彭 夷，張小明

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 能源與電氣工程學(xué)院，江蘇 南京 210023)

引言

隨著電子科技的發(fā)展，電子器件的功率密度在不斷上升。在電子設(shè)備中，良好的熱設(shè)計(jì)直接成為電子產(chǎn)品性能的決定因素之一。然而，在熱設(shè)計(jì)中散熱器的設(shè)計(jì)又是一個(gè)重點(diǎn)。因此如何用更加快捷方便的方法獲得所設(shè)計(jì)散熱器的溫度特性成為設(shè)計(jì)工程師討論的焦點(diǎn)問題。根據(jù)電子散熱的特性，許多散熱器可以簡化成二維傳熱問題來進(jìn)行分析。對于二維穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)傳熱問題，工程上有許多有效的方法求解這樣的傳熱問題。主要有兩類方法，一是工程圖解法，二是商業(yè)軟件仿真分析法［1，2］。工程圖解法能夠獲得比較近似的結(jié)果，其相對于商業(yè)軟件仿真分析法，誤差比較大。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，商業(yè)軟件仿真分析法使用頻率越來越高，但是，這種方法需要非常專業(yè)的人員去完成。對于工程中比較簡單的，形狀規(guī)則的二維傳熱問題，電子表格能更加快捷方便地利用有限差分法(FDM，F(xiàn)inite Difference Method)獲得所需要的相對準(zhǔn)確的結(jié)果。

1 二維傳熱的有限差分法(Finite Difference Method，F(xiàn)DM)

有限差分法的根本就是將所研究的物體劃分成有限個(gè)小長方形的元素［3］，同時(shí)，假設(shè)每一個(gè)小長方形是等溫體，每個(gè)小長方形的中心成為節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)格點(diǎn)。圖1就是這樣的一個(gè)網(wǎng)格，用整數(shù)下標(biāo)來表示每一個(gè)小長方下元素的位置。

圖1 有限差分法的基本模型

在該圖中，陰影區(qū)域表示任一基本元素，是一溫度為Tm，n的等溫體，而且其邊界位于相鄰節(jié)點(diǎn)的中心位置。所以，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可以得出

同理，對垂直方向也應(yīng)有，

對于一個(gè)二維矩形物體，如果其四邊均保持不同溫度值的常數(shù)，且無內(nèi)熱源，物體的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。那么根據(jù)傳熱學(xué)，二維導(dǎo)熱問題的通用傳熱方程可以寫成，

該方程是一齊次的關(guān)于溫度T的拉普拉斯方程，如按照嚴(yán)格數(shù)學(xué)方法來求解，比較麻煩。如果采用有限差分的方法，問題就變得簡單了。將式(1)和(2)代入(3)，得到:

由式(4)可以看出，在有限差分法中溫度Tm，n實(shí)際是周邊四個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的平均值。對于求解這樣的方程，代數(shù)的方法就是列出方程組，再通過高斯 －賽德爾法去迭代，然后獲得最終的解［3-5］。為了簡化計(jì)算的過程，電子表格能夠被用來實(shí)現(xiàn)這樣迭代的功能，而獲得我們需要的結(jié)果。

2 二維導(dǎo)熱有限差分法算例

圖2 1.0 ×1.0m 金屬板

問題描述:如有一塊導(dǎo)熱系數(shù)為8W/mK的方形金屬板，邊長是1m。四邊溫度如圖2所示。確定在其達(dá)到熱穩(wěn)定時(shí)金屬板的溫度分布。通過有限差分法，將整個(gè)金屬板劃分為100個(gè)0.1x0.1m小正方形作為基本元素，并且假設(shè)每個(gè)小正方形的溫度是均一的。用電子表格來表示如圖3所示，表格表示初始計(jì)算狀態(tài)，而且電子表格非常形象而且生動(dòng)地表示出了該金屬板分成的網(wǎng)格狀態(tài)。圖3中陰影區(qū)域中表示金屬板中間部分單元格，每個(gè)單元格被看成一個(gè)均勻的等溫體，四周表示金屬板的溫度場邊界條件。對于單元B8，根據(jù)方程(4)其溫度值應(yīng)為

以此類推，將圖3中陰影區(qū)域中的單元格中的數(shù)學(xué)關(guān)系復(fù)制到其余單元格。

圖3 電子表格計(jì)算開始的狀態(tài)

