章 皓，徐大誠，陳 巧，謝會開

(1.蘇州大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州 215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇 無錫 214000；3.美國佛羅里達大學(xué) 電氣與計算機工程系，美國 佛羅里達州 32306)

一種電熱式MEMS微鏡多自由度模型解析方法

章 皓1,2，徐大誠1，陳 巧2，謝會開3

(1.蘇州大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州 215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇 無錫 214000；3.美國佛羅里達大學(xué) 電氣與計算機工程系，美國 佛羅里達州 32306)

結(jié)合微鏡驅(qū)動器結(jié)構(gòu)，通過引入熱導(dǎo)和彈簧剛體模型分析了多驅(qū)動器間熱傳導(dǎo)和相互作用力導(dǎo)致的形變原因，并建立了多自由度微鏡的數(shù)學(xué)模型。仿真與實驗數(shù)據(jù)對比說明：建立的模型與實驗結(jié)果具有較好的一致性，能夠預(yù)測4個驅(qū)動器的輸入響應(yīng)特性。

MEMS微鏡；數(shù)學(xué)建模；驅(qū)動器

0 引 言

MEMS微鏡是一種利用微驅(qū)動器控制鏡面位移或轉(zhuǎn)動，從而實現(xiàn)調(diào)整入射光空間分布的調(diào)制器，主要應(yīng)用在光通信、顯示和投影成像等技術(shù)領(lǐng)域[1]。其中，微驅(qū)動器的研制是關(guān)鍵，相比通常的電磁式、靜電式和壓電式驅(qū)動，電熱式Bimorph驅(qū)動器利用材料應(yīng)力差異能夠大幅提升位移并且降低功耗[1,2],因而，電熱結(jié)構(gòu)普遍應(yīng)用于微鏡設(shè)計中。對于此類器件，其運動是驅(qū)動器電—熱—機械三者能量之間轉(zhuǎn)換過程[3]，建立相應(yīng)模型對研究微鏡的靜瞬態(tài)特性有重要意義。

電熱驅(qū)動器利用熱形變原理，針對不同的加熱方式，如微橋加熱和自由端加熱，通常采用電熱模型[4，5]。其中，等效電路集總元件模型用于電阻加熱元件結(jié)構(gòu)，對加熱器溫度分布不均勻和非零溫度系數(shù)電阻率引起的電氣輸入與電熱輸出之間復(fù)雜關(guān)系的問題，采用有限元分析法。將加熱器分解為有限數(shù)量的電熱耦合網(wǎng)絡(luò)元素，每個元素包含溫度電壓節(jié)點、等效熱功率源和熱電阻器[6];再采用仿真軟件SPICE處理分析模型數(shù)據(jù)。此方法精度高，但建模時間長且無法對器件進行系統(tǒng)級仿真。文獻[6，7]針對單個驅(qū)動器建立電熱模型，但是多自由度MEMS微鏡存在多驅(qū)動結(jié)構(gòu)，沒有考慮驅(qū)動器之間存在的耦合影響。

本文基于電熱式Bimorph驅(qū)動器結(jié)構(gòu)，結(jié)合熱阻模型對多驅(qū)動器間的熱傳導(dǎo)加以分析，給出熱應(yīng)力形變的具體表示，再通過彈簧剛體模型求解驅(qū)動器間相互作用力引起的形變關(guān)系，進而利用線性疊加原理建立了一種熱電式雙S形Bimorph二維微鏡模型。同時將模型仿真與實驗數(shù)據(jù)比較，對比結(jié)果驗證了此方法的合理性。

1 雙S形Bimorph微鏡結(jié)構(gòu)

