拜 斌

(海軍裝備部，陜西 西安 710089)

引言

在工程實際中，大多飛行控制系統(tǒng)在伺服控制(尤其是舵回路控制)中存在速率限制 ，當(dāng)伺服控制需求的舵面操控指令超過伺服作動器的液壓或機械許可范圍時，就會出現(xiàn)作動器速率或位置飽和，有可能會引起PIO,其本質(zhì)為非線性影響使人—機閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性削弱。航空界中一般將因作動器速率限制導(dǎo)致的駕駛員誘發(fā)振蕩定義為Ⅱ型PIO[1]，典型事例曾出現(xiàn)在C-17飛機和YF-22飛機上[2]。因此，評估閉環(huán)系統(tǒng)是否具有Ⅱ型PIO趨勢，設(shè)計操縱性能更好的飛機具有重要的意義。

針對Ⅱ型PIO預(yù)測問題，國內(nèi)外展開了大量的研究工作。國外主要從兩個方面：①從控制律和作動器本身來考慮，采用提高舵機系統(tǒng)的舵機速率，但需要改變舵機尺寸和重量，因此未能廣泛應(yīng)用[3]； ②運用補償技術(shù)。一是減少駕駛桿命令增益或減少反饋控制增益,但這會惡化飛行品質(zhì);二是速率限制被激活時對系統(tǒng)進(jìn)行相位補償，設(shè)計相位補償系統(tǒng)有邏輯條件法和連續(xù)信號法。而國內(nèi)目前主要采用相位補償技術(shù)進(jìn)行抑制，研究較多的是基于邏輯條件法設(shè)計的DS補償器[4]。

文章針對飛控系統(tǒng)中作動器速率限制引起的振蕩問題，采用魯棒穩(wěn)定性的方法來判斷飛機的PIO趨勢，通過重新選取合適的作動器參數(shù)，避免了不穩(wěn)定性。

1 問題描述

人工駕駛飛機進(jìn)行俯仰角控制的原理如圖1所示，駕駛員控制目的是使飛機實際俯仰角θ等于期望值θd—跟蹤俯仰角指令，圖中Kp和N(s)分別表示駕駛員的控制增益、動態(tài)特性；作動器回路在正常工作范圍內(nèi)可以近似描述為帶寬為1/τ的一階線性環(huán)節(jié)，其中非線性環(huán)節(jié)表示其工作速率受限；δ(s)為作動器輸出—舵面偏轉(zhuǎn)角。

圖1 俯仰控制人機系統(tǒng)原理方塊圖(具有速率限制的作動器)

作動器飽和特性如圖2所示，其最大輸入幅值umax，最大輸出幅值ymax。uT=ymax,表示線性部分斜率為1。因此，當(dāng)作動器沒有飽和時，其增益最大Lmax=1，而當(dāng)飽和且輸入作用幅值最大時，增益最小Lmin=ymax/umax，于是L∈[Lmin,1]，上述俯仰控制人機系統(tǒng)原理如圖3所示。

圖2 作動器回路典型的飽和環(huán)節(jié)

圖3 俯仰控制人機系統(tǒng)原理方塊圖(線性化作動器)

在分析系統(tǒng)是否存在PIO趨勢時，除用L表示非線性因素外，還應(yīng)考慮駕駛員增益Kp，因為在俯仰角控制、空中受油以及下滑著艦等任務(wù)階段，需要駕駛員實施較大操縱，作動器工作于飽和狀態(tài)，可能引起PIO[2]。假設(shè)N(s)=1，則人—機閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的分析變?yōu)镵p與L取值的討論。

為分析作動器非線性影響，要考慮兩種情況：時不變參數(shù)L和時變參數(shù)L。首先假設(shè)L線性時不變，目的是在Kp-L平面內(nèi)確定一個區(qū)域，使得圖1構(gòu)型的閉環(huán)動態(tài)矩陣為赫爾維茨陣，此方法“弱”，不能確保閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。第二種方法假設(shè)參數(shù)L∈[Lmin,1]為時變函數(shù)，稱作“魯棒”的方法，通過二次型穩(wěn)定性來判斷系統(tǒng)是否存在PIO趨勢，在某種程度上相對保守和嚴(yán)格，但能確保閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

