談欣榮，高憲軍，霍長(zhǎng)庚

(空軍航空大學(xué) a.研究生隊(duì)；b.航空電子工程系，吉林 長(zhǎng)春 130022)

0 引言

無(wú)源定位技術(shù)是一種定位設(shè)備本身并不主動(dòng)發(fā)射信號(hào)，而僅僅依靠被動(dòng)接收輻射源的信息來(lái)實(shí)現(xiàn)定位的技術(shù)[1-2]。與有源定位方法相比，無(wú)源定位方法具有作用距離遠(yuǎn)、隱蔽接收、不易被對(duì)方察覺(jué)的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于提高探測(cè)和偵察系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)能力具有重要作用。

傳統(tǒng)的無(wú)源定位與跟蹤系統(tǒng)利用運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)平臺(tái)在不同時(shí)刻測(cè)量目標(biāo)輻射源電磁波的波達(dá)角，利用三角交叉原理進(jìn)行定位與跟蹤，這種方法具有收斂速度慢、定位精度低、對(duì)觀測(cè)平臺(tái)的機(jī)動(dòng)性要求高等缺點(diǎn)。這種方法沒(méi)有充分利用接收信號(hào)中的信息，舍棄了信號(hào)頻率、頻率變化率、波達(dá)角變化率、到達(dá)時(shí)間差等有用信息。另一方面，從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理分析，徑向距離、頻率變化率、切向速度和波達(dá)角變化率四者之間存在密切關(guān)系[3-4]，可以由這些關(guān)系解算出目標(biāo)輻射源到觀測(cè)平臺(tái)的徑向距離。本文討論從接收信號(hào)中測(cè)量目標(biāo)的波達(dá)角、波達(dá)角變化率和頻率變化率的方法進(jìn)行單站無(wú)源定位與跟蹤，比傳統(tǒng)的只測(cè)向方法增加了頻率變化率和波達(dá)角變化率2類(lèi)觀測(cè)量。

1 利用頻率變化率和波達(dá)角變化率對(duì)二維平面目標(biāo)定位與跟蹤的原理

圖1 二維平面觀測(cè)平臺(tái)與目標(biāo)輻射源幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of radiation source with the target platform in two-dimensional plane

相對(duì)速度v(t)可以分解成徑向速度和切向速度2個(gè)相互垂直的分量，即v(t)=vr(t)er(t)+vl(t)el(t)，觀測(cè)站平臺(tái)和輻射源之間的距離為

(1)

通常輻射源的相對(duì)速度v(t)是未知的，故vl(t)也是未知的，僅僅采用式(1)無(wú)法測(cè)距。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理又有

(2)

(3)

(4)

式中：λ為接收信號(hào)的波長(zhǎng)λ=c/f。

(5)

然后根據(jù)三角原理得出目標(biāo)輻射源的位置(xT，yT):

(6)

在多次測(cè)量的情況下，通常選擇適當(dāng)?shù)姆蔷€性跟蹤濾波算法、對(duì)輻射源進(jìn)行跟蹤定位[5-9]。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)輻射源，整個(gè)定位與跟蹤系統(tǒng)可以由狀態(tài)方程和觀測(cè)方程來(lái)描述，狀態(tài)方程為

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n).

(7)

觀測(cè)平臺(tái)以波達(dá)角、頻率變化率和波達(dá)角變化率作為觀測(cè)空間，當(dāng)觀測(cè)平臺(tái)和目標(biāo)輻射源都為勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)量和狀態(tài)矢量x的關(guān)系為

fx(n)+v(n)，

2 可觀測(cè)性分析

在單站無(wú)源定位與跟蹤系統(tǒng)中，可觀測(cè)性問(wèn)題具體指:唯一確定目標(biāo)輻射源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的條件。

2.1 勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的可觀測(cè)性分析

(2) 觀測(cè)平臺(tái)和目標(biāo)輻射源之間只存在徑向運(yùn)動(dòng)，而無(wú)切向運(yùn)動(dòng)。

除以上2種情況外，其他情況為可觀測(cè)的。

2.2 勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的可觀測(cè)性分析

(8)

在沒(méi)有噪聲干擾的情況下，式(8)的觀測(cè)方程可以改寫(xiě)為

(9)

