李丹丹，何榮卜，張彩紅

1.六盤水師范學院礦業(yè)工程系，貴州六盤水 553004

2.六盤水供電局城區(qū)供電分局，貴州六盤水 553004

H∞與滑模融合控制算法在磁懸浮系統(tǒng)中的應用

李丹丹1，何榮卜2，張彩紅1

1.六盤水師范學院礦業(yè)工程系，貴州六盤水 553004

2.六盤水供電局城區(qū)供電分局，貴州六盤水 553004

磁懸浮系統(tǒng)在實際運行中會出現(xiàn)模型攝動和各種外界干擾，提高磁懸浮系統(tǒng)的魯棒性非常重要，給出了磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型；結(jié)合H∞控制和滑?？刂频膬?yōu)點，給出一種H∞控制和滑模控制的融合算法，把該算法應用在磁懸浮系統(tǒng)中；通過Matlab仿真，驗證了該算法能有效抑制磁懸浮系統(tǒng)中存在的確定性和不確定性干擾，從而使控制系統(tǒng)的性能得到提高。

磁懸?。环e分滑模；魯棒；H∞控制

1 引言

磁懸浮技術(shù)在交通、冶金、機械、電器、材料等方面有廣闊應用前景。其中最為重要的應用有磁懸浮列車、磁懸浮軸承、高速磁懸浮電機、磁懸浮鼓風機、磁懸浮潛水電泵。磁懸浮控制系統(tǒng)要求其在運行過程中必需能夠在種種不確定因素下仍能保持較好的性能，所以對磁浮系統(tǒng)設(shè)計魯棒性較好的控制器非常必要?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制作為一種魯棒控制方法，僅僅對滿足匹配條件的內(nèi)部參數(shù)攝動和外部擾動具有良好的魯棒性限制了該方法在實際方面的應用[1-2]。因而要克服系統(tǒng)中的非匹配不確定性，必須結(jié)合其他的控制方法構(gòu)造具有魯棒性的滑?？刂葡到y(tǒng)，文獻[3]將系統(tǒng)中的不確定性轉(zhuǎn)化為LMI約束條件，進而設(shè)計滑模面，一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面，就能實現(xiàn)對不確定性的不變性，但是這種方法只能解決一部分非匹配不確定性問題，并且對不確定性的限制也比較苛刻。文獻[4]提出了一種自調(diào)整的切換控制算法，該算法在某種程度上改善了滑?？刂破鞯牟蛔悖巧鲜鱿喈斠徊糠挚刂撇呗云渌惴◤碗s、動態(tài)性能較差，這與滑模變結(jié)構(gòu)控制簡單、靈活的特點并不一致。這些不足通常使得在實際應用中遇到很大的困難。在文獻[5]中給出了一個很好的控制器設(shè)計策略：把積分滑?？刂坪汪敯艨刂平Y(jié)合在一起可以有效地保證系統(tǒng)在不匹配不確定下仍然穩(wěn)定。所以本文應用這種設(shè)計思想，設(shè)計了磁懸浮系統(tǒng)的H∞和積分滑模融合控制器。該控制器由兩部分組成：積分滑?？刂破骱虷∞控制器。由于積分滑?？刂谱饔玫囊?，匹配器由不確定性被完全抵消，剩下的非匹配不確定性由H∞控制器進行處理。從而即能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性，同時又能滿足一定的H∞性能指標，實現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化控制，最后通過仿真驗證了所提算法的有效性。

2 磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學模型建立

單自由度磁懸浮系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)很好的平臺，它主要有鐵芯、線圈、光電源、位置傳感器、放大及補償裝置、數(shù)字控制器和控制對象鋼球等元件組成，系統(tǒng)的構(gòu)成如圖1所示。

圖1 磁懸浮控制系統(tǒng)構(gòu)成

磁懸浮系統(tǒng)的動力學平衡方程為：

其中，F(xiàn)(x,i)=-N2μ0si(t)2/4x2(t)，μ0=4π×107(H/m)；s(m2)為鐵芯的極面積；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；x(m)為小球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時氣隙；i(A)為電磁鐵繞組中的瞬時電流。

磁懸浮系統(tǒng)的電磁學方程為：

其中，L(x(t),i(t))=N2μ0s/2i(t)；R(Ω)為電磁鐵的等效電阻。

考慮系統(tǒng)中的不確定性因素，取狀態(tài)變量[x1x2x3]= [x x˙i]系統(tǒng)非線性狀態(tài)方程為：

應用泰勒級數(shù)展開的方法得到磁懸浮系統(tǒng)的線性化模型為[6]：

若取狀態(tài)變量為：Δx=x-x0;Δx˙=x˙;Δi=i-i0；[x1x2x3]=[Δx Δx˙Δi]，可得系統(tǒng)線性化的狀態(tài)方程為：

3 控制器的設(shè)計

為便于分析，可把磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程（5）寫成標稱系統(tǒng)的形式[8]：

