李丹丹，何榮卜，張彩紅

1.六盤水師范學(xué)院礦業(yè)工程系，貴州六盤水 553004

2.六盤水供電局城區(qū)供電分局，貴州六盤水 553004

H∞與滑模融合控制算法在磁懸浮系統(tǒng)中的應(yīng)用

李丹丹1，何榮卜2，張彩紅1

1.六盤水師范學(xué)院礦業(yè)工程系，貴州六盤水 553004

2.六盤水供電局城區(qū)供電分局，貴州六盤水 553004

磁懸浮系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)出現(xiàn)模型攝動(dòng)和各種外界干擾，提高磁懸浮系統(tǒng)的魯棒性非常重要，給出了磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；結(jié)合H∞控制和滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，給出一種H∞控制和滑?？刂频娜诤纤惴?，把該算法應(yīng)用在磁懸浮系統(tǒng)中；通過Matlab仿真，驗(yàn)證了該算法能有效抑制磁懸浮系統(tǒng)中存在的確定性和不確定性干擾，從而使控制系統(tǒng)的性能得到提高。

磁懸浮；積分滑模；魯棒；H∞控制

1 引言

磁懸浮技術(shù)在交通、冶金、機(jī)械、電器、材料等方面有廣闊應(yīng)用前景。其中最為重要的應(yīng)用有磁懸浮列車、磁懸浮軸承、高速磁懸浮電機(jī)、磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)、磁懸浮潛水電泵。磁懸浮控制系統(tǒng)要求其在運(yùn)行過程中必需能夠在種種不確定因素下仍能保持較好的性能，所以對(duì)磁浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒性較好的控制器非常必要?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制作為一種魯棒控制方法，僅僅對(duì)滿足匹配條件的內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性限制了該方法在實(shí)際方面的應(yīng)用[1-2]。因而要克服系統(tǒng)中的非匹配不確定性，必須結(jié)合其他的控制方法構(gòu)造具有魯棒性的滑?？刂葡到y(tǒng)，文獻(xiàn)[3]將系統(tǒng)中的不確定性轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI約束條件，進(jìn)而設(shè)計(jì)滑模面，一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，就能實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定性的不變性，但是這種方法只能解決一部分非匹配不確定性問題，并且對(duì)不確定性的限制也比較苛刻。文獻(xiàn)[4]提出了一種自調(diào)整的切換控制算法，該算法在某種程度上改善了滑模控制器的不足，但是上述相當(dāng)一部分控制策略其算法復(fù)雜、動(dòng)態(tài)性能較差，這與滑模變結(jié)構(gòu)控制簡(jiǎn)單、靈活的特點(diǎn)并不一致。這些不足通常使得在實(shí)際應(yīng)用中遇到很大的困難。在文獻(xiàn)[5]中給出了一個(gè)很好的控制器設(shè)計(jì)策略：把積分滑?？刂坪汪敯艨刂平Y(jié)合在一起可以有效地保證系統(tǒng)在不匹配不確定下仍然穩(wěn)定。所以本文應(yīng)用這種設(shè)計(jì)思想，設(shè)計(jì)了磁懸浮系統(tǒng)的H∞和積分滑模融合控制器。該控制器由兩部分組成：積分滑?？刂破骱虷∞控制器。由于積分滑?？刂谱饔玫囊耄ヅ淦饔刹淮_定性被完全抵消，剩下的非匹配不確定性由H∞控制器進(jìn)行處理。從而即能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性，同時(shí)又能滿足一定的H∞性能指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化控制，最后通過仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性。

2 磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

單自由度磁懸浮系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)很好的平臺(tái)，它主要有鐵芯、線圈、光電源、位置傳感器、放大及補(bǔ)償裝置、數(shù)字控制器和控制對(duì)象鋼球等元件組成，系統(tǒng)的構(gòu)成如圖1所示。

圖1 磁懸浮控制系統(tǒng)構(gòu)成

磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程為：

其中，F(xiàn)(x,i)=-N2μ0si(t)2/4x2(t)，μ0=4π×107(H/m)；s(m2)為鐵芯的極面積；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；x(m)為小球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時(shí)氣隙；i(A)為電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流。

