林 超，沈?qū)W舉*，杜 霜，郭耀陽，胡 申

(1.軍械工程學(xué)院，石家莊050003;2.中國人民解放軍78336部隊(duì)，昆明650211)

引 言

光學(xué)信息安全技術(shù)是近些年信息安全領(lǐng)域發(fā)展起來的新興技術(shù)之一，加密技術(shù)又是信息安全技術(shù)的核心。由于光波的固有屬性，用光學(xué)硬件實(shí)現(xiàn)加密和解密具有處理速度快，加密自由度多等優(yōu)勢。在多種光學(xué)加密技術(shù)中，由JAVIDI等人提出的、并經(jīng)研究人員深入分析和改進(jìn)的雙隨機(jī)相位編碼(double random phase encoding，DRPE)技術(shù)［1］是其中經(jīng)典的技術(shù)之一。由于它能夠把原始圖像加密成平穩(wěn)白噪聲分布的密文，因而得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。

在雙隨機(jī)相位光學(xué)加密系統(tǒng)中，隨機(jī)相位模板(random phase mask，RPM)起著關(guān)鍵作用，隨機(jī)相位模板的特性參量對(duì)系統(tǒng)的加密效果有重要影響［2］，事實(shí)上，RPM 是加密系統(tǒng)中的核心組件［3-6］。雖然隨機(jī)相位模板像素?cái)?shù)多，根據(jù)相位值量化等級(jí)的不同，可以設(shè)計(jì)密鑰空間巨大的光學(xué)加密系統(tǒng)，但是，研究表明，在采用隨機(jī)相位作為密鑰的加密系統(tǒng)中，由于相位值的周期性，系統(tǒng)的密鑰空間和加密效果存在一定的制約關(guān)系，限制了光學(xué)加密系統(tǒng)安全性的進(jìn)一步提高［7］。

除了采用相位作為密鑰的光學(xué)加密系統(tǒng)之外，采用偏振狀態(tài)作為密鑰的光學(xué)加密系統(tǒng)也被提及。它充分利用了光波的矢量特性，將隨機(jī)相位模板替換為隨機(jī)偏振模板(random polarization mask，RPOLM)，由于偏振模板的特性參量更多，從而擴(kuò)大了系統(tǒng)的密鑰空間［8-9］。在采用偏振狀態(tài)作為密鑰的光學(xué)加密系統(tǒng)中，雙隨機(jī)偏振編碼(double random polarization encoding，DRPOLE)系統(tǒng)是其中比較經(jīng)典的技術(shù)［10］。但是由于其較DRPE技術(shù)光學(xué)實(shí)現(xiàn)起來相對(duì)復(fù)雜，因而關(guān)注程度不高，在加密和解密方面的性質(zhì)沒有得到充分研究。

為了闡明隨機(jī)偏振加密系統(tǒng)中偏振密鑰的特性參量對(duì)系統(tǒng)加密和解密過程的影響，基于DRPOLE技術(shù)，分析了隨機(jī)偏振模板特性參量對(duì)系統(tǒng)加密效果以及解密誤差的影響，對(duì)比了隨機(jī)偏振和隨機(jī)相位加密算法的異同。仿真結(jié)果表明，采用隨機(jī)偏振模板進(jìn)行加密不僅能得到和隨機(jī)相位加密系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性相似的平穩(wěn)白噪聲分布的密文，而且由于其具有兩個(gè)密鑰構(gòu)成參量，密鑰空間更大。

作者首先介紹了雙隨機(jī)偏振加密算法，結(jié)合2維碼的特點(diǎn)，數(shù)值模擬了其加密和解密過程。然后，通過對(duì)偏振模板結(jié)構(gòu)參量的理論分析和數(shù)值模擬，研究了偏振加密系統(tǒng)的加密效果和解密時(shí)對(duì)密鑰的敏感性。其結(jié)論對(duì)于設(shè)計(jì)高安全性的光學(xué)加密系統(tǒng)具有一定意義。

1 雙隨機(jī)偏振加密理論基礎(chǔ)