根據(jù)觀測(cè)函數(shù)與狀態(tài)矢量的關(guān)系得到:

(10)

(11)

3 基于無(wú)源定位系統(tǒng)模型中的3種非線性跟蹤濾波算法

單純的無(wú)源定位技術(shù)不足以獲取運(yùn)動(dòng)目標(biāo)連續(xù)的位置信息，對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)則要進(jìn)行有效的跟蹤濾波。大多數(shù)的無(wú)源定位系統(tǒng)，其所提供的測(cè)量數(shù)據(jù)與目標(biāo)狀態(tài)間常呈非線性關(guān)系。若要利用觀測(cè)數(shù)據(jù)完成目標(biāo)狀態(tài)的更新，須解決非線性濾波問(wèn)題。

3.1 EKF(extended Kalman filter)跟蹤濾波算法

卡爾曼濾波是建立在數(shù)據(jù)遞推基礎(chǔ)之上的，它以遞推濾波器作為其基本結(jié)構(gòu)形式。但在實(shí)際中，經(jīng)常遇到非線性的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，這時(shí)卡爾曼濾波就不再有效，這時(shí)引入了擴(kuò)展卡爾曼濾波，即EKF算法。EKF算法對(duì)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程進(jìn)行線性化，這種線性化的結(jié)果隨之線性卡爾曼濾波器的應(yīng)用導(dǎo)出了擴(kuò)展的卡爾曼濾波器，它不具有最佳的特性，它的性能取決于線性化的精度[10-12]。

在單站無(wú)源定位與跟蹤系統(tǒng)中，只有觀測(cè)方程為非線性方程，在EKF算法中必須對(duì)它線性化處理，系統(tǒng)的觀測(cè)方程為

z(n)=fx(n)+v(n).

對(duì)上式在狀態(tài)矢量x(n)的預(yù)測(cè)值處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，一般取一階項(xiàng)作為近似，也就是通常所說(shuō)的EKF算法。觀測(cè)方程線性化處理為

式中：H(n)為f的一階微分矩陣:

EKF的定位與跟蹤濾波算法為

(1) 預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差為

(2) 卡爾曼增益矩陣為

K(n)=P(n/n-1)HT(n)·

(3) 濾波估計(jì)值和估計(jì)協(xié)方差矩陣為

3.2 UKF(unscented Kalman filter)跟蹤濾波算法

基于近似高斯分布比近似非線性函數(shù)簡(jiǎn)單的思想，UKF(unscented Kalman filter)，以UT(unscented transformation)變換為基礎(chǔ)，以Kalman濾波為框架，使用確定性采樣獲取非線性函數(shù)的概率分布。UKF仍然繼承了Kalman濾波器的基本結(jié)構(gòu)，不同之處是用UT取代了局部線性化。UKF仍然假設(shè)系統(tǒng)的隨機(jī)部分服從高斯分布，但取消了對(duì)系統(tǒng)模型的假設(shè)條件，不要求系統(tǒng)是近似線性的，狀態(tài)后驗(yàn)分布的逼近精度更高，而計(jì)算量卻與EKF同階。

以下非線性模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程：

Xk+1=F(Xk,uk)，Yk=H(Xk,vk).

對(duì)于狀態(tài)變量Xk的估計(jì)，可以通過(guò)如下UKF濾波算法完成。

(1) 初始條件

(2) 濾波更新

以上就是對(duì)無(wú)源定位中非線性系統(tǒng)模型采用UKF算法進(jìn)行濾波估計(jì)的過(guò)程。顯然，EKF需要計(jì)算雅可比矩陣，并在濾波過(guò)程中取一階近似線性化；UKF在非線性函數(shù)傳遞時(shí)，對(duì)任意非線性函數(shù)，后驗(yàn)均值和協(xié)方差可以精確到3階，而計(jì)算程度卻與EKF的一階近似相同，并且不必計(jì)算雅可比及Hessian矩陣。

3.3 PF(particle Filter)算法

粒子濾波是一種基于貝葉斯估計(jì)原理的序貫Monte Carlo模擬方法，其核心是利用一些隨機(jī)樣本(粒子)來(lái)表示系統(tǒng)隨機(jī)變量的驗(yàn)后概率，以得到基于物理模型的近似最優(yōu)數(shù)值解，而不是對(duì)近似模型進(jìn)行最優(yōu)濾波，適用于強(qiáng)非線性非高斯噪聲系統(tǒng)模型的濾波。

