鄧 新， 夏鳳熙， 王學(xué)軍

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

END隨機(jī)變量序列加權(quán)和的幾乎處處收斂性

鄧 新， 夏鳳熙， 王學(xué)軍

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

文章主要討論了同分布條件下END隨機(jī)變量序列加權(quán)和在相關(guān)的矩條件和權(quán)系數(shù)條件下的幾乎處處收斂性，并得到了在隨機(jī)控制條件下的相應(yīng)結(jié)果，該結(jié)果推廣了獨立隨機(jī)變量序列和負(fù)相依隨機(jī)變量序列幾乎處處收斂性質(zhì)的相應(yīng)結(jié)果。

END隨機(jī)變量；加權(quán)和；幾乎處處收斂性；隨機(jī)控制

許多統(tǒng)計問題的研究中，一般假設(shè)隨機(jī)變量是獨立的，但在實際問題中，這樣的假設(shè)是不合理的，所以把獨立的概念進(jìn)行推廣是許多統(tǒng)計學(xué)家的研究方向，其中END（extended negatively dependence）隨機(jī)變量就是一類非常普遍且非獨立的隨機(jī)變量。

定義1 稱隨機(jī)變量序列｛Xn，n≥1｝是END（extended negatively dependence，簡稱END）的，若存在常數(shù)M＞0，使得（1）式、（2）式對任意的n≥1和所有的實數(shù)x1，x2，…，xn成立，即

隨機(jī)變量的概念是由文獻(xiàn)［1］引入的。若M＝1，則END變量即為負(fù)象限相依（ND）變量，有關(guān)ND序列的概念，可參考文獻(xiàn)［2］。文獻(xiàn)［2］指出負(fù)相依（NA）隨機(jī)變量也是ND的，從而NA隨機(jī)變量也是END的。文獻(xiàn)［1］指出END變量不僅包含一些常見的負(fù)相依變量，還包含一些正相依變量。因此，END序列是一類非常廣泛的相依變量，研究其極限性質(zhì)具有重要的理論意義和實際意義。

關(guān)于END隨機(jī)序列的概率不等式、矩不等式、概率極限性質(zhì)以及END隨機(jī)序列的一些應(yīng)用，主要有以下成果：文獻(xiàn)［1］得到了關(guān)于重尾相關(guān)隨機(jī)變量的精細(xì)大偏差；文獻(xiàn)［3］研究了基于重尾相關(guān)隨機(jī)變量中偏差的充分和必要條件；文獻(xiàn)［4］建立了END隨機(jī)變量的強(qiáng)大數(shù)定理，并且給出其在風(fēng)險理論和更新理論中的應(yīng)用；文獻(xiàn)［5］得到了一致變化尾下END序列隨機(jī)加權(quán)和的精確大偏差；文獻(xiàn)［6］建立了END序列的一些概率不等式和矩不等式，并且給出其在逆矩中的應(yīng)用；文獻(xiàn)［7］研究了END序列的基本更新定理；文獻(xiàn)［8］研究了END序列加權(quán)和以及END陣列加權(quán)和的完全收斂性。因為END序列比獨立序列、NA序列以及ND序列更弱，所以研究END隨機(jī)變量的概率極限性質(zhì)以及統(tǒng)計大樣本理論更有意義。本文的目的在于研究同分布END隨機(jī)序列加權(quán)和的幾乎處處收斂性，該結(jié)果推廣了獨立序列和ND隨機(jī)序列的相應(yīng)結(jié)果；同時還研究不同分布場合下END隨機(jī)序列加權(quán)和的幾乎處處收斂性，但要用到隨機(jī)控制的條件，其定義如下：

定義2 稱隨機(jī)變量序列｛Xn，n≥1｝被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制，是指如果存在正常數(shù)C，使得對任意的n≥1和x≥0，有

