許 輝

（中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心 武漢 430064）

1 引言

一個(gè)復(fù)雜工程系統(tǒng)往往涉及多個(gè)專業(yè)領(lǐng)域，存在很多設(shè)計(jì)變量及約束條件，各學(xué)科間相互影響或耦合。傳統(tǒng)的串行設(shè)計(jì)方式由于忽視學(xué)科間的關(guān)聯(lián)性，通常只能獲得設(shè)計(jì)的局部最優(yōu)解。上世紀(jì)八十年代，多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）興起于航空航天領(lǐng)域，以Sobieski和Kroo為代表的科學(xué)家在這方面做了一些開創(chuàng)性的工作［1～4］。MDO是一種通過(guò)充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制來(lái)設(shè)計(jì)復(fù)雜產(chǎn)品及其子系統(tǒng)的方法論。隨著MDO的發(fā)展，涌現(xiàn)出諸如多學(xué)科可行方向法（Multidisciplinary Feasible Method，MDF）、并行子空間優(yōu)化算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）、協(xié)同優(yōu)化算法（Collaborate Optimization，CO）、兩級(jí)集成系統(tǒng) 綜 合 （Bi－Level Integrated System Synthesis，BLISS）等優(yōu)化框架。其中1994年 Kroo等［2］人提出的協(xié)同優(yōu)化算法由于具有良好的學(xué)科自治性和并行處理能力，一直被認(rèn)為是多學(xué)科優(yōu)化中最具前途的優(yōu)化算法。

傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法中系統(tǒng)級(jí)獨(dú)特的一致性約束表達(dá)形式，導(dǎo)致系統(tǒng)級(jí)約束過(guò)多計(jì)算迭代次數(shù)增大，優(yōu)化結(jié)果無(wú)法收斂等。針對(duì)這些缺陷，文獻(xiàn)［5］提出了最優(yōu)靈敏度方法，采用一階近似方法增大了收斂的可能性，但計(jì)算量大且魯棒性差；文獻(xiàn)［6］采用動(dòng)態(tài)罰函數(shù)方法將系統(tǒng)級(jí)約束問(wèn)題轉(zhuǎn)為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，提高了系統(tǒng)級(jí)求解優(yōu)化效率，但如何選取合適的罰因子保證計(jì)算的穩(wěn)定性成為新的問(wèn)題；文獻(xiàn)［7］將遺傳算法應(yīng)用于系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化，克服了協(xié)同優(yōu)化可靠性不好的問(wèn)題，但計(jì)算次數(shù)的顯著增大也不容忽視；文獻(xiàn)［8］將罰函數(shù)方法引入學(xué)科級(jí)，用學(xué)科級(jí)共享平均值代替系統(tǒng)變量實(shí)施系統(tǒng)優(yōu)化，有效提高了系統(tǒng)級(jí)收斂效率，但該方法無(wú)法求解學(xué)科級(jí)共享變量數(shù)目不對(duì)等的問(wèn)題；文獻(xiàn)［9］提出在協(xié)同優(yōu)化框架類加入混合變量解決復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，該方法思想新穎，但混合變量的加入導(dǎo)致系統(tǒng)級(jí)更大的優(yōu)化負(fù)擔(dān)。綜合以上分析，提出了一種新的協(xié)同優(yōu)化算法（New Collaborative Optimization，NCO），并用工程測(cè)試算例進(jìn)行驗(yàn)證。

2 改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化算法

2.1 協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)描述及求解流程

CO是1994年斯坦福大學(xué)教授Kroo等針對(duì)單級(jí)多學(xué)科優(yōu)化方法在解決大型復(fù)雜系統(tǒng)工程時(shí)出現(xiàn)的低效率和大計(jì)算量問(wèn)題，提出的具有兩級(jí)結(jié)構(gòu)的多學(xué)科優(yōu)化策略。CO將優(yōu)化問(wèn)題分為兩級(jí)：一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和并行的多個(gè)學(xué)科級(jí)。系統(tǒng)級(jí)的數(shù)學(xué)描述形式如下：

式中，f（z）為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；為學(xué)科級(jí)i的第j個(gè)共享變量最優(yōu)解；m為系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)共享變量數(shù)目；zj為第j個(gè)共享變量；（z）為學(xué)科級(jí)i提供的一致性等式約束條件；n為優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)科級(jí)數(shù)目。

CO算法的學(xué)科級(jí)數(shù)學(xué)描述形式為

式中，Ji（xi）為學(xué)科級(jí)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；xij為學(xué)科級(jí)i的第j個(gè)共享變量；xil為學(xué)科級(jí)i的局部設(shè)計(jì)變量；為系統(tǒng)級(jí)傳遞給學(xué)科級(jí)i的第j個(gè)共享變量；g（xij，xil）為學(xué)科級(jí)局部約束條件。

