杜海波，王洪波，侯緒麗

（鶴崗市氣象局,黑龍江 鶴崗 154100）

1 引言

隨著全球變暖的進(jìn)一步加劇，在很多方面將導(dǎo)致某些極端天氣、氣候事件更加頻發(fā)，由此產(chǎn)生的災(zāi)害損失也必然會(huì)越來越嚴(yán)重。近年來，鶴崗地區(qū)極端天氣災(zāi)害頻繁發(fā)生，2009年，鶴崗地區(qū)出現(xiàn)了春末夏初百年一遇的大旱。而2005年7月28-29日鶴崗暴雨降水量達(dá)116.7 mm，導(dǎo)致鶴崗出現(xiàn)嚴(yán)重的洪澇災(zāi)害，梧桐河流域超過警戒水位，達(dá)到鶴崗建站以來極值。

本文利用GPD模式，借助L-矩估計(jì)方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，模擬鶴崗暴雨的分布概率，并對(duì)這一概率分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。為進(jìn)一步模擬和預(yù)測(cè)鶴崗的強(qiáng)降水奠定理論基礎(chǔ)。根據(jù)該模型估計(jì)一定重現(xiàn)期的分位數(shù)，在該地區(qū)橋梁、防洪堤壩、水庫等建設(shè)中加以考慮，從而提高防御自然災(zāi)害的能力，爭(zhēng)取最大程度的降低損失。

本文利用鶴崗50 a（1961-2010年）的逐日降水量資料，應(yīng)用基于超門限峰值（POT）抽樣法的廣義帕雷托分布模型，再用L-矩參數(shù)估計(jì)法，模擬鶴崗地區(qū)的強(qiáng)降水。模擬結(jié)果表明：(1)GPD不但計(jì)算簡(jiǎn)便，而且基本不受原始序列樣本量的影響；(2)POT抽樣法增加了極值的樣本量，L-矩估計(jì)得到的參數(shù)穩(wěn)定度高；(3)在一定門限值條件下的逐日降水量所擬合的降水極值分布符合GPD模型。GPD模型對(duì)模擬和預(yù)測(cè)鶴崗的強(qiáng)降水過程有一定的應(yīng)用價(jià)值。

2 資料和方法

2.1 資料

選取鶴崗本站50 a（1961-2010年）的逐日降水量作為研究對(duì)象。

2.2 方法

2.2.1 POT抽樣

廣義帕雷托分布（GPD）最大優(yōu)點(diǎn)在于，它的抽樣不只是每年抽取一個(gè)，而是從原始資料中抽取出超某一門限值的數(shù)據(jù)，即所謂的“超門限峰值POT”抽樣方法。顯然，在抽取的值中，每年可能會(huì)出現(xiàn)不只1個(gè)超過門限值的情況。由于POT抽樣方法直接由原始分布抽取極值，從而使所需樣本大大節(jié)省，或者說大大增加了樣本量，也更加的符合實(shí)際情況。

2.2.2 門限的選擇

門限值的選擇是考慮其用途及在實(shí)際工作中的意義，要根據(jù)不同情況來取門限值。既不能低，也不能太高，如果門限值選低了會(huì)使選出的數(shù)據(jù)與GPD分布擬合的不太好；如果選高了，不一定有足夠的樣本數(shù)據(jù)能估計(jì)出合理的分布參數(shù)。本文采用年平均交叉率接近于1的方法，也就是用1 a度量降水?dāng)?shù)據(jù)超過門限值的次數(shù)，這樣比較恰當(dāng)。

2.2.3 GPD模型

廣義帕雷托分布 （Generalized Pareto Distribution）（簡(jiǎn)稱GPD）是用來表達(dá)概率分布特征的，比如，大于某臨界值（β）的降水量、風(fēng)速等的概率分布特征，其分布函數(shù)為