磁懸浮系統(tǒng)的電磁學(xué)方程為：

其中，L(x(t),i(t))=N2μ0s/2i(t)；R(Ω)為電磁鐵的等效電阻。

考慮系統(tǒng)中的不確定性因素，取狀態(tài)變量[x1x2x3]= [x x˙i]系統(tǒng)非線性狀態(tài)方程為：

應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法得到磁懸浮系統(tǒng)的線性化模型為[6]：

若取狀態(tài)變量為：Δx=x-x0;Δx˙=x˙;Δi=i-i0；[x1x2x3]=[Δx Δx˙Δi]，可得系統(tǒng)線性化的狀態(tài)方程為：

3 控制器的設(shè)計(jì)

為便于分析，可把磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程（5）寫成標(biāo)稱系統(tǒng)的形式[8]：

在這里，w中包含了系統(tǒng)匹配的不確定性和不匹配的不確定性，在控制器設(shè)計(jì)之前，先對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行分解，分別表示出它的匹配不確定性和非匹配不確定性，首先引入如下的定義。

定義1（單位矩陣）[6]定義一個(gè)特殊的單位矩陣I1= BB++B⊥B⊥+，其中，B+定義為B的左逆矩陣，B+= (BTB)-1BT，定義B⊥∈R3×2，且B+B⊥=0，I1∈R3×3。

然后，根據(jù)定義1，可以對(duì)式（6）引入如下的矩陣：

設(shè)控制律u(t)=u0(t)+u1(t)[9]，其中控制器u0(t)設(shè)計(jì)用來保證標(biāo)稱系統(tǒng)的性能，是通過積分滑?？刂频乃枷氲玫降模徊贿B續(xù)的控制u1(t)是為了保證系統(tǒng)狀態(tài)能進(jìn)入滑模面來消除系統(tǒng)匹配的不確定性，是通過H∞控制的思想得到的。設(shè)滑模面函數(shù)為：

其中，G∈Rm×n是要設(shè)計(jì)的矩陣，需保證GB可逆。為了得到滑模面上的滑動(dòng)模態(tài)方程，采用等效控制的方法[10]，對(duì)式（7）求導(dǎo)得：

其中，ρ是確保閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠進(jìn)入滑模面的增益系數(shù)。

從系統(tǒng)等效滑動(dòng)模態(tài)方程（9）可以看出，經(jīng)過積分滑模控制器的設(shè)計(jì)，系統(tǒng)匹配的不確定項(xiàng)dm已經(jīng)被消除，等效不確定項(xiàng)deq中只含有非匹配的不確定項(xiàng)，它的矩陣系數(shù)N=[I-B(GB)-1G]的選取是接下來設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，N的選取主要影響以下兩方面問題：

（1）會(huì)不會(huì)有一個(gè)N*，能讓等效不確定項(xiàng)deq的范數(shù)最小。

（2）N*的選取會(huì)不會(huì)讓等效不確定項(xiàng)放大，即||deq||是否會(huì)大于||du||。

經(jīng)過證明可以得到G=B+能使deq的范數(shù)最小且能保證矩陣N*不會(huì)放大非匹配不確定項(xiàng)[12]。因此本文在接下來的設(shè)計(jì)中選擇G=B+，此時(shí)可以得到：

下面給出u0(t)的設(shè)計(jì)過程。

引理1對(duì)于系統(tǒng)式（6）和性能指標(biāo)（1）和（2）存在一個(gè)H∞控制器，滿足||TZW||∞＜γ當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱的、半正定的矩陣X滿足Riccati方程：

且H∞控制律為：

性能指標(biāo)（1）：[A，B]是可穩(wěn)定的，要求所有加權(quán)函數(shù)是穩(wěn)定的；[C1，A]是可檢測(cè)的，確保狀態(tài)的有界性；并且[C1，D11]=[0，I]，保證評(píng)價(jià)輸出z和控制量以及狀態(tài)變量之間沒有交叉權(quán)，且控制量的權(quán)矩陣是單位矩陣。

性能指標(biāo)（2）：當(dāng)初始條件x(0)=0時(shí)，從系統(tǒng)的外部擾動(dòng)輸入w到評(píng)價(jià)輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)的H∞范數(shù)達(dá)到極小，也就是求控制器K使γ0=min{||Tzw(s)||∞}，若給定γ＞γ0求反饋控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，同時(shí)min||Tzw(s)||∞＜γ則稱為H∞次優(yōu)控制問題[13]。

