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        中考數(shù)學(xué)中折疊問題如何解

        2014-07-09 16:31:56華騰飛
        學(xué)生之友·最作文 2014年5期
        關(guān)鍵詞:折痕菱形重合

        華騰飛

        近年來,各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題,有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手,其實求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形,靈活運用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法,希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

        一、翻折三角形的一角

        例1 .如圖1所示,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由.

        解析:如圖1, 連接CD與EF交于O點.

        ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,

        ∴CD = DB =■AB,∴∠DCB =∠B.

        由折疊知,∠COF = 90°.

        ∴∠DCB +∠CFE = 90°.

        ∵∠B +∠A = 90°,∴∠CFE =∠A.

        又∵∠C =∠C,∴△CEF ∽ △CBA.

        二、翻折矩形的一角

        例2.如圖2所示,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,使點C與點C′重合.若AB = 2,則C′D的長為()

        A. 1B. 2 C. 3D. 4

        解析: 根據(jù)矩形的對邊相等,得CD = AB = 2,由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

        三、翻折菱形的一角

        例3.如圖3所示,將菱形紙片ABCD折疊,使點A恰好落在菱形的對稱中心O處,折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm,∠A = 120°,則EF = ____ cm.

        解析: 如圖4所示,連結(jié)BD、AO,則B、O、D三點共線,BO = ■BD,AO⊥BD,AO平分∠BAD.

        ∴∠BAO = 60°.

        在Rt△AOB中,BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知,AO垂直平分EF,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

        四、翻折四邊形的一角

        例4.如圖5所示,在△OAB中,∠OAB = 90°,∠AOB =30°,OB = 8.以O(shè)B為邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.

        (1) 求證:四邊形ABCE是平行四邊形;

        (2) 如圖6所示,將圖6中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.

        解析:(1)如圖5,在Rt△OAB中,D為OB的中點.

        ∴DO = DA,

        ∴∠DAO =∠DOA = 30°.

        ∵△OBC為等邊三角形,

        ∴∠BCO =∠COB = 60°,

        ∴∠EOA = 90°,

        ∴OC∥AB,∠AEO = 60° =∠BCO,

        ∴BC∥AE,

        ∴四邊形ABCE是平行四邊形.

        (2)如圖6, 由題意知OC = OB = 8.

        設(shè)OG = x,則由折疊可知:

        AG = GC = 8 – x.

        ∵∠OAB = 90°,∠AOB = 30°,OB = 8,

        ∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

        在Rt△OAG中,由勾股定理可得:

        OG2 + OA2 = AG2,

        即x2 +(4■)2=(8-x)2.

        解得x = 1,∴OG = 1.

        練習(xí):

        如圖7所示,已知四邊形ABCD是矩形,把矩形沿直線AC折疊,點B落在點E處,連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為( )

        A.■B. ■C. ■D.■

        答案:A

        (作者單位:安徽省靈璧黃灣中學(xué))

        endprint

        近年來,各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題,有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手,其實求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形,靈活運用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法,希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

        一、翻折三角形的一角

        例1 .如圖1所示,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由.

        解析:如圖1, 連接CD與EF交于O點.

        ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,

        ∴CD = DB =■AB,∴∠DCB =∠B.

        由折疊知,∠COF = 90°.

        ∴∠DCB +∠CFE = 90°.

        ∵∠B +∠A = 90°,∴∠CFE =∠A.

        又∵∠C =∠C,∴△CEF ∽ △CBA.

        二、翻折矩形的一角

        例2.如圖2所示,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,使點C與點C′重合.若AB = 2,則C′D的長為()

        A. 1B. 2 C. 3D. 4

        解析: 根據(jù)矩形的對邊相等,得CD = AB = 2,由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

        三、翻折菱形的一角

        例3.如圖3所示,將菱形紙片ABCD折疊,使點A恰好落在菱形的對稱中心O處,折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm,∠A = 120°,則EF = ____ cm.

        解析: 如圖4所示,連結(jié)BD、AO,則B、O、D三點共線,BO = ■BD,AO⊥BD,AO平分∠BAD.

        ∴∠BAO = 60°.