電熱式二維微鏡的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括：Al鏡面、Si襯底和4個驅(qū)動器。驅(qū)動器連接襯底與鏡面，起支撐和控制鏡面轉(zhuǎn)動作用。基于折疊式雙S形(FDS)結(jié)構(gòu)設(shè)計的驅(qū)動器由3層材料組成：Al,SiO2和Pt。電壓輸入時，Pt層作為加熱電阻器產(chǎn)生熱量，并傳導(dǎo)到Al和SiO2層。由于材料熱膨脹系數(shù)的差異，Al層產(chǎn)生的熱變形遠大于SiO2層，因此，驅(qū)動器產(chǎn)生面外的垂直運動。同時，該結(jié)構(gòu)利用Al/ SiO2和SiO2/Al正反Bimorph層補償設(shè)計[8]，使驅(qū)動器只產(chǎn)生垂直位移而不存在橫向偏移。由輸入電壓可以控制微鏡的二維轉(zhuǎn)動，電壓與鏡面偏角呈線性關(guān)系[9]。

圖1 微鏡示意圖Fig 1 Schematic view of micro-mirror

2 微鏡的靜態(tài)模型

2.1 角度與溫度

驅(qū)動器是由4個對稱S形結(jié)構(gòu)組成，如圖2所示。驅(qū)動器的每段S結(jié)構(gòu)由3部分組成：Al/ SiO2層、SiO2/Al/SiO2層和SiO2/Al層。

圖2 驅(qū)動器截面圖Fig 2 Sectional view of actuator

因為微鏡的轉(zhuǎn)角是由驅(qū)動器的變化量決定的，由圖2推導(dǎo)Al/SiO2層和SiO2/Al/SiO2層的位移變化量

(1)

(2)

其中，Δd1為Al/SiO2層的位移變化量，l為弧長，ρ為曲率半徑，Δθ為角弧度變化量，d2,la分別為SiO2/Al/SiO2層的位移量和長度。由于Al/SiO2層和SiO2/Al層對稱，所以，它們的位移變化相同。驅(qū)動器的高度與角度變化量為

Δd=2(2Δd1+Δd2)

(3)

微鏡加電后，驅(qū)動器溫度上升引起應(yīng)力失配導(dǎo)致變形。假設(shè)驅(qū)動器上溫度等效為均勻分布[8]，角度變化由驅(qū)動器上的溫度變化表示

(4)

將式(4)帶入式(3)可以得驅(qū)動器的高度變化與溫度變化之間的關(guān)系

(5)

2.2 熱阻模型

驅(qū)動器兩端由SiO2熱阻塊連接到鏡面與襯底，在熱傳遞作用下部分熱量會傳到襯底與鏡面，導(dǎo)致熱量損失。由于熱傳遞有3種形式：熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射。其中，熱傳導(dǎo)對驅(qū)動器溫度變化起主導(dǎo)作用[10]。因此，只考慮熱傳導(dǎo)因素，溫度與輸入電壓的關(guān)系可表示為

(6)

式中P為輸入功率，RT為驅(qū)動器的聯(lián)合熱阻，U為輸入電壓，Re(T)為驅(qū)動器在溫度T下的電阻值。微鏡的熱傳導(dǎo)模型如圖3所示，單個驅(qū)動器加電后，部分熱量通過熱阻RT1和RT2分別傳遞到襯底和鏡面，而鏡面上的熱量經(jīng)其余驅(qū)動器再傳遞到襯底。

圖3 微鏡熱阻模型Fig 3 Thermal resistance model of micro-mirror

假設(shè)驅(qū)動器1的輸入功率為P，這部分功率分別流向襯底和鏡面(P1和P2)。相對驅(qū)動器1，其余3個驅(qū)動器的熱阻并聯(lián)，由溫度功率關(guān)系可得熱量向兩邊傳遞表達式

ΔT=RT1P1,

(7)

(8)

(9)

與式(6)對比發(fā)現(xiàn)驅(qū)動器的聯(lián)合熱阻如下

(10)

對于單個驅(qū)動器整體熱阻分為四部分：連接襯底熱阻RT1、連接鏡面熱阻RT2、驅(qū)動器自身熱阻RT0和鏡面熱阻(如圖3所示)。其中，鏡面由于是Al料，熱阻相對其他3部分可以忽略。連接鏡面、襯底的SiO2的熱阻相等(RT1=RT2)。驅(qū)動器整體熱阻為

(11)

(12)

Re(T)=R0(1+γΔT).

