吳修彬，孫召瑞，孫貴斌，李國(guó)平,2

（1.萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械與汽車工程系，萊蕪 271199；2.萊蕪市粉末冶金先進(jìn)制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，萊蕪 271199）

0 引言

箱體等鑄造類零件常有過渡非圓曲線，針對(duì)其進(jìn)行工程制圖或三維建模，常需將非圓曲線保持其趨勢(shì)進(jìn)行延伸[1]。現(xiàn)有計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件，如AutoCAD、Pro/E、UG等均有延伸功能。然而，除AutoCAD可延伸橢圓曲線外，現(xiàn)有軟件僅對(duì)直線和圓弧能保持原有曲線特性進(jìn)行延伸，對(duì)任意的非圓曲線或者不響應(yīng)，或者改變?cè)刑匦赃M(jìn)行延伸，如CAXA對(duì)任何曲線均以直線特性延伸。非圓曲線保持特性延伸是制圖和建模中經(jīng)常遇到的難題，實(shí)際應(yīng)用中，只能采用手工繪制樣條曲線進(jìn)行替代，誤差較大。

趨勢(shì)外推法[2]是根據(jù)過去和現(xiàn)在的發(fā)展趨勢(shì)推斷未來(lái)的一類方法的總稱，目前用于科技、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的預(yù)測(cè)[3～5]。如將趨勢(shì)外推法的時(shí)間和數(shù)值視為曲線的坐標(biāo)值，則可將其應(yīng)用于非圓曲線的延伸。本文基于上述思想，在極角坐標(biāo)系中研究任意非圓曲線趨勢(shì)外推延伸方法，首先建立幾種典型延伸數(shù)學(xué)模型，給出模型應(yīng)用條件，供延伸具體曲線時(shí)采用，克服現(xiàn)有CAD軟件共性關(guān)鍵難題。

1 多項(xiàng)式延伸模型

1.1 二次曲線模型

用最小二乘法[8]確定延伸參數(shù)。由式（1）得：

式中： r i為第i點(diǎn)的觀察值； ei為第i點(diǎn)的離差；Q為離差平方和。

qi表示極角序列的編號(hào)，當(dāng)極角序列觀察點(diǎn)的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，令其中間項(xiàng) 的編號(hào)為0，

式（4）可簡(jiǎn)化為：

解方程組可得：

根據(jù)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)采用式（6）計(jì)算延伸參數(shù)，依據(jù)式（1）建立延伸模型。

1.2 三次曲線模型

用最小二乘法確定延伸參數(shù)。由式（7）得：

解方程組可得：

根據(jù)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)采用式（12）計(jì)算延伸參數(shù)，依據(jù)式（7）建立延伸模型。

2 Gompertz曲線延伸模型

選N=3n組離散點(diǎn)，其中n是離散點(diǎn)分成3組后，各組離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)。若N不等于3n，摒棄離延伸位置較遠(yuǎn)的若干點(diǎn)，使N=3n。將離散點(diǎn)代入下式：

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入下式，計(jì)算Gompertz模型所需參數(shù)。

3 指數(shù)曲線延伸模型

根據(jù)式（2）聯(lián)立求得：

4 曲線趨勢(shì)外推延伸實(shí)例

如表1所示，分別為二次曲線、三次曲線、Gompertz曲線、指數(shù)曲線上的4組離散點(diǎn)。應(yīng)用上述方法對(duì)4條曲線進(jìn)行延伸，分析延伸曲線與理論曲線間的誤差，檢驗(yàn)延伸模型的準(zhǔn)確性。

表1 趨勢(shì)外推延伸曲線離散點(diǎn)

分別擬合上述4組離散點(diǎn)，在擬合曲線上選取qi為等差數(shù)列的新離散點(diǎn)，分別計(jì)算4組新離散點(diǎn)延伸模型應(yīng)用條件，如表2所示，曲線1的 最大差值最小，接近于常數(shù)，選用二次曲線趨勢(shì)外推延伸模型；曲線2的 最大差值最小，選用三次曲線趨勢(shì)外推延伸模型；曲線3的(▽l n ρi+1-▽lnρi)▽lnρi最 大 差 值 最 小 ， 選 用Gompertz曲線趨勢(shì)外推延伸模型；曲線4的▽ln ρi最大差值最小，選用指數(shù)曲線趨勢(shì)外推延伸模型。

對(duì)曲線1，經(jīng)運(yùn)算，延伸參數(shù)為： a ?=3.000+5.526×10-13， b? = 2.000+3.971×10-10，c?= 1.000+1.982×10-11。將（3.500，22.250）作為起始點(diǎn)，利用模型式（1）對(duì)曲線進(jìn)行延伸，圖1為延伸圖及與理論曲線誤差圖，延伸誤差在10-11數(shù)量級(jí)，精度較高。

表2 趨勢(shì)外推延伸模型選擇

圖1 曲線1的延伸圖及誤差圖

圖2 曲線2的延伸圖及誤差圖

圖3 曲線3的延伸圖及誤差圖

圖4 曲線4的延伸圖及誤差圖

5 結(jié)論

1)引入趨勢(shì)外推方法，建立多項(xiàng)式、Gompertz曲線、指數(shù)曲線3類延伸數(shù)學(xué)模型，提供了模型識(shí)別與選擇方法，根據(jù)待延伸曲線離散點(diǎn)特征可合理選擇延伸模型，實(shí)現(xiàn)非圓曲線趨勢(shì)外推延伸。

2)曲線趨勢(shì)外推延伸實(shí)例表明：用所建立的延伸模型延伸與之同類型的曲線，可以長(zhǎng)距離延伸，精度非常高，且距延伸起始點(diǎn)越近，精度越高，達(dá)到趨勢(shì)外推延伸。對(duì)與延伸模型不同類型的曲線，也可近似延伸。

3)曲線趨勢(shì)外推延伸方法可應(yīng)用于對(duì)現(xiàn)有CAD軟件的核心升級(jí)，也可對(duì)其進(jìn)行二次開發(fā)，增加其功能模塊，使之更精確的進(jìn)行交互式設(shè)計(jì)。

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