit.Using the persisting property of dimension of differentialhomeomorphism and the derivative principle of composite homeomorphism，a rigorous proof is presented to imply themutual equivalence between them.

hyperbolic periodic point，hyperbolic periodic orbit，hyperbolic direct sum decomposition

O193

A

1007-4260（2014）03-0010-03

時(shí)間：2014-9-15 16：07 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2014.03.004.html

2014-06-19

國(guó)家自然科學(xué)基金（11302080），中國(guó)博士后科學(xué)基金（2013M530343）和合肥學(xué)院重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科基金（14xk08）資助。

王磊，男，安徽阜陽人，華中科技大學(xué)在讀博士，合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系教師，研究方向?yàn)槲⒎謩?dòng)力系統(tǒng)。

袁泉，男，安徽合肥人，華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院博士后，研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)。