王榮剛

（西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安 710072）

含落角約束打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

王榮剛

（西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安 710072）

以打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為研究對(duì)象，提出了一種帶落角約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。通過(guò)將目標(biāo)視為參照原點(diǎn)，從而將定常速度打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)變速度打擊固定目標(biāo)的問(wèn)題。在此模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析得到了打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的穩(wěn)定狀態(tài)條件。結(jié)合該穩(wěn)定狀態(tài)及落角約束條件，利用滑模變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計(jì)得到該制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律可以對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)全向打擊并且具有良好的制導(dǎo)性能。

落角約束；運(yùn)動(dòng)目標(biāo)；滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律；穩(wěn)定狀態(tài)

導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)，不僅希望獲得最小脫靶量，往往還希望命中目標(biāo)時(shí)姿態(tài)最佳，使戰(zhàn)斗部發(fā)揮最大效能，取得最佳毀傷效果[1-7]。如希望反坦克導(dǎo)彈能夠以接近垂直下落的方式命中目標(biāo)的頂裝甲以獲得最大穿深。文獻(xiàn)[3]提出了一種基于偏置比例導(dǎo)引法的帶落角約束打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)方案擴(kuò)大了導(dǎo)彈的捕獲域。然而，當(dāng)采用該制導(dǎo)方案以尾追方式攻擊目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能會(huì)下降。通過(guò)調(diào)整比例導(dǎo)引法中導(dǎo)引系數(shù)的值，文獻(xiàn)[4]提出了一種可以實(shí)現(xiàn)全向打擊地面固定目標(biāo)的兩階段比例導(dǎo)引法。文獻(xiàn)[5]進(jìn)而又將該制導(dǎo)方案擴(kuò)展到全向打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的情況。然而，這兩種制導(dǎo)方案均需要改變制導(dǎo)模式。由于可能會(huì)造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因而制導(dǎo)指令的突然改變是不可取的。

另一方面，公開(kāi)文獻(xiàn)里發(fā)表有眾多的針對(duì)地面靜止目標(biāo)的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[6]提出了一種間接作用角控制的偏置比例制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]通過(guò)引入偏差反饋來(lái)獲得了一種基于比例導(dǎo)引法的攔截角控制制導(dǎo)律。因而，如果能建立起打擊靜止目標(biāo)與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，則大量的針對(duì)靜止目標(biāo)的制導(dǎo)算法便可通過(guò)適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)來(lái)讓其實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的打擊。

為了解決這些問(wèn)題，通過(guò)對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行研究，本文建立起打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)與打擊靜止目標(biāo)兩類(lèi)問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從而可將常值速度打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)變速度打擊固定目標(biāo)問(wèn)題?；谝陨系暮?jiǎn)化處理，通過(guò)分析得到了適用于打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的彈道特性以及制導(dǎo)參數(shù)條件。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際的角度約束條件，利用滑模變結(jié)構(gòu)方法，可解決該含落角約束打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題。

1 模型的建立

圖1 攔截幾何關(guān)系Fig. 1 Engagement geometry

導(dǎo)彈與目標(biāo)的攔截幾何關(guān)系如圖1所示，其中XOY為慣性坐標(biāo)系，VM和VT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度向量。本文假設(shè)VM和VT均為常值速度。導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：αM為導(dǎo)彈的飛行軌跡角；αM為導(dǎo)彈的法向加速度；αT為目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡角；η為視線角。導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)速度矢量用VC表示，其為導(dǎo)彈速度矢量與目標(biāo)速度矢量的合成，即

定義ψ為相對(duì)飛行軌跡角，其為相對(duì)速度矢量與基準(zhǔn)線之間的夾角(逆時(shí)針為正)，如圖1所示。通過(guò)投影關(guān)系可知，相對(duì)速度的大小為

雖然假設(shè)導(dǎo)彈速度與目標(biāo)速度大小為常值，但由式(5)可知，通過(guò)轉(zhuǎn)化后，由于ψ和αM為時(shí)變的，因而相對(duì)速度VC也是時(shí)變的。同樣，相對(duì)飛行軌跡角的值可以通過(guò)下式獲得

由式(6)可知，當(dāng)目標(biāo)靜止時(shí)，ψ=αM。因而，打擊靜止目標(biāo)的問(wèn)題只是打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的一類(lèi)特殊情況。對(duì)式(7)兩邊求導(dǎo)，可得

當(dāng)目標(biāo)在平地、坡度起伏不大的路上或者海面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，αT的變化率基本為零，上式可簡(jiǎn)化為

