孫 鳳 洪 濤 金俊杰 王 可 張曉友

(①沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，遼寧 沈陽(yáng)，110870;②日本工業(yè)大學(xué)，琦玉，345-0826)

電磁懸浮驅(qū)動(dòng)技術(shù)是以電磁力為支撐力的無(wú)接觸驅(qū)動(dòng)技術(shù)，不產(chǎn)生機(jī)械接觸摩擦，無(wú)灰塵，無(wú)需潤(rùn)滑，易于實(shí)現(xiàn)緊湊型的多自由度驅(qū)動(dòng)等優(yōu)勢(shì)，可在一定程度上彌補(bǔ)傳統(tǒng)驅(qū)動(dòng)技術(shù)的不足［1-2］。由于電磁驅(qū)動(dòng)技術(shù)的以上優(yōu)點(diǎn)，所以近年來(lái)國(guó)內(nèi)外廣大研究學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了廣泛關(guān)注，并取得了許多研究成果。其中，日本東北工業(yè)大學(xué)的張曉友提出一種五自由度電磁驅(qū)動(dòng)器，其利用電磁驅(qū)動(dòng)技術(shù)控制電火花加工機(jī)床中電極在水平面內(nèi)的移動(dòng)及垂直方向的自由移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，使電火花加工機(jī)床中電極與工件處于合適的位置，進(jìn)而改善放電穩(wěn)定性，提高加工效率［3-5］。浙江大學(xué)的郭亮構(gòu)建了一種新型磁懸浮微動(dòng)平臺(tái)。該平臺(tái)利用電磁鐵提供垂直電磁吸力，使平臺(tái)保持懸浮狀態(tài)，并利用永磁直線電動(dòng)機(jī)提供水平驅(qū)動(dòng)力，使懸浮和驅(qū)動(dòng)部分相互獨(dú)立，進(jìn)而避免了兩者間的耦合問(wèn)題［6］。山東大學(xué)的張?jiān)迄i在分析軸向混合磁軸承磁路以及各部分磁導(dǎo)的基礎(chǔ)上，得出了軸向混合磁軸承的徑向承載力解析數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了仿真計(jì)算與分析［7］。

本文提出了一種采用永磁懸浮電磁驅(qū)動(dòng)平臺(tái)。該驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的懸浮力由永磁鐵提供，水平驅(qū)動(dòng)力由電磁鐵提供。通過(guò)有限元分析對(duì)永磁鐵的水平方向干擾力進(jìn)行解析，并依據(jù)解析結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性仿真分析研究。

1 驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)及工作原理

非接觸式電磁驅(qū)動(dòng)器的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。驅(qū)動(dòng)器由驅(qū)動(dòng)電磁鐵部分、懸浮部分和支撐框架部分組成。懸浮部分在重力方向的非接觸支撐采用永磁鐵同極相斥的被動(dòng)懸浮方式。永磁支撐力由8對(duì)永磁鐵提供，且8對(duì)永磁鐵分別均勻布置在懸浮部分的上下面(如圖1所示)。圖1b給出了上下兩對(duì)永磁鐵的布置結(jié)構(gòu)，其中固定在懸浮部分的為方形永磁鐵，固定在支撐架部分的為環(huán)形永磁鐵。由于永磁鐵同極之間不穩(wěn)定的斥力特性，在重力方向產(chǎn)生懸浮力的同時(shí)，在上下磁鐵中心偏離時(shí)，將產(chǎn)生水平方向分力，此力在本系統(tǒng)中被定義為干擾力。而在水平方向，懸浮部分由3對(duì)電磁鐵產(chǎn)生的電磁力非接觸驅(qū)動(dòng)，3對(duì)電磁鐵(圖1a)布置于懸浮部分的周圍，用于在克服永磁干擾力的同時(shí)通過(guò)改變每對(duì)電磁鐵的氣隙及電流的大小來(lái)主動(dòng)控制懸浮部分在水平面內(nèi)的自由穩(wěn)定的移動(dòng)。當(dāng)懸浮部分處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，每對(duì)電磁鐵產(chǎn)生的磁力等于永磁干擾力，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)懸浮部分的非接觸穩(wěn)定移動(dòng)。

2 電磁驅(qū)動(dòng)力數(shù)學(xué)模型

驅(qū)動(dòng)器中提供驅(qū)動(dòng)力的電磁鐵的結(jié)構(gòu)如圖1所示。磁路中忽略良導(dǎo)磁材料的磁阻，漏磁主要考慮氣隙兩端磁極的漏磁，忽略其他漏磁。可得電磁驅(qū)動(dòng)力的磁力為［8］