優(yōu)化之初，系統(tǒng)級(jí)向?qū)W科級(jí)分配系統(tǒng)級(jí)變量的目標(biāo)值，如圖1流程圖所示，各學(xué)科級(jí)在滿足自身約束的條件下，其目標(biāo)函數(shù)應(yīng)使學(xué)科間耦合變量與分配的目標(biāo)值的差距最小，經(jīng)學(xué)科級(jí)優(yōu)化后，將優(yōu)化解傳回給系統(tǒng)級(jí)，系統(tǒng)級(jí)在一致性約束條件下，優(yōu)化共享變量，以解決各學(xué)科間耦合變量的不一致。通過(guò)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子學(xué)科級(jí)優(yōu)化之間的多次迭代，最終得到一個(gè)學(xué)科間耦合關(guān)系，達(dá)到一致的系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。正是這種分布并行的設(shè)計(jì)思想，保證了各學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的自由度，減少了學(xué)科間的數(shù)據(jù)傳輸，吸引國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者將其應(yīng)用于飛機(jī)、衛(wèi)星、電動(dòng)汽車、魚雷及船舶的設(shè)計(jì)［10～14］。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)CO流程

2.2 改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化算法

傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)表述形式使其在實(shí)際系統(tǒng)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)存在如下三個(gè)主要問(wèn)題：

1）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是2－范數(shù)形式。其導(dǎo)數(shù)（z）＝－2（ˉxi－ˉz）在最優(yōu)解處的Jacobian矩陣是奇異矩陣將導(dǎo)致系統(tǒng)級(jí)Kuhn－Tucker條件無(wú)法滿足，嚴(yán)重影響系統(tǒng)級(jí)收斂結(jié)果和效率。

2）對(duì)于實(shí)際的復(fù)雜MDO問(wèn)題，子學(xué)科數(shù)目往往多余系統(tǒng)級(jí)共享變量數(shù)目使得系統(tǒng)級(jí)約束條件數(shù)大余系統(tǒng)級(jí)共享變量數(shù)，極大限制了系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的自由度。

3）系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束形式，沒(méi)有考慮實(shí)際工程設(shè)計(jì)中不同設(shè)計(jì)變量量級(jí)的差別和設(shè)計(jì)精度的要求，各學(xué)科的一致性約束表達(dá)式中可能造成量級(jí)小的變量失去一致性控制作用且等式約束條件過(guò)于苛刻易使優(yōu)化過(guò)程無(wú)法收斂。

針對(duì)上述分析提出了NCO算法，NCO框架在繼承了傳統(tǒng)協(xié)調(diào)優(yōu)化分布并行的思想上，以新的系統(tǒng)級(jí)約束表達(dá)形式來(lái)克服傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化計(jì)算困難的缺陷。

1）為了避免系統(tǒng)級(jí)約束Jacobian矩陣為零對(duì)Kuhn－Tucker條件的破壞，使用1－范數(shù)來(lái)代替2－范數(shù)。

2）系統(tǒng)級(jí)一致性約束形式改為由各個(gè)變量與系統(tǒng)級(jí)共享變量間差異最大的表達(dá)式來(lái)控制來(lái)增強(qiáng)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化自由度，同時(shí)有助于將不同設(shè)計(jì)變量分離處理。

3）根據(jù)實(shí)際各個(gè)設(shè)計(jì)變量精度要求選取不同的松弛變量。

改進(jìn)后的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型為

式中j為系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。εj為實(shí)際工程中第j個(gè)共享變量要求的精度。

3 算例分析

分別采用典型函數(shù)和實(shí)際工程問(wèn)題將Alexandrov提出的松弛協(xié)同優(yōu)化與NCO優(yōu)化算法比較，以說(shuō)明NCO算法的有效適用性。

3.1 數(shù)值算例

選取一個(gè)典型函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)本文的改進(jìn)策略進(jìn)行測(cè)試。其數(shù)學(xué)模型為［15］

按照協(xié)同優(yōu)化的思想，將該優(yōu)化問(wèn)題分為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和兩個(gè)學(xué)科級(jí)。松弛協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型：

式中，z1，z2為系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，為系統(tǒng)級(jí)一致性約束。

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

采用NCO算法對(duì)系統(tǒng)級(jí)表述形式進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

由文獻(xiàn)［15］可知，當(dāng)β＝0.1時(shí)，最優(yōu)解x＊為（0.198，1.980），目標(biāo)函數(shù)f＊為3.998。取四組不同初始點(diǎn)，兩種方法系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)都采用序列二次規(guī)劃法（NLPQL），NCO系統(tǒng)級(jí)表達(dá)式中ε1取10－5，ε2取10－4優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果比較

圖2 初始點(diǎn)1處松弛CO算法系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖

圖3 初始點(diǎn)1處NCO算法系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖

由表1的數(shù)據(jù)可以看出，在不同的初始點(diǎn)處，松弛CO算法和NCO算法方法都求得最優(yōu)解，且優(yōu)化結(jié)果與給定的最優(yōu)目標(biāo)值接近。但對(duì)于所有不同的起始點(diǎn)NCO的系統(tǒng)迭代次數(shù)大幅度下降，收斂效率明顯得到提升。圖2、圖3所示為在初始點(diǎn)1處，松弛CO和NCO算法系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖。

