李 茹，張 駿，智永鋒

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072）

一種變步長(zhǎng)NLMS-OCF算法的研究

李 茹，張 駿，智永鋒

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072）

為了提高自適應(yīng)濾波器的性能，提出了一種變步長(zhǎng)的NLMS-OCF算法，直接將投影誤差范數(shù)通過(guò)指數(shù)函數(shù)的映射得到平滑因子，進(jìn)而對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行控制。仿真結(jié)果表明，相對(duì)于傳統(tǒng)的NLMS-OCF算法，改進(jìn)的算法獲得了更好的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。

自適應(yīng)濾波器；NLMS-OCF算法；變步長(zhǎng)；收斂速度；穩(wěn)態(tài)誤差

歸一化最小均方(Normalized Least Mean Square,NLMS)算法由于其低運(yùn)算量和易于實(shí)現(xiàn)而得到了廣泛的應(yīng)用。然而，對(duì)于高度自相關(guān)的輸入信號(hào)，此算法的收斂速度表現(xiàn)出了明顯的下降。仿射投影算法（Affine Projection Algorithm,APA）通過(guò)重復(fù)的利用過(guò)去的輸入信號(hào)很好地解決了上述問(wèn)題[1-2]。但是步長(zhǎng)的選擇會(huì)影響算法收斂速度和失調(diào)量之間的關(guān)系，傳統(tǒng)的NLMS和APA算法利用定步長(zhǎng)很難找到快收斂和低失調(diào)之間的平衡點(diǎn)，因此需要使用變步長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行調(diào)整。文獻(xiàn)[3]通過(guò)最小化每次迭代的均方偏差獲得NLMS算法的最優(yōu)步長(zhǎng)。文獻(xiàn)[4]提出了一種變步長(zhǎng)的APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm, VS-APA）算法，該算法獲得了比較高的估計(jì)精度，但是收斂速度相對(duì)緩慢。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于時(shí)變平滑因子的VS-APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm With Variable Smoothing Factor,VS-APA-VSF）算法，該算法利用投影誤差向量的范數(shù)作為判斷優(yōu)化距離的準(zhǔn)則，但是它需要根據(jù)投影誤差范數(shù)的變化趨勢(shì)確定“觸發(fā)點(diǎn)”，增加了實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于指數(shù)型平滑因子的VS-APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm With Exponential Smoothing Factors,VS-APA-EXP）算法，該算法將投影誤差范數(shù)通過(guò)指數(shù)函數(shù)的映射直接得到平滑因子，實(shí)現(xiàn)更為簡(jiǎn)單。因此，為了提高NLMS-OCF[7]算法的性能，需要對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行控制，本文通過(guò)對(duì)NLMS-OCF算法迭代步長(zhǎng)的研究，提出了一種變步長(zhǎng)的NLMS-OCF(Variable Step-size Normalized Least Mean Square Algorithm With Orthogonal Correction Factors, VS-NLMSOCF)算法。

在本文中，將采取下列符號(hào)記法：||. ||表示歐幾里得向量范數(shù)，(.)T表示一個(gè)矩陣或者一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置。標(biāo)量是用小寫字母或者大寫字母表示，所有的向量都是列向量并用小寫黑體字母表示，矩陣是用粗體大寫字母表示。

1 NLMS-OCF算法

圖1 自適應(yīng)系統(tǒng)辨識(shí)Fig. 1 Adaptive filter in the system identification mode

對(duì)于k=1,2,...M，重復(fù)步驟(6)-(9)

從步驟（3）和（8）中可以看出，NLMS-OCF算法是采用定步長(zhǎng)的，利用定步長(zhǎng)很難在收斂速度和失調(diào)之間進(jìn)行均衡，為了解決這個(gè)問(wèn)題，在下一節(jié)中，提出了VS-NLMSOCF算法。

2 VS-NLMS-OCF算法

文獻(xiàn)[4]中提出的VS-APA算法采用變步長(zhǎng)策略，可變步長(zhǎng)為：

其中μmax∈(0,2)，C是一個(gè)正數(shù)，可被近似為1/SNR，SNR為信噪比，pk是投影誤差向量的估計(jì)，當(dāng)||pk||2的值越大時(shí)，μk越接近于μmax，反之μk越接近于 0，即μk介于 0 與μmax之間。