上式中，分布參數(shù)β為門限值;α為尺度參數(shù);k為線性參數(shù)。

2.2.4 L-矩參數(shù)估計(jì)

L-矩法是由前R個(gè)L-矩和前R個(gè)PWM的線性組合而成的，其起源于“概率權(quán)重矩”（PWM），L-矩法與經(jīng)典矩法相比，有許多優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用也越來越廣泛。它的統(tǒng)計(jì)方法較簡(jiǎn)單，其參數(shù)估計(jì)精度與極大似然法估計(jì)精度相當(dāng)，估計(jì)值的穩(wěn)定性較高。計(jì)算方法如下：首先將所有大于門限值的極值按從大到小的順序排列，x1≥x2≥…≥xn-1≥xn,由此得到一組超門限值統(tǒng)計(jì)量xj，對(duì)其作PWM估計(jì)，考慮PWM的定義為:

式中，Br表示隨機(jī)變量x的第r階概率加權(quán)矩，其無偏估計(jì)通式可寫為:

一般情況下，r取相當(dāng)?shù)臄?shù)量就可以了，很少用更高階矩，如，要計(jì)算概率密度曲線的峰度，只需要取4階矩，本文中只需計(jì)算b0和b1，根據(jù)概率加權(quán)矩與L矩的關(guān)系，有

這里λi分別表示第i階L矩，b0和b1則分別表示0階和1階PWM估計(jì)量，根據(jù)（4）式可推出下列關(guān)系式：

由（9）（10）兩式可最終得到GPD的參數(shù) α和k估計(jì)式：

式中，β是門限值，也就是臨界值。例如，要研究降水量，可事先根據(jù)需要定出門限值或臨界值是多少，也可按標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)作為各種試驗(yàn)的臨界值。

2.2.5 重現(xiàn)期與對(duì)應(yīng)分位數(shù)的計(jì)算

研究重現(xiàn)期（return period），就是要對(duì)極值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，找出分布規(guī)律。對(duì)于強(qiáng)降水的研究，要考慮的是超過某定值x的概率，稱為右側(cè)概率，可用下式表示：

根據(jù)重現(xiàn)期T的含義，可以認(rèn)為出現(xiàn)極值的概率的倒數(shù)即為重現(xiàn)期，對(duì)于最大值的重現(xiàn)期可表示為：

值得注意的是，所謂重現(xiàn)期，并非指經(jīng)過T時(shí)間就一定會(huì)出現(xiàn)，它只是概率意義上的回轉(zhuǎn)周期。T反應(yīng)了事件發(fā)生概率的大小，重現(xiàn)期T越大，代表的概率就越小，越是稀有事件。

在確定重現(xiàn)期后，就可得到與T對(duì)應(yīng)的極值分位數(shù)，極值的分位數(shù)就是對(duì)應(yīng)著氣候稀有事件概率的極值變量的某種可能取值。由（14）式和pareto分布模型-（1）式，可推出極值分位數(shù)的表達(dá)式，k不為0時(shí)有：

式中,λ為年交叉率，即每年極值超過門限值的次數(shù)。也就是從原始資料中找出超門限值的數(shù)，記為n，用它除以數(shù)據(jù)資料的總年數(shù)N即可，λ=n/N。

2.2.6 柯爾莫哥洛夫--斯米爾諾夫檢驗(yàn)（K-S檢驗(yàn)）

所謂K-S檢驗(yàn)，是在20世紀(jì)初提出的關(guān)于順序統(tǒng)計(jì)量極限分布的定理發(fā)展而來的，用于檢驗(yàn)樣本是否來自某一特定分布的方法。其檢驗(yàn)方法是將樣本數(shù)據(jù)的累積頻率分布與特定理論分布比較 （即將經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與理論分布函數(shù)比較），若F0(x)表示理論分布函數(shù)，本文中為GPD模型，F(xiàn)n(x)樣本的累計(jì)頻率函數(shù)，累計(jì)頻率=累計(jì)次數(shù)/總次數(shù)，D為F0(x)與Fn(x)的最大差值，即 D=max｜F0(x)-Fn(x)｜。 再根據(jù)置信水平1-a或信度a判斷其是否通過K-S檢驗(yàn)。

2.2.7 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

由經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和理論分布函數(shù)可以分別確定一個(gè)與降水量相對(duì)應(yīng)的概率值，若取多個(gè)不同的降水量，則可以得到兩組表示概率數(shù)據(jù)，分別記為x(i)和y(i)，可由如下公式計(jì)算它們的相關(guān)系數(shù)：