3.2 齒輪減速器優(yōu)化問(wèn)題

齒輪減速器優(yōu)化算例是NASA評(píng)估多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法性能的十個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例之一［16］。該設(shè)計(jì)問(wèn)題包括七個(gè)設(shè)計(jì)變量，如圖4所示，其中x1為齒面寬度，x2齒輪模數(shù)，x3小齒輪齒數(shù)，x4、x5為軸承間距，x6、x7為軸的直徑，目標(biāo)是滿足齒輪的彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力以及軸的位移和應(yīng)力等約束條件下使得減速箱的質(zhì)量最輕。其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表述如下［17］：

以上各式中，設(shè)計(jì)變量取值范圍為：2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4，x5≤8.3，2.9≤x6≤3.9，5≤x7≤5.5單位：cm。

按照多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)思想，將齒輪箱優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題分解為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和三個(gè)學(xué)科級(jí)，系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量為z1，z2，z3，學(xué)科1的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3，x4，x6，學(xué)科2的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3，x5，x7，學(xué)科3的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3。

圖4 齒輪減速箱

松弛CO算法的優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

4）子學(xué)科3的優(yōu)化模型：

采用NCO算法對(duì)系統(tǒng)級(jí)表述形式進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

4）子學(xué)科3的優(yōu)化模型：

表2列出了NASA給出的四個(gè)不同起始點(diǎn)，其中A、B、C為可行域內(nèi)的點(diǎn)，D為可行域外的點(diǎn)。

兩種方法系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)都采用序列二次規(guī)劃法（NLPQL）。其中松弛協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)果來(lái)自文獻(xiàn)［18］。齒輪箱優(yōu)化問(wèn)題中齒面寬度x1量級(jí)為100，按照允許誤差要求，取ε1＝10－4；小齒輪模數(shù)x2量級(jí)10－1，工程設(shè)計(jì)中要求精度高，在NCO中設(shè)定ε2＝10－5，小齒輪齒數(shù)x3量級(jí)為101，精度要求相對(duì)偏低，故可取ε2＝10－3。減速齒輪箱為優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 初始設(shè)計(jì)點(diǎn)

表3 齒輪箱優(yōu)化結(jié)果比較

文獻(xiàn)［19］給出該問(wèn)題的最優(yōu)解為（3.50，0.7，17，7.3，7.71，3.35，5.29），目 標(biāo) 函 數(shù)f＊為2994kg。

圖5 起始點(diǎn)A處NCO算法系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖

圖6 起始點(diǎn)C處NCO算法系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖

由表3可以看出，對(duì)于齒輪箱優(yōu)化問(wèn)題，起始點(diǎn)A處松弛CO無(wú)法收斂。而NCO算法迭代39次收斂至最優(yōu)解。圖5給出了起始點(diǎn)A處的系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖。

在起始點(diǎn)B、C、D處，傳統(tǒng)CO和NCO都能收斂至最優(yōu)解。但當(dāng)起始點(diǎn)位于最優(yōu)點(diǎn)附近的C點(diǎn)或者可行域外的D點(diǎn)時(shí)傳統(tǒng)CO算法系統(tǒng)級(jí)收斂緩慢，NCO的收斂速率為松弛CO的1.5倍，且NCO算法的魯棒性優(yōu)于松弛CO。圖6給出了起始點(diǎn)在C點(diǎn)處的系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代圖。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在分析了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化求解多學(xué)科問(wèn)題易出現(xiàn)缺陷原因的同時(shí)，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)級(jí)一致性約束表述形式進(jìn)行改變，提出了一種改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化算法。NCO在繼承傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法高度學(xué)科自治性、并行優(yōu)化設(shè)計(jì)思想的基礎(chǔ)上，對(duì)解決復(fù)雜的系統(tǒng)工程問(wèn)題主要具有如下優(yōu)勢(shì)：

1）系統(tǒng)級(jí)一致性約束形式改為由各個(gè)變量與系統(tǒng)級(jí)共享變量間差異最大的單項(xiàng)表達(dá)式來(lái)控制，降低了系統(tǒng)級(jí)約束的維數(shù)，提高了系統(tǒng)優(yōu)化效率。

2）系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束變?yōu)椴坏仁郊s束，松弛變量根據(jù)不同設(shè)計(jì)變量精度要求和量級(jí)大小選取，有效保證了可行域解的存在，同時(shí)更符合工程實(shí)際要求。

3）以1－范數(shù)形式替代系統(tǒng)級(jí)約束2－范數(shù)形式，保障了Kuhn－Tucker穩(wěn)態(tài)條件，使數(shù)值型優(yōu)化算法得以實(shí)施。

兩個(gè)經(jīng)典多學(xué)科測(cè)試算例初步驗(yàn)證了NCO的有效性和魯棒性。NCO還需要在大型復(fù)雜系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中進(jìn)行應(yīng)用、檢驗(yàn)及進(jìn)一步完善。

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