張艷艷，檀結慶

合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥 230009

雙參數(shù)五點插值細分法

張艷艷，檀結慶

合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥 230009

提出包含兩個參數(shù)的五點ternary插值細分法。利用生成多項式等方法對細分法的一致收斂性，CK連續(xù)性進行了分析。討論了參數(shù)對細分法的收斂性及連續(xù)性的影響，同時給出了細分法C0到C2連續(xù)的充分條件和數(shù)值算例。

ternary細分法；插值；一致收斂性；CK連續(xù)性

1 引言

細分方法是一種根據(jù)初始數(shù)據(jù)或初始控制多邊形由計算機直接生成曲線曲面或其他幾何形體的離散化的造型方法。具有算法簡單、易于實現(xiàn)和高效性等優(yōu)點，因而在幾何造型中得到廣泛應用。1987年Dyn等[1]提出生成曲線的四點插值細分法（C1連續(xù)）。Dyn等[2-3]從理論上對binary細分法及其極限曲線的存在性及光滑性進行了研究。Hassan等[4-5]提出ternary四點插值細分法，生成的極限曲線達到C2連續(xù)，并給出了三重格式的一些充分條件。鄭紅嬋等[6-8]將四點插值細分法進行推廣，提出了一類包含兩個形狀參數(shù)的雙參數(shù)四點binary細分法和多參數(shù)ternary細分格式。蔡志杰[9-10]對非均勻控制頂點時四點法及變參數(shù)四點法的收斂性和連續(xù)性進行了分析。丁友東[11]提出非線性四點插值細分法。Faheem等[12]提出了ternary六點插值細分法，生成曲線達到C2連續(xù)。

提出了雙參數(shù)五點ternary插值細分法，利用生成多項式等方法對細分法的收斂性和連續(xù)性進行了分析?？梢酝ㄟ^調(diào)節(jié)形狀參數(shù)取值來實現(xiàn)對細分曲線形狀的調(diào)控，并達到一致收斂，C1或C2連續(xù)。

2 預備知識

其中?={?j|j∈Z}?R，其中J0為有限下標集，?j中只有有限個數(shù)不為零，稱為該細分法的mask，將此細分法表示為S，因此有Pk+1=SPk，S為線性算子，表示從Pk到Pk+1的線性變換。一般地，有Pk+1=SPk=Sk+1P0。

定義1對于ternary細分法S和初始控制點集f0=為第k次細分后的控制點集，且對應的參數(shù)為（h為初始值的步長），若存在定義在R或R子集上的不恒為零的連續(xù)函數(shù)f(x)，滿足則稱細分法S一致收斂，記S∈C0，并記f(x)=S∞f0。若S∞f0∈CK，則稱細分法S為CK連續(xù)的，簡記為S∈CK。

定理1[4，8]若由式（1）定義的ternary細分法S一致收斂，則其mask?={?j}滿足：

定理2[4，7]設ternary細分法S的mask?={?j}滿足式（2），則存在一個細分法S1，滿足：dfk+1=S1dfk。fk= Skf0且記Sn的mask為?(n)={?}，其生成多項式為：

定理3[4，8]ternary細分法S一致收斂當且僅當細分法S1對任何初始數(shù)據(jù)f0一致收斂于零，即

定理4[4，8]設ternary細分法S一致收斂，則S決定了一個緊支集上唯一的連續(xù)函數(shù)S∞f0。

3 雙參數(shù)五點ternary插值細分法

其中ω，μ為形狀參數(shù)。

上述規(guī)則可改寫為：

ω，μ的幾何意義如圖1所示。

圖1 參數(shù)μ，ω的幾何意義

4 雙參數(shù)五點ternary插值細分的收斂性和連續(xù)性分析

定理6當參數(shù)μ，ω滿足：

時，此細分法一致收斂，即存在惟一緊支集的連續(xù)函數(shù)S∞P0∈C0[0，n]為其極限函數(shù)。

時，此細分法是C2連續(xù)的。形狀參數(shù)取值域如圖2所示。

圖2 雙參數(shù)五點插值法的參數(shù)取值域

5 結論與數(shù)值算例

在Hassan四點插值細分法的基礎上提出了雙參數(shù)五點ternary插值細分法。算法中引入了兩個控制參數(shù)，增強了對極限曲線的可控性。且由于五點法相對于四點法增加了控制頂點，產(chǎn)生的曲線整體上與控制點的關系更加密切。圖3-1所示為采用本文方法，經(jīng)過5次細分所得到的C1～C2連續(xù)的細分曲線圖形（虛線為初始控制多邊形，實線為利用本文方法生成的極限曲線）。

圖3 -1雙參數(shù)五點插值法C1和C2細分曲線

圖3-2（a）是文獻[4]方法經(jīng)過10次細分后生成的極限曲線，圖3-2（b）是本文方法經(jīng)過5次細分后生成的極限曲線。比較可知，本文方法經(jīng)過較少的細分次數(shù)可以得到與文獻[4]方法相同效果的極限曲線。

圖3 -2文獻[4]方法細分曲線和本文方法細分曲線

圖4以固定μ值（μ取0.35）為例說明了形狀參數(shù)ω的取值對細分曲線形狀的影響?？梢钥闯觯潭ㄐ螤顓?shù)μ另一形狀參數(shù)ω在一定范圍內(nèi)從小到大逐漸增加時，極限曲線先“向外插值”，再“向內(nèi)插值”，同時向內(nèi)微縮。圖5以ω取定-0.045為例說明形狀參數(shù)μ的取值對細分曲線也有類似影響。

圖4 參數(shù)ω對細分曲線形狀的影響

如果選取某些特殊的參數(shù)值會使極限曲線產(chǎn)生如圖6所示的分形現(xiàn)象。

圖5 參數(shù)μ對細分曲線形狀的影響

圖6 分形現(xiàn)象

實驗表明，多點數(shù)的三重細分法具有分形性質(zhì)，但除經(jīng)典的細分法外（文獻[13-15]給出證明），并沒有完整的關于多點數(shù)細分法的分形性質(zhì)的理論證明。這方面有待于進一步研究。

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ZHANG Yanyan,TAN Jieqing

School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

A new scheme is presented to design subdivision curves by introducing two control parameters in the ternary subdivision scheme.The sufficient conditions of the uniform convergence property andCKcontinuity properties of the five-point ternary subdivision scheme with two parameters are proved.It can generateC2limit functions by choosing two parameters appropriately.Some examples of the curve design are given to show the efficiency of the proposed subdivision scheme.

ternary subdivision scheme;interpolation;uniform convergence;CK-continuity

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0081

ZHANG Yanyan,TAN Jieqing.Five-point interpolating subdivision scheme with two parameters.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：135-138.

國家自然科學基金（No.60773043，No.61070227）；教育部科學技術研究重大項目（No.309017）；國家自然科學基金-廣東聯(lián)合基金重點項目（No.U1135003）。

張艷艷（1989—），女，碩士研究生，主要研究方向：計算機輔助幾何設計；檀結慶（1962—），男，教授，博導，主要研究方向：非線性數(shù)值逼近理論與方法、科學計算、計算機輔助幾何設計、計算機圖形學、圖像處理技術。E-mail：hfutzhyy@sina.com

2012-11-06

2013-01-15

1002-8331（2014）06-0135-04

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2013-01-29，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130129.1539.010.html