根據(jù)式(8)，飛行軌跡角速率可由下式給出

式(9)右邊的系數(shù)實(shí)質(zhì)上建立了針對(duì)地面靜止與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。因而，假設(shè)整個(gè)過(guò)程理想跟蹤，便可以通過(guò)對(duì)相對(duì)飛行軌跡角指令進(jìn)行設(shè)計(jì)而間接獲得飛行軌跡角指令。而對(duì)相對(duì)飛行軌跡角指令的設(shè)計(jì)過(guò)程實(shí)際對(duì)應(yīng)的是解決一個(gè)時(shí)變速度打擊靜止目標(biāo)的問(wèn)題。基于以上轉(zhuǎn)化和處理，式(1)和式(2)可以簡(jiǎn)化為

以上兩式與打擊靜止目標(biāo)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程類(lèi)似，唯一不同在于，此處用的是相對(duì)飛行軌跡角，而打擊靜止目標(biāo)時(shí)用的是飛行軌跡角。

文獻(xiàn)[8]分析了利用比例導(dǎo)引法打擊地面固定目標(biāo)時(shí)的制導(dǎo)參數(shù)條件以及彈道特性。據(jù)此，需要將該方法進(jìn)一步推廣到打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)的情況。由以上分析可知，相對(duì)飛行軌跡角速率與飛行軌跡角速率成比例。依據(jù)比例導(dǎo)引法的思想，飛行軌跡角速率又與視線角速率成比例。因而，相對(duì)飛行軌跡角速率與視線角速率也成比例，即

式中：NC為相對(duì)比例系數(shù)。此處，為了便于分析NC取不同值時(shí)對(duì)彈道特性的影響，在此假設(shè)其為常值。定義Φ=η-ψ，并結(jié)合式 (10) (11)和 (12)可得

對(duì)上式進(jìn)行積分可得

結(jié)合式(14)和式(15)，分析后可得到以下結(jié)論：

1)導(dǎo)彈命中目標(biāo)的必要條件為NC＞1，該條件可保證導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)R→0。

2)當(dāng)2＞NC＞1時(shí)，當(dāng)導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)R→0，Φ→π，但視線角速率會(huì)趨近于一個(gè)很大的值。說(shuō)明在此情況下，導(dǎo)彈在擊中目標(biāo)時(shí)，法向加速度會(huì)很大。

3)當(dāng)NC＞2時(shí)，當(dāng)導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)R→0，Φ→π，視線角速率也會(huì)趨近于零。說(shuō)明在此情況下，導(dǎo)彈在擊中目標(biāo)時(shí)，法向加速度會(huì)收斂到零附近。

4)當(dāng)NC＞1時(shí)，由于式(14)和式(15)的值會(huì)發(fā)散，說(shuō)明在此條件下導(dǎo)彈無(wú)法擊中目標(biāo)。

由以上特性可知，當(dāng)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)，總有Φ→π，即

式中：ηf為終端視線角；ψf為終端相對(duì)飛行軌跡角。該情況對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象為相對(duì)速度向量指向目標(biāo)的狀態(tài)。

2 基于滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

對(duì)式(11)兩邊對(duì)時(shí)間 進(jìn)行求導(dǎo)，可得到

根據(jù)終端約束的要求，目標(biāo)線角速率必須收斂至零，同時(shí)末端視線角要同時(shí)滿足角度約束以及終端穩(wěn)定狀態(tài)條件，從而可以得到

式中：tf為終端時(shí)刻。αM為約束角，其終端值為αMf，則ψf可以通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算

對(duì)此，根據(jù)式(16)的結(jié)論，選取如下量作為狀態(tài)變量：

由上式得到了針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的狀態(tài)方程。另外，制導(dǎo)律要同時(shí)滿足零脫靶量和末端落角約束角要求，故選取滑模面的切換函數(shù)為

結(jié)合文獻(xiàn)[9]的趨近律形式，選取滑模面的趨近律為

對(duì)式(22)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，并與式(23)對(duì)比，并定義角誤差項(xiàng)εr=η-ψf-π ，經(jīng)整理不難得到相對(duì)飛行軌跡角速率指令為

將式(24)代入式(9)，可得

式(25)即為所提出的打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

3 仿真結(jié)果

文中以地地導(dǎo)彈打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為例驗(yàn)證本文提出制導(dǎo)律性能。導(dǎo)彈的初始位置的坐標(biāo)為(xM0,yM0)=(0,0)，目標(biāo)的初始位置坐標(biāo)為(xT0,yT0)=(5 000 m,0)，其中，導(dǎo)彈速度VM=300 m/s，導(dǎo)彈初始飛行軌跡角αM0=45 deg，目標(biāo)VT=50 m/s并沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)。另外，各制導(dǎo)參數(shù)取為K1=2，K2=0.8，K3=0.01 。