引理1 若隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn是END的，則下列命題成立［3］：

（1）若f1，f2，…，fn是非降（或非增）函數(shù)，則隨機(jī)變量f1（X1），f2（X2），…，fn（Xn）是END的。

（2）對任意的n≥1，存在常數(shù)M＞0，使得（3）式成立，即

其中，＝max｛0，Xj｝。

引理2 若｛Xn，n≥1｝是END隨機(jī)變量序列，｛tn，n≥1｝為非負(fù)（或非正）的常數(shù)序列，則對任意n≥1，存在常數(shù)M＞0，使得（4）式成立［6］，即

本文的主要結(jié)果及其證明如下。

其中，c為常數(shù)且0＜c＜∞。記p＝min（1／β，2），存在常數(shù)α＞0，使得對所有的n≥1，有

則有：

則有：

由引理2、（5）式、（8）式、（9）式及｜｜≤Xk，p≤1／β，E｜X1｜p＜∞，得

其中，c1為正常數(shù)。由Markov不等式及級數(shù)收斂性得：

由 Borel－Cantelli引理，P≥ε，i.o.）＝0，所以有：

由｛Xn，n≥1｝同分布以及（3）式，有

所以有：

注意到｛Xn，n≥1｝為同分布的END隨機(jī)變量序列且pβ≤1，故由（6）式可得：

由于αN／2＞1，所以對任意ε＞0，有

類似于（10）式的證明，可以得到：

結(jié)合（8）式、（10）～（12）式，得到：

在（13）式中用－Xi代替Xi，得到

從而有（7）式成立。

本文的主要結(jié)論對被隨機(jī)控制的END隨機(jī)變量也是成立的，證明過程與定理1的證明類似，但要用到文獻(xiàn)［9］中的引理4.1.6。

［1］Liu Li.Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails［J］.Statistical Probability Letters，2009，79：1290－1298.

［2］Joag－Dev K，Proschan F.Negative association of random variable with application［J］.Annals of Statistics，1983，11（1）：286－295.

［3］Liu Li.Necessary and sufficient conditions for moderate deviations of dependent random variables with heavy tails［J］.Science China Series A： Mathematics，2010，53（6）：1421－1434.

［4］Chen Y，Chen A，Ng K W.The strong law of large numbers for extended negatively dependent random variables［J］.Journal of Applied Probability，2010，47：908－922.

［5］Chen Y，Yuen K C，Ng K W.Precise large deviations of random sums in presence of negative dependence and consistent variation［J］.Methodology and Computing in Applied Probability，2011，13 （4）：821－833.

［6］Shen A T.Probability inequalities for END sequence and their applications［J］.Journal of Inequalities and Applications，2011，2011（1）：1－12.

［7］Wang Y B，Cheng D Y.Basic renewal theorems for a random walk with widely dependent increments and their applications［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，384：597－606.

［8］Wang X J，Hu T C，Volodin A，et al.Complete convergence for weighted sums and arrays of rowwise extended negatively dependent random variables［J］.Communications in Statistics：Theory and Methods，2013，42：2391－2401.

［9］吳群英.混合序列的概率極限理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：173－175.

Almost sure convergence of weighted sums of END random variable sequences

DENG Xin， XIA Feng－xi， WANG Xue－jun
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China）

This paper deals with the almost sure convergence of weighted sums of identically distributed extended negatively dependent（END）random variables under the conditions of moments and weight coefficients.The corresponding result under the condition of stochastic domination is also obtained.The result obtained in the paper extends the corresponding one of independent random variable sequence and negatively dependent random variable sequence.

extended negatively dependent（END）random variable；weighted sum；almost sure convergence；stochastic domination

O211.4

A

1003－5060（2014）06－0761－03

10.3969／j.issn.1003－5060.2014.06.024

2013－06－01；

2013－09－02

安徽省自然科學(xué)基金青年資助項目（1208085QA03；1308085QA03）；安徽大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練資助項目（KYXL2012007）

鄧 新（1989－），女，山東滕州人，安徽大學(xué)碩士生；

王學(xué)軍（1981－），男，安徽合肥人，博士，安徽大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張淑艷）