式中:Km=μ0N2S/(2f2);N為電磁鐵線圈匝數(shù);f為磁路磁阻系數(shù);S為E形鐵芯中磁路的橫截面積;I為電流;d為氣隙;μ0為磁導(dǎo)率。

3 永磁干擾力分析

為了考察移動(dòng)部分在水平方向移動(dòng)時(shí)，永磁鐵組合的干擾力特性，采用有限元分析法對(duì)干擾力進(jìn)行了分析計(jì)算。有限元分析模型中，在鉛垂方向上，8對(duì)永磁鐵組合的氣隙間距為1.5 mm;在水平方向上，以8對(duì)永磁鐵組合的正對(duì)中心位置為移動(dòng)的初始零點(diǎn)，移動(dòng)部分沿x方向從-2 mm移動(dòng)到2 mm。永磁鐵材料為NdFeB N30，其中方形永磁鐵的規(guī)格為24 mm×24 mm×12 mm，環(huán)形永磁鐵的規(guī)格為內(nèi)徑30 mm外徑41 mm高4 mm。上述條件下的永磁干擾力分析計(jì)算結(jié)果如圖2所示。圖2中，橫坐標(biāo)為永磁鐵組合間的相對(duì)移動(dòng)位置，縱坐標(biāo)為永磁鐵組合水平方向的干擾力。其結(jié)果說(shuō)明，在移動(dòng)行程初始零點(diǎn)兩側(cè)干擾力對(duì)稱分布，在正對(duì)位置上是干擾力為零，在±2 mm的位置上，干擾力為60 N，基本達(dá)到最大值。而本驅(qū)動(dòng)器在水平方向上的目標(biāo)移動(dòng)范圍為±0.5 mm，圖中結(jié)果說(shuō)明永磁干擾力在目標(biāo)移動(dòng)范圍內(nèi)具有很好的線性度，其剛度系數(shù)K≈31.9，且±0.5 mm位置時(shí)干擾力約16 N。

4 磁懸浮驅(qū)動(dòng)器的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)電磁驅(qū)動(dòng)器在水平面內(nèi)的工作原理、電磁鐵所產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力及永磁鐵組合所產(chǎn)生的水平干擾力特性，驅(qū)動(dòng)器的力學(xué)模型如圖1a所示。圖1a中Fx11、Fx12、Fx21、Fx22、Fy1、Fy2分別為6個(gè)線圈的電磁控制力，I1、I2、I3、I4、I5、I6分別為6個(gè)電磁線圈的初始電流，且X、Y移動(dòng)方向以圖示方向?yàn)檎?，轉(zhuǎn)動(dòng)以逆時(shí)針為正。Ftx1、Ftx2、Fty分別為永磁鐵組合在X方向和Y方向的干擾力。

取笛卡爾坐標(biāo)原點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)平臺(tái)處于平衡位置時(shí)的質(zhì)心O處，其坐標(biāo)為(X0，Y0)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)在微動(dòng)的過(guò)程中，由于電磁鐵及永磁鐵的驅(qū)動(dòng)力，使得驅(qū)動(dòng)物的質(zhì)心偏離平衡位置而移動(dòng)到點(diǎn)O'，其中驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心X方向的位移為x，Y方向的位移為y，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為φ(圖1a)。

設(shè)O'的廣義坐標(biāo)為

設(shè)懸浮部分在電磁鐵磁極及傳感器處的廣義坐標(biāo)為

兩廣義坐標(biāo)的坐標(biāo)變換關(guān)系為

可得磁懸浮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能為

忽略支撐框架部分產(chǎn)生的彈性力及移動(dòng)平臺(tái)受到的空氣阻尼，可得該系統(tǒng)的拉格朗日方程為:

式中:x1、x2、y分別為3對(duì)磁極處的氣隙變化量;Fx1、Fx2、Fy分別為3對(duì)磁極處的差動(dòng)式電磁耦合控制驅(qū)動(dòng)力，且

式中:i1、i2、i3分別為3對(duì)電磁線圈的控制電流;永磁組合在X方向和Y方向的干擾力為

式中:f1x0、f2x0、f3x0、f4x0、f1y0、f2y0、f3y0、f4y0分別為4個(gè)永磁鐵在平衡位置時(shí)X方向和Y方向的干擾力，且f1x0=K1X0，f1y0=K1Y0，f2x0=K2X0，f1y0=K2Y0，f3x0=K3X0，f3y0=K3Y0，f4x0=K4X0，f1y0=K4Y0，f1x、f2x、f3x、f4x、f1y、f2y、f3y、f4y分別為4個(gè)永磁鐵分別在移動(dòng)到O'的X方向和Y方向的干擾力微變量，且