此時(shí)，已經(jīng)完成了金屬板有限差分法的網(wǎng)格劃分與邊界條件及初始條件的設(shè)定。下一步將設(shè)定迭代計(jì)算次數(shù)與殘差的設(shè)定。在電子表格，工具欄下選擇“選項(xiàng)”，并選擇“重新計(jì)算”的標(biāo)簽，計(jì)算相關(guān)設(shè)定的對話框出現(xiàn)。選擇“手動(dòng)重算”，同時(shí)勾選“迭代計(jì)算”，并設(shè)定迭代次數(shù)和最大誤差。然后，單擊F9執(zhí)行計(jì)算［6］。圖4是經(jīng)過11次迭代后每個(gè)單元格差分結(jié)果，通過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)單元格中的值不完全是周邊四個(gè)單元格數(shù)值之和的四分之一，這是因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)是計(jì)算過程中得出的，整個(gè)代數(shù)方程組還沒有收斂而造成的。然而，圖5中反映出的數(shù)據(jù)就基本上滿足式(4)，由此可見經(jīng)過100次的迭代后，整個(gè)計(jì)算基本收斂。關(guān)于這一點(diǎn)，可以從圖6得到驗(yàn)證。而且，仔細(xì)觀察圖5中的數(shù)據(jù)會(huì)發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)基本呈對稱分布，這主要是由于邊界條件是對稱的，圖7更加直觀地反映了這一特征。

圖4 迭代11次后各單元格的溫度計(jì)算值

圖5 經(jīng)過100次迭代后各單元格的溫度值

圖6 監(jiān)控單元格溫度隨迭代次數(shù)的變化

圖7 金屬板穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)溫度分布云圖

圖6反映的是單元格B8，F(xiàn)12和J16溫度值隨著迭代次數(shù)的增加而不斷發(fā)展到傳熱穩(wěn)定狀態(tài)，而圖7則是說明了在傳熱穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)金屬板的總體溫度分布。

3 電子表格在不同傳熱條件下的計(jì)算推廣

上面的內(nèi)容一直是在闡述在無內(nèi)熱源且定壁溫的計(jì)算。如果邊界條件發(fā)生變化，并且有內(nèi)熱源的情況下，該如何去計(jì)算呢?

(1)在第二和第三類傳熱邊界條件下的差分方程。

圖8示意了第二和第三類的傳熱邊界條件。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，式(5)可以得出:

對于式(5)，假設(shè)在深度方向上為單位長度。

圖8 邊界條件示意圖

如果熱流qb為常數(shù)，則式(5)屬于第二類邊界條件，所以該方程可以簡化為，

如果熱流qb不是常數(shù)，而是由對流換熱來決定的，則方程(5)屬于第三類邊界條件，所以該方程又可寫成:

(2)具有內(nèi)熱源的第三類邊界條件下的差分方程。

基于圖8，如果點(diǎn)(m，n)上有一內(nèi)熱源，則方程(5)須寫成:

式(9)表示具有內(nèi)熱源的第三類邊界條件下點(diǎn)(m，n)的差分方程。

根據(jù)以上方程(6)，(7)和(9)的結(jié)構(gòu)形式，結(jié)合前面的計(jì)算示例，它們也是非常容易用電子表格的形式來表示。這樣常見的邊界條件及有內(nèi)容情形下的傳熱問題都能夠用電子表格的方式去求解。因此，對于二維大多數(shù)的傳熱問題完全可以用電子表格法實(shí)現(xiàn)溫度分布。這種方法在研究電路板的熱分析，或單個(gè)散熱器的熱分析和優(yōu)化，有著一定的現(xiàn)實(shí)意義。

此外，對于三維傳熱和瞬態(tài)傳熱問題，也是可以用電子表格去實(shí)現(xiàn)的。只不過差分方程變得稍微復(fù)雜而已，而且邊界條件的設(shè)置需要考慮清楚。

4 結(jié)語

通過上述的分析，可以看出電子表格確實(shí)能夠比較方便快捷地獲得散熱器的熱特性。而且，也可以將其延伸到多種邊界條件的傳熱問題中，甚至可以應(yīng)用的電路板的熱設(shè)計(jì)中。當(dāng)然，電子表格應(yīng)用到數(shù)值分析中，需要有一些合理的假設(shè)，不能直接應(yīng)用，否則會(huì)產(chǎn)生奇異的結(jié)果。通常應(yīng)用在電子散熱中的散熱形狀比較簡單，這種電子表格法還是有一定的應(yīng)用前景。

［1］ 楊世銘，陶文銓.傳熱學(xué)(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2010:105-107.

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