(13)

其中，γ為電阻溫度系數(shù)，R0為初始阻值，ΔT為溫度變化。電壓輸入時，功率會引起溫度增加，從而導(dǎo)致驅(qū)動器電阻上升；在穩(wěn)定輸入下，電阻上升必然引起溫度變化減小，導(dǎo)致電阻下降，同時電阻下降會引起溫度變化增加。如此形成了溫度與電阻之間的負反饋，把這個過程分解成n個部分，計算如下

Rn-1=R0(1+γΔTn-1)，

(14)

(15)

(16)

綜上所述，由式(5)、式(16)可以得到單個驅(qū)動器高度變化與輸入電壓的關(guān)系

(17)

2.3 彈簧剛體模型

微鏡依靠驅(qū)動器受熱形變轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)可以簡化成彈簧剛體模型，如圖4所示。鏡面位置取決于4個彈簧的受力形變程度，把形變認為外力F對彈簧的作用。

圖4 微鏡模型Fig 4 Micro-mirror model

驅(qū)動器1(Act-1)加電時，A點即受到壓力F，鏡面繞C點產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。以驅(qū)動器1為研究對象，受力分析如圖5(a)所示。根據(jù)力平衡可得

F=Fk+Fx=kΔx+Fx,

(18)

(19)

由式(18)、式(19)可得

F=1.5kΔx.

(20)

圖5 微鏡受力示意圖Fig 5 Force diagram of micro-mirror

當(dāng)驅(qū)動器受力而無相鄰驅(qū)動器影響時，使鏡面偏轉(zhuǎn)θ，驅(qū)動器受到的壓力為

F1=kΔx.

(21)

比較式(20)、式(21)發(fā)現(xiàn)F=1.5F1，即鏡面達到相同偏轉(zhuǎn)角度，存在相鄰驅(qū)動器結(jié)構(gòu)的作用力是無相鄰驅(qū)動器結(jié)構(gòu)的1.5倍。因此，由胡可定理可知，在相同作用力下，微鏡系統(tǒng)中驅(qū)動器的變形量應(yīng)是單個驅(qū)動器的2/3倍。

驅(qū)動器的形變主要受到2個因素的影響：1)電壓引起的熱形變應(yīng)力；2)相鄰驅(qū)動器間的相互作用力。單驅(qū)動器加電時，鏡面繞對邊轉(zhuǎn)動，得到高度變化量Δd。由于鏡面內(nèi)力作用，相鄰2個驅(qū)動器會產(chǎn)生高度變化量Δd/2。假設(shè)微鏡為線性系統(tǒng)，4個驅(qū)動器的形變?yōu)闊釕?yīng)力形變與相互作用力形變疊加的結(jié)果。利用線性疊加原理可以通過矩陣得到輸入信號與驅(qū)動器形變的關(guān)系

(22)

其中，f(u)為式(17)，Δdi為驅(qū)動器i的高度變化量，ui為驅(qū)動器i輸入電壓值。微鏡4個驅(qū)動器高度的變化會引起鏡面的二維轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角度計算如下

(23)

其中，w為鏡面寬度。綜上所述，由式(22)可以得到不同輸入下4個驅(qū)動器的形變，再通過式(23)計算出微鏡的偏轉(zhuǎn)角度，從而確定鏡面的空間位置。

3 模型驗證與性能分析

驗證實驗在常溫下(20 ℃)進行，使用自對焦顯微鏡(型號：奧林巴斯STM6)測量微鏡的靜態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，通過對比不同驅(qū)動方式下微鏡與模型數(shù)據(jù)的吻合度來驗證靜態(tài)模型的準確性。