式中:K1、K2、K3、K4分別為永磁鐵組合中4個(gè)永磁鐵產(chǎn)生的干擾力的剛度系數(shù)，且

由于在該系統(tǒng)中-1°≤φ≤1°，因此，忽略旋轉(zhuǎn)對(duì)永磁鐵干擾力的影響，則

將Fx1、Fx2、Fy在x1=x2=y=0與i1=i2=i3=0中，分別展開成一階泰勒級(jí)數(shù)，并略去高階小量得

在平衡位置時(shí)，水平方向電磁鐵產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力與永磁鐵組合產(chǎn)生的干擾力相平衡。此時(shí)，如果保持平臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則

由式(3)～(9)可得該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中:

該系統(tǒng)的可控性矩陣方程為

由可控性矩陣的前6列可知由于在電磁懸浮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中α≠β，則rank(P)=6成立。

由滿秩的可控性矩陣，可知該磁懸浮系統(tǒng)是完全可控的。在理論上，驗(yàn)證了該模型及電磁懸浮控制系統(tǒng)的可行性。

5 系統(tǒng)仿真

以電磁驅(qū)動(dòng)力的參數(shù)μ0=4π×10-7H/m，N=128，f=1.38，S=456 mm2及電磁驅(qū)動(dòng)器的實(shí)際數(shù)據(jù)L=41.5 mm為仿真對(duì)象，分別對(duì)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)在水平面內(nèi)的X方向和Y方向進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性仿真，其各初始平衡值及PD控制器參數(shù)如下:

(1)初始平衡值

x方向的初始平衡值:I1=I2=I3=I4=1 A，d1=d2=d3=d4=0.7 mm;y方向的初始平衡值:I5=I6=1 A，d5=d6=0.7 mm。

(2)PD控制器參數(shù)

x方向:x1，x2的控制器參數(shù):KP=20 225.68，KD=178;y方向的控制器參數(shù):KP=43 725.28，KD=850。

圖3為X方向階躍驅(qū)動(dòng)仿真結(jié)果。仿真中，0.1 mm階躍驅(qū)動(dòng)在0.1 s時(shí)輸入系統(tǒng)，截止0.5 s的響應(yīng)結(jié)果被記錄，記錄結(jié)果由上至下分別為x2方向線圈的控制電流，x1方向線圈的控制電流，x2方向懸浮物的位移，x1方向懸浮物的位移，x2方向的階躍輸入信號(hào)，x1方向的階躍輸入信號(hào)。圖3分別為對(duì)x1和x2加入階躍驅(qū)動(dòng)后的響應(yīng)結(jié)果。如圖3a所示，在對(duì)x1輸入階躍驅(qū)動(dòng)后，需增大線圈電流驅(qū)動(dòng)懸浮物向正方向移動(dòng)，但懸浮物移動(dòng)后，由于干擾力方向與移動(dòng)方向相同，并同比增大，且懸浮物越靠近電磁鐵磁力越大。受兩方面因素綜合影響，需減小線圈的控制電流，使系統(tǒng)再次達(dá)到平衡。但由于x1方向移動(dòng)，使懸浮物產(chǎn)生了角度，x2同時(shí)也受到干擾，而在控制器控制電流調(diào)整之后，迅速恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。而圖3b所示，在對(duì)x2輸入階躍驅(qū)動(dòng)后的響應(yīng)過(guò)程與結(jié)果和圖3a基本相同。

圖4為在Y方向加入0.1 mm的階躍輸入的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，在Y方向輸入階躍驅(qū)動(dòng)信號(hào)后，系統(tǒng)也可快速恢復(fù)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5為系統(tǒng)的頻域響應(yīng)伯德圖。分析結(jié)果表明，在幅頻特性曲線上A點(diǎn)處(相角為-180°)系統(tǒng)的幅值為-23.4dB(小于1dB)，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)說(shuō)明本系統(tǒng)是穩(wěn)定的，在相頻特性曲線上B點(diǎn)確定系統(tǒng)的相位裕度為109.5°(大于45°)，在工程上認(rèn)為本系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能良好。

6 結(jié)語(yǔ)

本文以永磁支撐電磁驅(qū)動(dòng)方式構(gòu)建了一種電磁驅(qū)動(dòng)器，將永磁懸浮技術(shù)與電磁驅(qū)動(dòng)技術(shù)有效的結(jié)合在一起，充分利用了電磁懸浮技術(shù)和電磁驅(qū)動(dòng)技術(shù)的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)有限元分析得到了組合式永磁鐵的干擾力模型，建立了水平方向完善的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)對(duì)系統(tǒng)相應(yīng)特性進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明，該驅(qū)動(dòng)器能夠?qū)崿F(xiàn)懸浮物在水平方向中3個(gè)自由度的穩(wěn)定驅(qū)動(dòng)控制。

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