3 GPD模型在鶴崗暴雨中的應(yīng)用

鶴崗市位于中國(guó)東北邊陲，座落在小興安嶺與三江平原交匯地帶，屬丘陵地形，高低起伏，鶴崗屬高緯度地區(qū)，130°16′E，47°20′N， 由于西太平洋副熱帶高壓在夏季達(dá)到最北位置，副熱帶西風(fēng)急流和東亞季風(fēng)的水汽輸送也達(dá)到最北，給黑龍江東北部帶來了充沛的水汽，暖濕空氣與西風(fēng)帶中的冷空氣交綏，易出現(xiàn)暴雨。故降水主要集中在7、8月，其他月份相對(duì)較少。加之特殊的地理?xiàng)l件致使鶴崗地區(qū)極易發(fā)生局地暴雨等災(zāi)害性天氣，近兩年鶴崗出現(xiàn)的暴雨量等級(jí)均超過歷史極值。

對(duì)鶴崗1961-2010年（50 a）的降水資料按給定的門限值做 POT 抽樣，根據(jù)（3）-（12）式，對(duì)選取的數(shù)據(jù)采用L矩估計(jì)，由GPD模型中可得出一定重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)的分位數(shù)，再求出此極值在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的概率，即比較理論分布函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，做柯爾莫哥洛夫——斯米爾諾夫檢驗(yàn)（K-S檢驗(yàn)）和相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)。表1給出了門限值為50mm的GPD模型參數(shù)及擬合效果檢驗(yàn)。

由表1可以看出，GPD模型參數(shù)估計(jì)的效果比較好，K-S統(tǒng)計(jì)量為0.06，通過檢驗(yàn)，且其實(shí)測(cè)頻率和理論頻率的相關(guān)系數(shù)在0.9973,說明相關(guān)性較好。

表1 鶴崗市50 mm門限取值的GPD模型參數(shù)估計(jì)及其效果檢驗(yàn)

表2 鶴崗GPD模型重現(xiàn)期表

4 結(jié)果分析

4.1 重現(xiàn)期的選定

重現(xiàn)期代表了極值出現(xiàn)的概率，這是研究極值分布模型最關(guān)心的問題，表2得出了鶴崗GPD模型的重現(xiàn)期。但重現(xiàn)期的取值與樣本的容量有關(guān)，本文的樣本容量?jī)H為50 a，故50 a以下，甚至70 a以下的擬合效果比較好，時(shí)間較長(zhǎng)擬合效果不一定很好。

4.2 擬合效果檢驗(yàn)

pareto模擬曲線的擬合效果很好，與實(shí)測(cè)曲線的走勢(shì)基本一致，理論頻數(shù)與實(shí)測(cè)頻數(shù)的吻合程度比較高。由此可見，鶴崗的逐日極端降水量基本上符合GPD模式。對(duì)于鶴崗地區(qū)極端降水量采用廣義帕雷托模型（GPD）擬合是完全可行的，有很高的實(shí)用價(jià)值。

5 小結(jié)

本文利用廣義帕雷托分布模型 （GPD），借助于L-矩參數(shù)估計(jì)法，對(duì)鶴崗的極端降水進(jìn)行模擬，取鶴崗的降水資料為樣本作POT抽樣，再分別估算其參數(shù)，建立GPD模型，推算一定重現(xiàn)期的極端降水量分位數(shù)，并檢驗(yàn)其擬合效果，結(jié)果表明：

（1）利用廣義帕雷托分布模型能較好的擬合鶴崗的暴雨分布概率，且GPD模型計(jì)算簡(jiǎn)便，穩(wěn)定性好，基本不受原始序列樣本量的影響。

（2）POT抽樣法增加了極值的樣本量，L-矩估計(jì)得到的參數(shù)穩(wěn)定度高。

（3）在實(shí)際工作中，利用GPD模型推算出五十年一遇或百年一遇的極端強(qiáng)降水量，可為預(yù)防強(qiáng)降水引發(fā)的洪澇災(zāi)害工作提供參考數(shù)據(jù)。