2 模型建立

2.1 時不變參數(shù)系統(tǒng)PIO預(yù)測的魯棒穩(wěn)定性分析

假設(shè)如圖3所示，人在回路的俯仰控制中，駕駛員控制增益在可接受范圍內(nèi)(K∈[0,KPmax])，且作動器未飽和(L=1，參數(shù)時不變)，系統(tǒng)處于閉環(huán)穩(wěn)定狀態(tài)，ACL(Kp,L)為其閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，與Kp和L呈仿射型關(guān)系。在Kp-L平面中，Zarea、ZH分別表示駕駛操縱域和系統(tǒng)赫爾維茨穩(wěn)定域，為：

Zarea=[Lmin,1]×[0,KPmax]

(1)

ZH={(L,KP):ACL(L,KP)是赫爾維茨陣}

(2)

條件1：當(dāng)ZH?Zarea時，系統(tǒng)不存在PIO趨勢，且是“弱穩(wěn)定”的。

由于時不變參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法不能直接用于分析時變參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]，因此條件1只能進(jìn)行保守估計，不能完全保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性。

當(dāng)參數(shù)變化時，只檢查赫爾維茨穩(wěn)定域如圖4所示；曲線1滿足“弱穩(wěn)定”要求，曲線2中，ZH與Zarea的交點與閉環(huán)系統(tǒng)的一對純虛極點一致，系統(tǒng)頻率與系統(tǒng)描述函數(shù)獲得的極限環(huán)頻率一致[5]，系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有明顯的PIO趨勢。

圖4 Ⅱ型PIO趨勢的條件示意圖

而穩(wěn)定域ZH的確定采用ROBAN算法(該算法可用于分析不確定的LTI系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題[6])在穩(wěn)定域∏中找到符合要求的穩(wěn)定域∏S，進(jìn)而確定ZH的范圍。算法如下：

不確定動態(tài)系統(tǒng)用多項式方程組表示為：

La(∏)={p(·,a(π))|π∈∏}

(3)

其中：p(s,a)=sn+a1sn-1+an,s∈C。

定義2：所有的π∈∏組成的穩(wěn)定域S位于參數(shù)空間∏內(nèi)，譬如La(S)為赫爾維茨多項式。

穩(wěn)定域∏S的邊界位置的確定：

(1)將不確定的參數(shù)空間看作∏是穩(wěn)定矩形區(qū)域；

(2)將矩形域的三個空列表從L1到L3初始化，令i1=0；

(3)將∏放進(jìn)L1中，令il=1；

(4)測試L1的矩形域∏i1[6]；

(5)如果4滿足，則將∏i1放進(jìn)L1；

如果∏i1的半徑大于定義的閾值，則將∏i1沿邊界把2P矩形分成相同的部分代入L2；

(6)設(shè)i1=i1+1；

(7)如果出現(xiàn)∏i1，則回到第4步；如果L2為空，則跳到第8步；

否則清空L1，令i1=1；將L2代入列表L1之后，清空L2；回到第4步；

(8)在L3中的每個矩形域∏i的中心位置檢查多項式La(πci)的穩(wěn)定性，通過穩(wěn)定的La(πci)的∏i集可以確定穩(wěn)定域∏S。

2.2 時變參數(shù)系統(tǒng)PIO預(yù)測的魯棒穩(wěn)定性分析

與時不變參數(shù)不同，當(dāng)L為時變參數(shù)時，需找到最優(yōu)的解來評價飛機是否具有PIO趨勢。非線性單元的輸入與輸出關(guān)系可以表示為：

L(t):=y(t)/u(t)

(4)

其L(t)∈[Lmin,1]中函數(shù)L(·)可以寫成：

{L(·):[0,∞)→R|L(t)∈[Lmin,1]}

(5)

對于上述L(·)，線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性等價于非線性系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性[7]。

(1)不確定時變參數(shù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析

不確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

(6)

其中{π(·):[0,∞)→∏}?RP表示一個p維的時變向量，假設(shè)A為仿射的；πi,i=1,…,2p表示∏的邊界，令V(x)=xTPx為二次型Lyapunov方程。