從式（9）中可以看出，經(jīng)過積分滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)，磁懸浮系統(tǒng)中匹配的不確定性已經(jīng)被消除，可以保證系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)理想滑動(dòng)模態(tài)，所以在設(shè)計(jì)u0(t)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

z(t)是自己構(gòu)造的系統(tǒng)輸出，矩陣C，D分別代表系統(tǒng)狀態(tài)和輸入所占權(quán)重。

通過解黎卡提方程：

可以得到磁懸浮控制系統(tǒng)的H∞控制器的狀態(tài)反饋控制律u0(t)為：

從式（19）可以看出H∞控制器u0(t)隸屬于積分滑模控制器。

因此，磁懸浮控制系統(tǒng)可以通過控制律式（11）、式（12）保證較好動(dòng)態(tài)性能并且能對(duì)系統(tǒng)匹配的不確定性有較好的魯棒性，通過控制律式（18）能增加系統(tǒng)對(duì)不匹配不確定項(xiàng)的魯棒性，從而優(yōu)化了磁懸浮系統(tǒng)的整體性能。磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 H∞和積分滑模控制的融合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖3 H∞和積分滑模控制的融合控制系統(tǒng)仿真圖

4 Matlab仿真

在Simulink下搭建了磁懸浮系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示，其中控制器部分和磁懸浮系統(tǒng)模型是用S函數(shù)編寫[14-15]。

仿真中所用參數(shù)分別為：G=[0，0，1/8.5]，ρ=1.25，設(shè)仿真初始值為x=[0.15，1，1]T，系統(tǒng)的不確定性用頻率為2π的正余弦信號(hào)表示，其中d1=cos(2πt)，d2= 0.5sin(2πt)。

圖4是鋼球位置的正弦跟蹤曲線。從圖中可以看出，磁懸浮系統(tǒng)在初始值偏離平衡位置較遠(yuǎn)的距離且存在匹配和非匹配的不確定性仍能準(zhǔn)確跟蹤位置參考值，而且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)品質(zhì)較好，超調(diào)較小。

圖4 位置跟蹤曲線

圖5是跟蹤誤差曲線。從圖中可以看出當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后跟蹤誤差最大值為0.002 698，由此可以說明H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)跟蹤性能，系統(tǒng)魯棒性較強(qiáng)。

圖5 跟蹤誤差曲線

為了與積分滑?？刂破鲗?duì)比，圖6與圖7分別給出了磁懸浮系統(tǒng)積分滑模控制系統(tǒng)與H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線。

圖6 積分滑模控制系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線圖

圖7 H∞和滑?？刂频娜诤峡刂葡到y(tǒng)位置跟蹤誤差曲線圖

由圖6與圖7可得，H∞和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的跟蹤誤差比單獨(dú)的積分滑?？刂破鞯母櫿`差有明顯的降低，大大改善了積分傳統(tǒng)的積分滑?？刂破鞯男阅?。

5 結(jié)束語

通過圖4～圖7的仿真結(jié)果可以看出H∞和積分滑?？刂频娜诤峡刂扑惴ú粌H能對(duì)磁懸浮系統(tǒng)中匹配和非匹配的不確定性具有魯棒性，并且能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能，比單一的積分滑?？刂葡到y(tǒng)具有更好的控制性能。

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LI Dandan1,HE Rongbu2,ZHANG Caihong1

1.Depanrtment of Mining Engineering,Liupanshui Normal University,Liupanshui,Guizhou 553004,China
2.Liupanshui Power Supply Bureau Branch Office of Urban Area,Liupanshui,Guizhou 553004,China

Magnetic levitation control system has model perturbation and a variety of outside interference during operation, so,improving the robustness of magnetic levitation system is very important.This paper gives a mathematical model of magnetic levitation system;a fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control is discussed;simulation is obtained by Matlab tool.The results show that the algorithm is robust to the uncertainty of the system on the matching and non-matching at the same time.

magnetic levitation;sliding mode control;robust;H∞

A

TP273+.3

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0198

LI Dandan,HE Rongbu,ZHANG Caihong.Fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control for magnetic levitation systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：230-234.

六盤水師范學(xué)院采礦工程特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn)（No.LPSSYtszy201101）。

李丹丹（1989—），女，助教，研究領(lǐng)域：魯棒控制，非線性控制，煤礦機(jī)械故障診斷技術(shù)。E-mail：lidandande163@163.com

2013-05-16

2013-08-14

1002-8331（2014）06-0230-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-09-17，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130917.1058.013.html