在這里，w中包含了系統(tǒng)匹配的不確定性和不匹配的不確定性，在控制器設(shè)計之前，先對系統(tǒng)的不確定性進行分解，分別表示出它的匹配不確定性和非匹配不確定性，首先引入如下的定義。

定義1（單位矩陣）[6]定義一個特殊的單位矩陣I1= BB++B⊥B⊥+，其中，B+定義為B的左逆矩陣，B+= (BTB)-1BT，定義B⊥∈R3×2，且B+B⊥=0，I1∈R3×3。

然后，根據(jù)定義1，可以對式（6）引入如下的矩陣：

設(shè)控制律u(t)=u0(t)+u1(t)[9]，其中控制器u0(t)設(shè)計用來保證標稱系統(tǒng)的性能，是通過積分滑?？刂频乃枷氲玫降?；不連續(xù)的控制u1(t)是為了保證系統(tǒng)狀態(tài)能進入滑模面來消除系統(tǒng)匹配的不確定性，是通過H∞控制的思想得到的。設(shè)滑模面函數(shù)為：

其中，G∈Rm×n是要設(shè)計的矩陣，需保證GB可逆。為了得到滑模面上的滑動模態(tài)方程，采用等效控制的方法[10]，對式（7）求導得：

其中，ρ是確保閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠進入滑模面的增益系數(shù)。

從系統(tǒng)等效滑動模態(tài)方程（9）可以看出，經(jīng)過積分滑?？刂破鞯脑O(shè)計，系統(tǒng)匹配的不確定項dm已經(jīng)被消除，等效不確定項deq中只含有非匹配的不確定項，它的矩陣系數(shù)N=[I-B(GB)-1G]的選取是接下來設(shè)計的重點，N的選取主要影響以下兩方面問題：

（1）會不會有一個N*，能讓等效不確定項deq的范數(shù)最小。

（2）N*的選取會不會讓等效不確定項放大，即||deq||是否會大于||du||。

經(jīng)過證明可以得到G=B+能使deq的范數(shù)最小且能保證矩陣N*不會放大非匹配不確定項[12]。因此本文在接下來的設(shè)計中選擇G=B+，此時可以得到：

下面給出u0(t)的設(shè)計過程。

引理1對于系統(tǒng)式（6）和性能指標（1）和（2）存在一個H∞控制器，滿足||TZW||∞＜γ當且僅當存在一個對稱的、半正定的矩陣X滿足Riccati方程：

且H∞控制律為：

性能指標（1）：[A，B]是可穩(wěn)定的，要求所有加權(quán)函數(shù)是穩(wěn)定的；[C1，A]是可檢測的，確保狀態(tài)的有界性；并且[C1，D11]=[0，I]，保證評價輸出z和控制量以及狀態(tài)變量之間沒有交叉權(quán)，且控制量的權(quán)矩陣是單位矩陣。

性能指標（2）：當初始條件x(0)=0時，從系統(tǒng)的外部擾動輸入w到評價輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)的H∞范數(shù)達到極小，也就是求控制器K使γ0=min{||Tzw(s)||∞}，若給定γ＞γ0求反饋控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，同時min||Tzw(s)||∞＜γ則稱為H∞次優(yōu)控制問題[13]。

從式（9）中可以看出，經(jīng)過積分滑?？刂破鞯脑O(shè)計，磁懸浮系統(tǒng)中匹配的不確定性已經(jīng)被消除，可以保證系統(tǒng)狀態(tài)到達理想滑動模態(tài)，所以在設(shè)計u0(t)時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

z(t)是自己構(gòu)造的系統(tǒng)輸出，矩陣C，D分別代表系統(tǒng)狀態(tài)和輸入所占權(quán)重。

通過解黎卡提方程：

可以得到磁懸浮控制系統(tǒng)的H∞控制器的狀態(tài)反饋控制律u0(t)為：

從式（19）可以看出H∞控制器u0(t)隸屬于積分滑?？刂破鳌?/p>

因此，磁懸浮控制系統(tǒng)可以通過控制律式（11）、式（12）保證較好動態(tài)性能并且能對系統(tǒng)匹配的不確定性有較好的魯棒性，通過控制律式（18）能增加系統(tǒng)對不匹配不確定項的魯棒性，從而優(yōu)化了磁懸浮系統(tǒng)的整體性能。磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 H∞和積分滑?？刂频娜诤峡刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖3 H∞和積分滑模控制的融合控制系統(tǒng)仿真圖

4 Matlab仿真

在Simulink下搭建了磁懸浮系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示，其中控制器部分和磁懸浮系統(tǒng)模型是用S函數(shù)編寫[14-15]。

仿真中所用參數(shù)分別為：G=[0，0，1/8.5]，ρ=1.25，設(shè)仿真初始值為x=[0.15，1，1]T，系統(tǒng)的不確定性用頻率為2π的正余弦信號表示，其中d1=cos(2πt)，d2= 0.5sin(2πt)。