圖1為雙隨機(jī)偏振加密技術(shù)的原理圖。為簡單起見，用2維離散二值數(shù)據(jù)來展示系統(tǒng)的加解密過程。輸入平面原始偏振態(tài)分布用兩個(gè)正交的線性偏振光在空間的分布來表示，這種偏振狀態(tài)可以通過使用一個(gè)線偏器轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布。輸入平面和傅里葉平面上有兩個(gè)隨機(jī)偏振調(diào)制模板，對(duì)原始圖像中各像素點(diǎn)處的偏振態(tài)進(jìn)行調(diào)制［10］。

Fig.1 Schematic diagram for double random polarization encoding system

瓊斯矢量djk表示原始圖像分布中任一點(diǎn)(j，k)處的偏振態(tài)，瓊斯矩陣Mjk表示輸入平面調(diào)制模板上任一點(diǎn)(j，k)處的偏振態(tài)，而Nlm則表示傅里葉平面調(diào)制模板上任一點(diǎn)(l，m)處的偏振態(tài)。假設(shè)每個(gè)像素點(diǎn)的偏振態(tài)有兩個(gè)參量:雙折射材料的主軸方向和兩個(gè)主軸之間的相位差。在這種情況下有:

式中，Δjk和Δlm表示快軸和慢軸之間的相位差，θjk和θlm表示快軸相對(duì)于水平方向的方位角。Δjk和Δlm隨機(jī)分布在區(qū)間［0，2π］內(nèi)，θjk和 θlm隨機(jī)分布在區(qū)間［0，π］內(nèi)。每個(gè)像素點(diǎn)處雙折射液晶分子的主軸旋轉(zhuǎn)可通過結(jié)合兩個(gè)λ/4波片和純相位液晶空間光調(diào)制器(spatial lightmodulator，SLM)來實(shí)現(xiàn)，其中旋轉(zhuǎn)角度取決于可以由電壓控制的SLM的延遲［11］。輸入平面上經(jīng)過編碼的偏振狀態(tài)pjk可表示為:

用二值數(shù)據(jù)來模擬加密和解密過程。假設(shè)灰度值為1和0的原始二值數(shù)據(jù)分別用兩個(gè)線性極化的偏振態(tài)表示:

經(jīng)過傅里葉變換，然后由傅里葉平面上的偏振調(diào)制模板進(jìn)行調(diào)制。再經(jīng)過一次傅里葉逆變換，加密后的偏振態(tài)分布可表示為:

解密時(shí)要用到Mjk，Nlm的逆解密過程為:

2 隨機(jī)偏振和隨機(jī)相位加密算法加密效果的理論分析

為了闡明隨機(jī)相位函數(shù)和隨機(jī)偏振函數(shù)對(duì)明文信息的噪聲化程度，首先從理論上分析單隨機(jī)相位和單隨機(jī)偏振加密算法的擴(kuò)散特性，即用2f系統(tǒng)替代4f系統(tǒng)進(jìn)行分析，進(jìn)而可以得出兩種隨機(jī)函數(shù)對(duì)加密效果的影響。

在單隨機(jī)偏振加密算法中，將(3)式代入(1)式進(jìn)行展開，可得到:

分兩種情況進(jìn)行分析。第1種情況，當(dāng)d0=時(shí)，將(9)式代入(4)式，可以得到:

則輸入平面上偏振態(tài)分布在x和y方向上的分量分別為:

而單隨機(jī)相位加密算法中，輸入平面復(fù)振幅分布為:

式中，n(x，y)和 Δjk為均勻分布在［0，2π］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，且二者的分布相互獨(dú)立。θjk為均勻分布在［0，π］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。從兩種加密算法輸入平面復(fù)振幅分布的相位值范圍以及相位分布出發(fā)，通過分析其傅里葉變換譜的振幅分布對(duì)比兩種算法對(duì)明文的擴(kuò)散能力。仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。為了對(duì)比，任選一個(gè)隨機(jī)相位函數(shù) p4=-isin(Δjk/2)×sin(2θjk)，做相同的操作，結(jié)果如圖5所示。