設(shè)系統(tǒng)模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

xk+1=f(xk)+wk，zk=h(xk)+vk,

式中：f(·)和h(·)分別表示非線性函數(shù)；wk和vk為互不相關(guān)的零均值過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲，其協(xié)方差分別為Qk和Rk。

粒子濾波算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 初始化k=0；

(2) 重要性采樣和權(quán)值計(jì)算；

(3) 重采樣；

(5) 令k=k+1，轉(zhuǎn)到(2)。

4 仿真驗(yàn)證

利用EKF,UKF或PF方法對(duì)各時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，即可得到目標(biāo)的位置及速度的估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)定位與跟蹤。

處理過(guò)程為：首先假設(shè)目標(biāo)靜止，利用觀測(cè)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行粗略定位，得到的目標(biāo)位置作為初始值建立EKF，UKF或PF濾波過(guò)程，估計(jì)出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度，對(duì)粗略的定位結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償并平滑噪聲；利用前一時(shí)刻的目標(biāo)位置及速度濾波值，計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)的位置及速度預(yù)測(cè)值；利用這一預(yù)測(cè)值和當(dāng)前時(shí)刻測(cè)量的來(lái)自目標(biāo)輻射源的波達(dá)角、波達(dá)角變化率和頻率變化率數(shù)據(jù)進(jìn)行定位，并對(duì)預(yù)測(cè)的目標(biāo)位置及速度值進(jìn)行修正，得到當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)位置及速度濾波值；再用當(dāng)前時(shí)刻的濾波值對(duì)下一時(shí)刻的目標(biāo)位置及速度進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果及下一時(shí)刻的波達(dá)角、波達(dá)角變化率和頻率變化率的測(cè)量值得到下一時(shí)刻目標(biāo)位置及速度的濾波值，如此反復(fù)。隨著濾波時(shí)間的增長(zhǎng)，對(duì)誤差較大的位置及速度初始值進(jìn)行補(bǔ)償及平滑噪聲，濾波得到的位置及速度估計(jì)值會(huì)越來(lái)越接近真實(shí)值，提高了定位精度。

衡量定位效果的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是定位精度，即相對(duì)位置誤差，定義為

假設(shè)測(cè)量條件為：觀察間隔為T(mén)=1 s,波達(dá)角、波達(dá)角變化率和頻率變化率的測(cè)量精度分別?。?×10-3rad，0.2×10-3rad/s，1 Hz/s。作100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)取平均值，得到定位結(jié)果如圖2，3所示。

圖2 估計(jì)結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)對(duì)比Fig.2 Filter estimates vs. true state

圖3 估計(jì)值誤差比較Fig.3 Compare of estimation error

仿真時(shí)間：

TEKF= 0.021 919 s，TUKF= 0.089 034 s，TPF=3.767 9 s.

相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)值:

EKF=19.72%，UKF=8.47%，PF=3.82%.

從仿真得到的圖形及數(shù)據(jù)可以看出：EKF用時(shí)最少，UKF居中，PF耗時(shí)最長(zhǎng)；PF濾波效果最好，UKF次之，EKF效果最差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用頻率和波達(dá)角信息在二維平面運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上解決對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定位問(wèn)題，進(jìn)行了可觀測(cè)性分析，得出觀測(cè)平臺(tái)和目標(biāo)輻射源之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)運(yùn)動(dòng)非徑向時(shí)可實(shí)現(xiàn)定位的結(jié)論。將EKF，UKF或PF 3種非線性濾波方法應(yīng)用到定位模型中，仿真驗(yàn)證表明，在存在機(jī)動(dòng)的情況下，EKF用時(shí)最少，UKF居中，PF耗時(shí)最長(zhǎng)；PF濾波效果最好，UKF次之，EKF效果最差。相比參考文獻(xiàn)[12]中介紹的多普勒頻率變化率算法(定位時(shí)間小于等于30 s，測(cè)距精度≤5%)[12]，提高了收斂速度和定位精度，能夠滿足實(shí)時(shí)跟蹤的要求，在新型無(wú)源探測(cè)系統(tǒng)中將具有一定的應(yīng)用前景。

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