圖2為本文所提出的制導(dǎo)律（slide-mode guidance,SMG）與文獻(xiàn)[5]中的兩階段制導(dǎo)律（Two-Stage Proportional Navigation Guidance, TSPNG）在設(shè)置αMf=-90o時(shí)的比較結(jié)果。圖2(a)和圖2(b)分別為兩種制導(dǎo)律飛行軌跡以及制導(dǎo)指令的比較結(jié)果曲線。由圖2(a)看出，在進(jìn)行垂直打擊時(shí)，本文所提出的制導(dǎo)律比文獻(xiàn)[5]中的制導(dǎo)律需要更少的空間來(lái)進(jìn)行機(jī)動(dòng)。另外，通過(guò)圖2b可以看出，本文所提出的制導(dǎo)律在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中產(chǎn)生連續(xù)的指令信號(hào)，而文獻(xiàn)[5]中的制導(dǎo)律由于要進(jìn)行制導(dǎo)模式切換，制導(dǎo)指令是不連續(xù)的。

圖3 不同角度約束時(shí)的性能結(jié)果Fig. 3 Performance results for various desired impact angles

圖3為采用本文所提出制導(dǎo)律在 deg時(shí)的仿真結(jié)果。由圖3(a)可以看出，在不同落角約束情況下，導(dǎo)彈均能成功命中目標(biāo)，從而驗(yàn)證了本文所提出的制導(dǎo)律具有全向打擊能力。由圖3(b)可以看出，在進(jìn)行小角度約束時(shí)，導(dǎo)彈的初始加速度比較小，而進(jìn)行大角度落角約束時(shí)，導(dǎo)彈的初始加速度比較大。另一方面，當(dāng)落角約束比較大時(shí)，在導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈的加速度幅值越大，但最終都收斂到0附近。

4 結(jié) 論

針對(duì)含落角約束打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)這一問(wèn)題，提出了一種滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。文中所提出的轉(zhuǎn)化關(guān)系可以將常值速度打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)變速度打擊靜止目標(biāo)的問(wèn)題，利用該方法依然可對(duì)其它打擊靜止目標(biāo)的制導(dǎo)算法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)而使其具備打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的能力。另外，該制導(dǎo)方案能夠產(chǎn)生連續(xù)的指令信號(hào)，具有很高的落角精度，法向加速度均能收斂到一個(gè)較小值，具有良好的收斂性，而且對(duì)地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)具有全向打擊能力。

[1]Kim M,V K.Grider.Termainal guidance for impact attitude angle costrained flight trajetories[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1973.9(6):852-859.

[2]Lu P, Doman D B, Schierman J D. Adaptive Terminal Guidance for Hypervelocity Impact in Specified Direction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics,2006,29(2):269-278.

[3]Kim B S,Lee J G,Han H. S. Biased PNG law for impact with angular constraint[J].IEEE Trans. Aerosp.Electron.Syst,1998,34(1):277-288

[4]Ratnoo A,Ghose D.Impact Angle Constrained Interception of Stationary Targets[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2008, 31(6):1816-1821.

[5]Ratnoo A,Ghose D. Impact Angle Constrained Interception of Nonstaionary Nonmaneuvering Targets[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics, 2010, 33(1):269-275.

[6]Erer K S, Merttopcuoglu O. Indirect Impact-Angle-Control Against Stationary Targets Using Biased Pure Proportional Navigation[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2012,35(2):700-703.

[7]Lee C H, Kim T H, Tahk M J. Interception Angle Control Guidance Using Proportional Navigation with Error Feedback[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013,36 (5):1556-1561.

[8]Lu P.Intercept of Nonmoving Targets at Arbitrary Time-Varying Velocity[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1998,21(1): 176-178.

[9]蔡洪,胡正東,曹淵. 具有終端角度約束的導(dǎo)引律綜述[J].宇航學(xué)報(bào),2010,31(2):315-323.

CAI Hong,HU Zheng-dong,CAO Yuan. A survey of guidance law with terminal impact angle constraints[J].Journal of Astronautics,2010,31(2):315-323.

Impact angle constrained guidance against moving target using slide-mode guidance law

WANG Rong-gang
（School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an710072,China）

In this paper, a new impact-angle-constrained slide-mode guidance law against moving targets is proposed.Viewing the target as a reference, we can convert the problem against moving target to the one against stationary target.Then, the new steady-state condition can be obtained by analyzing. Combining the steady-state condition and the impact-angle constraint, the new slide-mode guidance law can be derived. Simulation shows that the guidance law can achieve all impact angles and has a good guidance performance.

impact angle constraint; moving target; slide-mode guidance law; steady state

TN919.6

A

1674-6236(2014)07-0050-04

2014-02-25稿件編號(hào)201402173

國(guó)家863高新技術(shù)研究發(fā)展項(xiàng)目(2013AA7022014)

王榮剛(1986—)，男，陜西西安人，碩士研究生。研究方向：飛行動(dòng)力學(xué)與控制。