首先對(duì)比p1，p2，p3和p4的相位分布直方圖可以發(fā)現(xiàn)，p1，p2和p3的相位基本上較均勻地分布在［0，2π］之間，雖然具體某一相位值所占的像素?cái)?shù)比例不同，但均滿足相位相差π時(shí)對(duì)應(yīng)直方圖柱形的高度相同，即相位差為π的兩個(gè)相位值所占據(jù)的像素個(gè)數(shù)相同。根據(jù)相位模板參量對(duì)明文信息擴(kuò)散效果的分析［12］，滿足這一條件的隨機(jī)相位模板對(duì)明文信息擴(kuò)散效果較好。而p4的相位分布不滿足這一分布規(guī)律，因而擴(kuò)散效果較差。再對(duì)比對(duì)應(yīng)的2維和3維傅里葉變換譜振幅分布圖可以發(fā)現(xiàn)p1，p2和p3的分布圖能量分布比較均勻，沒有明顯的能量集中點(diǎn)，擴(kuò)散效果比較好。而p4的2維分布圖中可以觀察到中心突出的亮點(diǎn)，3維分布圖中可以觀察到明顯的尖峰，即不能將中心點(diǎn)處得能量均勻地?cái)U(kuò)散到整個(gè)傅里葉頻譜面，擴(kuò)散效果較差［7］。

Fig.2 Phase and Fourier transform spectrum amplitude distribution diagrams for p1 a—phase distribution histogram for p1 b—2-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p1 c—3-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p1

由于雙隨機(jī)偏振和雙隨機(jī)相位加密算法在頻域的隨機(jī)模板和空域隨機(jī)模板具有相同的結(jié)構(gòu)和分布特性，因此對(duì)單隨機(jī)模板的分析可以得出兩種加密算法噪聲化原始圖像的性能。對(duì)比圖2、圖3和圖4，由光學(xué)分組密碼系統(tǒng)主要引入擴(kuò)散操作的性質(zhì)，擴(kuò)散效果越好，加密效果就越好，因此雙隨機(jī)偏振加密算法和雙隨機(jī)相位加密算法的加密效果均較好。

Fig.3 Phase and Fourier transform spectrum amplitude distribution diagrams for p2 a—phase distribution histogram for p2 b—2-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p2 c—3-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p2

3 仿真結(jié)果

3.1 雙隨機(jī)偏振加密結(jié)果

數(shù)值模擬過程中選用的原始圖像是一個(gè)經(jīng)過二值化處理的2維碼。之所以選用2維碼圖像，是因?yàn)樗畔⒚芏容^高，且具有很強(qiáng)的糾錯(cuò)功能。2維碼不僅可以表示多種語言，而且可以表示文字、圖像等數(shù)據(jù)類型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛運(yùn)用，因此選用2維碼圖像有著很強(qiáng)的實(shí)用背景［12］。

首先運(yùn)用雙隨機(jī)偏振加密技術(shù)對(duì)像素大小為128×128的2維碼原始圖像進(jìn)行加密，再將得到的圖像進(jìn)行解密，得到的加密和解密圖像如圖6所示。

Fig.4 Phase and Fourier transform spectrum amplitude distribution diagrams for p3 a—phase distribution histogram for p3 b—2-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p3 c—3-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p3

對(duì)比原始圖像和加密圖像，可以發(fā)現(xiàn)加密圖像已經(jīng)無法看出原始圖像的任何信息，加密效果較好。而解密是加密的逆過程，對(duì)比解密后圖像和原始圖像，可以清楚地看到解密后圖像能夠近乎無損地還原原始圖像的信息，解密效果較好。

3.2 雙隨機(jī)偏振和雙隨機(jī)相位的加密效果對(duì)比

圖像進(jìn)行對(duì)比，顯示出它們與原始圖像的相似度。

選取同一個(gè)經(jīng)過二值化處理的原始2維碼，利用雙隨機(jī)相位加密技術(shù)進(jìn)行加密，并對(duì)加密圖像進(jìn)行解密，可得到1組加密和解密圖像如圖7所示。