單電壓驅(qū)動時，實驗與模型數(shù)據(jù)對比如圖6所示。當(dāng)驅(qū)動器1輸入電壓由0 V變化到3 V，其余輸入穩(wěn)定電壓時(驅(qū)動器2,3,4分別輸入電壓1,2,2 V)，實驗與模型數(shù)據(jù)的對比如圖6(a)所示。由圖可知4個驅(qū)動器的電壓—高度變化呈線性關(guān)系且模型數(shù)據(jù)略高于實驗數(shù)據(jù)，這是由于熱應(yīng)力形變推導(dǎo)過程中，忽略了熱對流和熱輻射影響，驅(qū)動器的實際溫度略低于理論值。從數(shù)據(jù)對比中發(fā)現(xiàn)模型與實驗結(jié)果的最大誤差在10.99 %以內(nèi)。圖6(b)表征相同驅(qū)動條件下，微鏡的兩軸運動情況。一軸偏轉(zhuǎn)，另一軸相對靜止，模型與實驗數(shù)據(jù)接近，最大偏差0.39°。

圖6 單驅(qū)動器驅(qū)動模型數(shù)據(jù)對比Fig 6 Datas comparison of drive model for single driver

輸入差分信號時，實驗與模型數(shù)據(jù)對比如圖7所示。驅(qū)動器1,3輸入差分漸變電壓，驅(qū)動器2,4輸入1.5 V穩(wěn)定信號。由圖7(a)可知模型與實驗數(shù)據(jù)接近，誤差在12.07 %以內(nèi)。因驅(qū)動器1,3輸入差分信號，所以,兩者的電壓—高度是相反的線性關(guān)系。圖7(b)表征此時鏡面繞X軸轉(zhuǎn)動，模型與實驗結(jié)果較吻合，最大偏差為0.22°，模型能夠較準確地預(yù)測不同輸入時，4個驅(qū)動器形變情況和微鏡的電壓與轉(zhuǎn)角關(guān)系。

圖7 差分電壓驅(qū)動模型數(shù)據(jù)對比Fig 7 Datas comparison of drive model for differential voltage

4 結(jié) 論

本文提出了一種針對雙S 形Bimorph結(jié)構(gòu)微鏡系統(tǒng)的靜態(tài)模型解析方法。通過熱傳導(dǎo)和機械轉(zhuǎn)動分析，提出了熱導(dǎo)和彈簧剛體模型，解決了多驅(qū)動器間相互作用力和熱傳導(dǎo)對系統(tǒng)影響的問題。通過模型與實驗數(shù)據(jù)比較，證實此模型能夠預(yù)測微鏡的靜態(tài)響應(yīng)特性，誤差在12.07 %以內(nèi)，最大角度偏差為0.39°。該模型可以應(yīng)用于多自由度Bimorph結(jié)構(gòu)微鏡的靜態(tài)偏轉(zhuǎn)分析，解決了二維微鏡驅(qū)動器間耦合問題，對系統(tǒng)仿真和控制有一定價值。

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A model analytical method of multi-DOF electrothermal MEMS micro-mirror

ZHANG Hao1,2, XU Da-cheng1, CHEN Qiao2, XIE Hui-kai3

(1.College of Electronics and Information Science,Soochow University,Suzhou 215000,China;2.Wuxi WiO Technology Co Ltd,Wuxi 214000,China;3.Department of Electrical and Computer Engineering,University of Florida 32306,Gainesville,Florida,USA)

The deformation reason of actuator caused by heat conduction and interaction force is analyzed by introducing thermal conduction and spring rigid model combined with structure of micro-mirror actuator,and multi-DOF mathematical model for micro-mirror is established.Comparison of simulation,and experimental data show that the constructed model agrees well with experimental results,it can predict input responses characteristics of four actuators.

MEMS micro-mirror; mathematical modeling; actuator

10.13873/J.1000—9787(2014)10—0017—04

2014—03—04

文獻標識碼：A 文章編號：1000—9787(2014)10—0017—04

章 皓(1988-)，男，江蘇蘇州人，碩士研究生，主要研究方向為MEMS傳感器建模與控制。