        在Rt△AOB中,BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知,AO垂直平分EF,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

        四、翻折四邊形的一角

        例4.如圖5所示,在△OAB中,∠OAB = 90°,∠AOB =30°,OB = 8.以O(shè)B為邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.

        (1) 求證:四邊形ABCE是平行四邊形;

        (2) 如圖6所示,將圖6中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.

        解析:(1)如圖5,在Rt△OAB中,D為OB的中點.

        ∴DO = DA,

        ∴∠DAO =∠DOA = 30°.

        ∵△OBC為等邊三角形,

        ∴∠BCO =∠COB = 60°,

        ∴∠EOA = 90°,

        ∴OC∥AB,∠AEO = 60° =∠BCO,

        ∴BC∥AE,

        ∴四邊形ABCE是平行四邊形.

        (2)如圖6, 由題意知OC = OB = 8.

        設(shè)OG = x,則由折疊可知:

        AG = GC = 8 – x.

        ∵∠OAB = 90°,∠AOB = 30°,OB = 8,

        ∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

        在Rt△OAG中,由勾股定理可得:

        OG2 + OA2 = AG2,

        即x2 +(4■)2=(8-x)2.

        解得x = 1,∴OG = 1.

        練習(xí):

        如圖7所示,已知四邊形ABCD是矩形,把矩形沿直線AC折疊,點B落在點E處,連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為( )

        A.■B. ■C. ■D.■

        答案:A

        (作者單位:安徽省靈璧黃灣中學(xué))

        endprint

        近年來,各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題,有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手,其實求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形,靈活運用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法,希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

        一、翻折三角形的一角

        例1 .如圖1所示,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由.

        解析:如圖1, 連接CD與EF交于O點.

        ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,

        ∴CD = DB =■AB,∴∠DCB =∠B.

        由折疊知,∠COF = 90°.

        ∴∠DCB +∠CFE = 90°.

        ∵∠B +∠A = 90°,∴∠CFE =∠A.

        又∵∠C =∠C,∴△CEF ∽ △CBA.

        二、翻折矩形的一角

        例2.如圖2所示,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,使點C與點C′重合.若AB = 2,則C′D的長為()

        A. 1B. 2 C. 3D. 4

        解析: 根據(jù)矩形的對邊相等,得CD = AB = 2,由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

        三、翻折菱形的一角

        例3.如圖3所示,將菱形紙片ABCD折疊,使點A恰好落在菱形的對稱中心O處,折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm,∠A = 120°,則EF = ____ cm.

        解析: 如圖4所示,連結(jié)BD、AO,則B、O、D三點共線,BO = ■BD,AO⊥BD,AO平分∠BAD.

        ∴∠BAO = 60°.

        在Rt△AOB中,BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知,AO垂直平分EF,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

        四、翻折四邊形的一角

        例4.如圖5所示,在△OAB中,∠OAB = 90°,∠AOB =30°,OB = 8.以O(shè)B為邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.

        (1) 求證:四邊形ABCE是平行四邊形;

        (2) 如圖6所示,將圖6中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.

        解析:(1)如圖5,在Rt△OAB中,D為OB的中點.

        ∴DO = DA,

        ∴∠DAO =∠DOA = 30°.

        ∵△OBC為等邊三角形,

        ∴∠BCO =∠COB = 60°,

        ∴∠EOA = 90°,

        ∴OC∥AB,∠AEO = 60° =∠BCO,

        ∴BC∥AE,

        ∴四邊形ABCE是平行四邊形.

        (2)如圖6, 由題意知OC = OB = 8.

        設(shè)OG = x,則由折疊可知:

        AG = GC = 8 – x.

        ∵∠OAB = 90°,∠AOB = 30°,OB = 8,

        ∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

        在Rt△OAG中,由勾股定理可得:

        OG2 + OA2 = AG2,

        即x2 +(4■)2=(8-x)2.

        解得x = 1,∴OG = 1.

        練習(xí):

        如圖7所示,已知四邊形ABCD是矩形,把矩形沿直線AC折疊,點B落在點E處,連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為( )

        A.■B. ■C. ■D.■

        答案:A

        (作者單位:安徽省靈璧黃灣中學(xué))

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