對(duì)比圖6和圖7，人眼無法直觀地辨別雙隨機(jī)偏振和雙隨機(jī)相位兩種加密方法的加密效果差異，因此需要用一個(gè)參量來評(píng)價(jià)兩者的加密效果，作者選用相關(guān)系數(shù)C來定量評(píng)價(jià)加密效果的好壞。所謂相關(guān)系數(shù)就是將加密圖像或者解密圖像與原始相關(guān)系數(shù)越小，兩幅圖像的相似度越小，加密效果越好。

Fig.5 Phase and Fourier transform spectrum amplitude distribution diagrams for p4 a—phase distribution histogram for p4 b—2-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p4 c—3-D amplitude distribution of Fourier transform spectrum for p4

Fig.6 Numerical simulation results of encryption and decryption with DRPOLE algorithm a—original image b—encrypted image c—decrypted image

Fig.7 Numerical simulation results of encryption and decryption with DRPE algorithm a—original image b—encrypted image c—decrypted image

由于隨機(jī)相位模板和隨機(jī)偏振模板中所含可變參量個(gè)數(shù)不同，即隨機(jī)偏振模板中包含一個(gè)額外的隨機(jī)旋轉(zhuǎn)矩陣變量，在每次固定隨機(jī)相位函數(shù)的前提下經(jīng)過十余次的數(shù)值模擬得到了兩種算法生成的加密圖像和原始圖像之間的相關(guān)系數(shù)變化規(guī)律，將這兩組數(shù)據(jù)繪制成曲線如圖8所示。

Fig.8 Curve of correlation coefficients between encrypted image and original image with two kinds of encryption algorithms

圖8 中，虛線DRPOLE表示雙隨機(jī)偏振加密的相關(guān)系數(shù)變化曲線，實(shí)線DRPE表示雙隨機(jī)相位加密的相關(guān)系數(shù)變化曲線。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)兩條曲線雖然上下浮動(dòng)，但是相差卻不大，量級(jí)為10-2，也就是說雙隨機(jī)偏振加密和雙隨機(jī)相位加密這兩種加密算法的加密效果相差不大，這與第2節(jié)中的理論分析相吻合。

3.3 解密密鑰錯(cuò)誤對(duì)解密效果的影響對(duì)比

對(duì)于雙隨機(jī)偏振加密算法，它的加密和解密密鑰中有兩個(gè)變量:相位差Δ、方位角θ，為了研究解密密鑰錯(cuò)誤對(duì)解密效果的影響，分別對(duì)Δ，θ以及Δ和θ進(jìn)行擾動(dòng)，使它們?cè)诮饷芫仃囍邢嗤恢贸霈F(xiàn)相同的錯(cuò)誤百分比且相同的錯(cuò)誤值的錯(cuò)誤密鑰。通過多次試驗(yàn)可以得到3組解密圖像，如圖9～圖11所示。

Fig.9 Decrypted imageswhenΔiswrong

Fig.10 Decrypted images whenθis wrong

Fig.11 Decrypted images whenΔandθare both wrong

雙隨機(jī)相位加密算法只有一個(gè)頻域隨機(jī)相位變量b作為密鑰，而空域隨機(jī)相位函數(shù)對(duì)實(shí)值原始圖像的解密不起作用，因而對(duì)b進(jìn)行改變，使之出現(xiàn)局部錯(cuò)誤且錯(cuò)誤的位置比例以及錯(cuò)誤值和雙隨機(jī)偏振的情況相同，可得到1組解密圖，如圖12所示。