圖4是鋼球位置的正弦跟蹤曲線。從圖中可以看出，磁懸浮系統(tǒng)在初始值偏離平衡位置較遠的距離且存在匹配和非匹配的不確定性仍能準確跟蹤位置參考值，而且系統(tǒng)動態(tài)響應品質(zhì)較好，超調(diào)較小。

圖4 位置跟蹤曲線

圖5是跟蹤誤差曲線。從圖中可以看出當系統(tǒng)穩(wěn)定后跟蹤誤差最大值為0.002 698，由此可以說明H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)跟蹤性能，系統(tǒng)魯棒性較強。

圖5 跟蹤誤差曲線

為了與積分滑?？刂破鲗Ρ?，圖6與圖7分別給出了磁懸浮系統(tǒng)積分滑?？刂葡到y(tǒng)與H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線。

圖6 積分滑?？刂葡到y(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線圖

圖7 H∞和滑模控制的融合控制系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線圖

由圖6與圖7可得，H∞和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的跟蹤誤差比單獨的積分滑?？刂破鞯母櫿`差有明顯的降低，大大改善了積分傳統(tǒng)的積分滑?？刂破鞯男阅堋?/p>

5 結(jié)束語

通過圖4～圖7的仿真結(jié)果可以看出H∞和積分滑?？刂频娜诤峡刂扑惴ú粌H能對磁懸浮系統(tǒng)中匹配和非匹配的不確定性具有魯棒性，并且能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，比單一的積分滑?？刂葡到y(tǒng)具有更好的控制性能。

[1]Fallaha C，Kanaan H，Saad M.Real time implementation of a sliding mode regulator for current-controlled mag-netic levitation system[C]//Mediterranean Conference on Control and Automation，Cyprus，2009：696-701.

[2]Kwan C M.Sliding mode control of linear systems with mismatched uncertainties[J].IEEE Transactions on Control and System Technology，1995，31（2）：303-307.

[3]Li J.Backstepping variable structure control of nonlinear systems with unmatched uncertainties[C]//14th Triennial World Congress，Beijing，1999：67-71.

[4]Cao W J，Xu J X.Nonlinear integral-type sliding surface for both matched and unmatched uncertain system[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（8）：1355-1360.

[5]Fernando C，Leonid F.Analysis and design of integral sliding manifolds for systems with unmatched perturbations[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51（5）：853-858.

[6]Castanos F，F(xiàn)ridman L.Design of integral sliding manifolds for multi-model uncertain systems via LMI[C]// International Workshop on Variable Structure Systems，Italy，2006，12（4）：63-67.

[7]固高科技有限公司.磁懸浮系統(tǒng)實驗指導書[M].深圳：固高科技有限公司，2005.

[8]解學生，鐘宜生.H∞控制理論[M].北京：清華大學出版社，1994：82-86.

[9]Jang S，Li H S，Liu Y C.An optimal sliding-mode control approach for magnetic levitation systems[J].Asian Journal of Control，2010，12（4）：480-487.

[10]王豐堯.滑模變結(jié)構(gòu)控制[M].北京：機械工業(yè)出版社，1994：45-46.

[11]Shen J C.H∞control and sliding mode control of magnetic levitation system[J].Asian Journal of Control，2002，4（3）：333-340.

[12]Luenberger D G.Optimization by vector space methods[M]. New York：Wiley，1997.

[13]Doyle J C，Glover K，F(xiàn)rancis B A.State-space solutions toH2andH∞control problems[J].IEEE Transactions on Automatic control，1989，34（8）：831-847.

[14]劉金錕.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].北京：清華大學出版社，2005：25-27.

[15]Chiang H K，Chen C A，Li M Y.Integral variable-structure grey control for magnetic levitation system[J].IEEE Proc Electro Power，2006，153（6）：809-814.

LI Dandan1,HE Rongbu2,ZHANG Caihong1

1.Depanrtment of Mining Engineering,Liupanshui Normal University,Liupanshui,Guizhou 553004,China
2.Liupanshui Power Supply Bureau Branch Office of Urban Area,Liupanshui,Guizhou 553004,China

Magnetic levitation control system has model perturbation and a variety of outside interference during operation, so,improving the robustness of magnetic levitation system is very important.This paper gives a mathematical model of magnetic levitation system;a fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control is discussed;simulation is obtained by Matlab tool.The results show that the algorithm is robust to the uncertainty of the system on the matching and non-matching at the same time.

magnetic levitation;sliding mode control;robust;H∞

A

TP273+.3

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0198

LI Dandan,HE Rongbu,ZHANG Caihong.Fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control for magnetic levitation systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：230-234.

六盤水師范學院采礦工程特色專業(yè)建設(shè)點（No.LPSSYtszy201101）。

李丹丹（1989—），女，助教，研究領(lǐng)域：魯棒控制，非線性控制，煤礦機械故障診斷技術(shù)。E-mail：lidandande163@163.com

2013-05-16

2013-08-14

1002-8331（2014）06-0230-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-09-17，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130917.1058.013.html