對于所有的參數(shù)π(·)，若滿足AT(π)P+PA(π)<0，?π∈∏；則是二次型V(x)是穩(wěn)定的[8]，不等式可寫成：

AT(πi)P+PA(πi)<0,i=1,…,2P

(7)

式(7)為線性矩陣不等式[9]，可用matlab LMI 工具箱進(jìn)行處理，由此解決系統(tǒng)(6)的二次型穩(wěn)定性問題。

(2)不發(fā)生Ⅱ型PIO的“強條件”

如圖3所示，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式為：

(8)

假設(shè)KP∈[0,Kpmax]為時不變參數(shù)，L∈[Lmin,1]為時變參數(shù)，KP符合赫爾維茨穩(wěn)定性要求，L需符合二次型穩(wěn)定性要求。在KP-L平面定義穩(wěn)定域ZQS:={(L,KP)}。

條件2：當(dāng)ZQS?Zarea時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)PIO。上述條件是相對有效和保守的穩(wěn)定判據(jù)，稱為“強條件”。

考慮KP與L，L∈[Lmin,1],KP∈[Kmin,Kmax]兩個因素的影響，確定穩(wěn)定域ZQS的算法如下：

(2)若無P>0，則繪制[Lmin,1]×[0,KPmax]圖形，使Lmin=Lmin+△L;否則Kmin=Kmax，Kmax=Kmin+△K,程序結(jié)束。

若Lmin<1，則跳到第2步，否則中止程序。

圖5 二次型穩(wěn)定域中(不)產(chǎn)生Ⅱ型PIO具有魯棒穩(wěn)定性的“強條件”

如圖5所示，在ZQS穩(wěn)定域中曲線1邊界內(nèi)飛機不會出現(xiàn)PIO；而曲線2不滿足要求，飛機有明顯的PIO趨勢，因而需重新設(shè)計作動器，來提高系統(tǒng)抗PIO能力。

3 作動器設(shè)計及仿真

3.1 作動器設(shè)計

系統(tǒng)二次型穩(wěn)定性條件比赫爾維茨穩(wěn)定性要求更為嚴(yán)格，因此穩(wěn)定域的邊界總在邊界的上方，如圖6所示。

圖6 ZH包含操縱域和ZQS邊界與操縱域相交示意圖

以上分析得到下列三種情況：

(1)ZQS?Zarea時(圖5曲線1)，作動器品質(zhì)良好，系統(tǒng)不會PIO；

(2)ZQS?Zarea和ZH?Zarea時(圖6)，飛機魯棒性較弱，存在潛在的PIO趨勢；

(3)ZH?Zarea時(圖4曲線2)，飛機PIO趨勢明顯，應(yīng)重新設(shè)計作動器。

圖7 重新確定操縱域范圍的示意圖

算法1如下：

(1)在ZQS和Zarea域中確定(L*,KPmax)的范圍(圖7)；

3.2 算例仿真

具有作動器速率限制的某型飛控系統(tǒng)簡化模型如圖3所示，其中N(s)=1,τ=0.04s，；飛機短周期動力學(xué)模型為：

(9)

當(dāng)L=1，Kp∈[0,7.1]，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，要求的駕駛員增益邊界值[10]為2.51(8db)。當(dāng)Kp>7.1時，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，由安全性得到KPmax=7.1/2.51=2.82，取KPmax=3，計算得到umax=430，/s，因此Lmin=0.03。由上節(jié)算法可以繪制出下圖：

圖8 某型飛機赫爾維茨穩(wěn)定域和二次型穩(wěn)定域

4 結(jié)語

本文從線性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性角度，研究了系統(tǒng)是否存在Ⅱ型PIO趨勢，從而選取更為合適的作動器參數(shù)，改善系統(tǒng)性能。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)PIO現(xiàn)象時，重新設(shè)計作動器來保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，仿真驗證了方法的合理性。但方法未考慮駕駛員的非線性因素，僅針對速率限制作動器飽和環(huán)節(jié)。由多非線性因素和多變量耦合引起的PIO有待更深入地研究。

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