Fig.12 Decrypted imageswhen b iswrong

觀察解密圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)在0.3以下的時(shí)候，解密圖像基本分辨不出原始圖像信息，這時(shí)的相關(guān)系數(shù)定義為解密閾值，即解密密鑰錯(cuò)誤比例超過閾值時(shí)，不能得到可分辨的解密圖像。改變?chǔ)で闆r下的C閾值為0.3081，此時(shí)的錯(cuò)誤百分比為76.56%;改變?chǔ)惹闆r下的C閾值為0.3156，此時(shí)的錯(cuò)誤百分比為87.89%;改變?chǔ)ず挺惹闆r下的C閾值為 0.3099，此時(shí)的錯(cuò)誤百分比為48.35%;改變b情況下的C閾值為0.3082，此時(shí)的錯(cuò)誤百分比55.08%。對(duì)比這4種情況下的錯(cuò)誤百分比，可以發(fā)現(xiàn)同時(shí)改變?chǔ)ず挺葘?duì)解密效果影響最大，單獨(dú)改變?chǔ)葘?duì)解密效果影響最小。

再將變量Δ，θ，b以及Δ和θ分別在相同位置取相同的錯(cuò)誤百分比且相同的錯(cuò)誤值，并算出相應(yīng)的解密圖像和原始圖像之間的相關(guān)系數(shù)，可以得到4組相關(guān)系數(shù)數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)繪制成曲線如圖13所示。

根據(jù)圖13中的曲線趨勢可以看出，在相同條件下，雙隨機(jī)偏振加密系統(tǒng)中同時(shí)改變?chǔ)ず挺鹊那闆r下解密圖像和原始圖像的相關(guān)系數(shù)最小，也就是對(duì)解密效果的影響最顯著，雙隨機(jī)相位加密中改變b對(duì)解密效果的影響僅次于改變?chǔ)ず挺?，改變?chǔ)?duì)解密效果的影響又次于改變b，而改變?chǔ)葘?duì)解密效果的影響最小。

通過對(duì)比可知，雙隨機(jī)偏振加密算法對(duì)解密密鑰中相位差或主軸方位角錯(cuò)誤的敏感度較雙隨機(jī)相位加密算法對(duì)相位密鑰錯(cuò)誤的敏感度要低，而偏振加密算法對(duì)整體解密密鑰的敏感度比相位加密算法的相位密鑰要高［13］。

總之，由于隨機(jī)偏振加密算法的偏振密鑰有兩個(gè)參量可以進(jìn)行控制，因而其密鑰空間勢必較隨機(jī)相位加密算法中的純相位密鑰空間要大，在兩者的加密效果相差不大的前提下，可以充分利用隨機(jī)偏振加密算法對(duì)解密密鑰敏感度的差異，并結(jié)合2維碼技術(shù)的特點(diǎn)設(shè)計(jì)出同時(shí)滿足高解密密鑰敏感性和高解密容錯(cuò)能力的實(shí)用的光學(xué)加密系統(tǒng)。

Fig.13 Curve of correlation coefficients when different kinds of keys are wrong

4 結(jié)論

通過理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合的方式，深入研究了采用隨機(jī)偏振模板作為密鑰和采用隨機(jī)相位模板作為密鑰的情況下，系統(tǒng)的加密和解密特性的異同。通過分析可知，由于隨機(jī)偏振模板和隨機(jī)相位模板相位值分布滿足特定規(guī)律，其對(duì)明文信息的擴(kuò)散能力基本相同，采用兩種類型的密鑰進(jìn)行加密時(shí)的加密效果相似。隨機(jī)偏振模板含有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參量，能為光學(xué)加密系統(tǒng)提供更大的密鑰空間，安全性更高。從解密的角度考慮，隨機(jī)偏振加密系統(tǒng)對(duì)偏振模板的兩個(gè)參量的解密敏感性和雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)對(duì)相位密鑰的敏感性存在顯著差異，對(duì)純相位密鑰的敏感性高于對(duì)主軸方位角和正交方向相位差的敏感性，但是，當(dāng)偏振模板中兩個(gè)參量均錯(cuò)誤時(shí)，系統(tǒng)對(duì)偏振密鑰的敏感性最高。這說明，隨機(jī)偏振加密系統(tǒng)比隨機(jī)相位加密系統(tǒng)安全性更高。

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