當(dāng)延遲因子設(shè)置為1時(shí)，APA和NLMS-OCF算法的權(quán)值更新是相同的[7]，因此，這種變步長(zhǎng)策略同樣適用于NLMSOCF算法，但是VS-APA算法采用固定的平滑因子，很難在收斂速度和失調(diào)之間進(jìn)行均衡，本文通過(guò)對(duì)NLMS-OCF算法的研究，提出了一種變步長(zhǎng)的NLMS-OCF算法，即用投影權(quán)值誤差向量的范數(shù)通過(guò)指數(shù)函數(shù)的映射得到恰當(dāng)?shù)钠交蜃?，該算法?shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，平滑因子α和||pk||2的關(guān)系如下：

其中，αk表示第k次迭代的α值，exp(.)代表指數(shù)函數(shù)。αk介于0和1之間，當(dāng)||pk||2越大，αk越接近于0，反之，αk越接近于1。因此，這種指數(shù)更新策略滿足算法對(duì)平滑因子的要求。

因此，將基于指數(shù)型平滑因子的變步長(zhǎng)思想應(yīng)用到NLMS-OCF算法中，其中（3）式可改為：

（8）式可改為：

相應(yīng)地，（10）式可改為：

3 仿真結(jié)果

本部分，在MATLAB中分別將NLMS-OCF算法和VSNLMS-OCF算法進(jìn)行了仿真比較，分析了兩者的仿真結(jié)果。這兩種算法的仿真結(jié)果的均方誤差學(xué)習(xí)曲線是通過(guò)對(duì)100個(gè)相互獨(dú)立的學(xué)習(xí)曲線求平均值而得到的。其中，維數(shù)N=32，μmax=1，p0=IN×1。

示例1：考慮表達(dá)式為xn=-0.95xn-1-0.6xn-2+zn的高度相關(guān)的輸入信號(hào)模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲信號(hào)，正交校正因子M=2。從圖2中可以看出，相比較于NLMSOCF算法（步長(zhǎng)分別設(shè)置為0.1、0.5、1），VS-NLMS-OCF算法表現(xiàn)出了比較好的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。從圖3中可以看出，常數(shù)C值的變化（當(dāng)C分別設(shè)置為0.000 1、0.000 5、0.000 01）對(duì)VS-NLMS-OCF算法的收斂速度影響不是很大，其中，C的變化為一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖2 均方誤差學(xué)習(xí)曲線比較Fig. 2 Leaning curve of mean square error

圖3 均方誤差學(xué)習(xí)曲線比較Fig. 3 Leaning curve of mean square error

圖4 均方誤差學(xué)習(xí)曲線比較Fig. 4 Leaning curve of mean square error

示例2：考慮表達(dá)式為xn=-0.95xn-1-0.6xn-2-0.3xn-3+zn的高度相關(guān)的輸入信號(hào)模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲信號(hào)，正交校正因子M=3。從圖4中可以看出，相比較于NLMS-OCF算法，建立的算法獲得了較好的收斂速度和穩(wěn)態(tài)性能。

4 結(jié) 論

針對(duì)NLMS-OCF算法中的定步長(zhǎng)問(wèn)題，文中提出了變步長(zhǎng)的NLMS-OCF算法，用投影權(quán)值誤差向量的范數(shù)通過(guò)指數(shù)函數(shù)的映射得到平滑因子，其與定步長(zhǎng)的NLMS-OCF算法相比，改進(jìn)的算法具有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差，提高了自適應(yīng)濾波器的濾波性能。

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Research on a variable step-size Normalized Least Mean Square algorithm with orthogonal correction factors

LI Ru, ZHANG Jun, ZHI Yong-feng
（Department of Automatic Control,Northwestern Polytechnical University,Xi'an710072,China）

To improve the performance of the adaptive filters, this paper presents a variable step-size normalized least mean square algorithm with orthogonal correction factors, which uses an exponential function to obtain proper smoothing factors from the projected error norm. Simulation results show that the proposed algorithm is superior in terms of convergence rate and estimation error compared with traditional NLMS-OCF algorithm.

adaptive filters; NLMS-OCF algorithm;variable step-size; convergence rate;estimation error

TN713

A

1674-6236(2014)07-0132-03

2013-08-01稿件編號(hào)201308020

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201321)

李 茹(1987—)，女，河北石家莊人，碩士研究生。研究方向：數(shù)字通信與信號(hào)處理。