□ 程聯(lián)社

楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西楊凌 712100

與直齒輪相比，斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)情況更為復(fù)雜，從單自由度振動(dòng)拓展為多自由度振動(dòng)，包括齒輪的扭振、橫向彎曲振動(dòng)、軸向振動(dòng)、齒輪體的圓盤振動(dòng)等［1］。對于一般斜齒輪系統(tǒng)來說，齒輪副圓周方向上的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是占主導(dǎo)地位的，在研究斜齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合的線性特性時(shí)，忽略其它振動(dòng)傳動(dòng)的影響可以滿足工程上的需要［2］，因此可以把斜齒輪系統(tǒng)象直齒輪那樣簡化成齒輪副的扭振系統(tǒng)來分析。

扭振模型是斜齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的一種基本形式，但是，由于齒側(cè)間隙和時(shí)變剛度等的存在，斜齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)都是非線性的，關(guān)于非線性的研究也成為該領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。劉國華［3］等在研究分析了多種非線性因素的基礎(chǔ)上，提出了把油膜作為齒輪之間的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的假設(shè)，建立了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型。李瑰賢［4］等以接觸線的長度變化代替齒輪瞬時(shí)嚙合剛度的變化，建立了含時(shí)變剛度的單自由度扭振非線性動(dòng)力學(xué)模型，并采用四階變步長Runge-Kutta法求解，獲取了齒輪副的動(dòng)載系數(shù)。王玉新［5］等用多尺度方法研究了考慮輪齒時(shí)變剛度和靜態(tài)傳遞誤差激勵(lì)的齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，給出了求解方法及穩(wěn)態(tài)解的解析表達(dá)式。這些研究對時(shí)變剛度、油膜力等非線性因素具有考慮，但是對于時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙，則缺乏一種簡潔而完備的表達(dá)。

筆者對此也作了研究，建立斜齒輪副的純扭振動(dòng)模型，對時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙這兩種非線性因素進(jìn)行分析，給出其簡潔的表征方法并納入純扭振動(dòng)模型中。對所建立的非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解，分析非線性因素的影響。

1 斜齒輪副純扭振動(dòng)模型的建立

圖1所示為一對斜齒輪副的扭振動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)方程，可得：

式中：θi（i=a、p）分別為主、從動(dòng)齒輪的中心點(diǎn)繞軸向的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角度；Ii（i=a、p）分別為主、從動(dòng)齒輪繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ti（i=a、p）分別為作用在主、從動(dòng)齒輪的外載荷力矩；Ri（i=a、p）分別為主、從動(dòng)齒輪的節(jié)圓半徑；e（t）為靜態(tài)傳遞誤差；kn、cn分別為嚙合剛度和阻尼；β為螺旋角。

▲圖1 斜齒輪系統(tǒng)純扭振動(dòng)力學(xué)模型

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差為：

設(shè)x（t）為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差之間的差值，則有：

若 f［x（t）］為齒側(cè)間隙的非線性描述函數(shù)［6］：

式中：c為齒側(cè)間隙。

聯(lián)立式（1）、（2），化簡可得一個(gè)單自由度的數(shù)學(xué)模型：

2 非線性因素分析及表征方法

針對時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙這兩種典型的非線性因素進(jìn)行分析，研究其在動(dòng)力學(xué)模型中的表征方法，為斜齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型的求解奠定基礎(chǔ)。

2．1 剛度的時(shí)變性及表征方法

在斜齒輪嚙合過程中，輪齒嚙合的接觸線是傾斜的，且同時(shí)嚙合的輪齒對數(shù)較多（一般≥3），為了簡化起見，假設(shè)載荷在接觸線長度方向上均勻分布，這樣就可以用齒輪副接觸線長度的變化代替瞬時(shí)嚙合剛度的變化，來求解一對斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。

如圖2所示，平面ABCD為一對斜齒輪的嚙合平面，AD=εαPb（Pb為基圓齒距），AB=CD=B（B 為斜齒輪副的齒寬），BE、DF均為齒輪副的嚙合接觸線，βb為齒輪副的基圓螺旋角。其中：εα、εβ分別為斜齒輪副的端面和軸向重合度。

于是，一對相嚙合的輪齒接觸線長度的變化曲線如圖3所示，從A到BE以及從DF到C這兩段可以看成是線性的，從BE到DF，接觸線長度不變，且為lm。

▲圖2 斜齒輪嚙合平面

▲圖3 一對輪齒接觸線長度變化曲線

故接觸線長度函數(shù)的表達(dá)式為：

由于斜齒輪副的總重合度大于1，則有時(shí)會存在多對輪齒的接觸，這樣就會有多條接觸線共同來分擔(dān)載荷。圖4為在一對輪齒嚙合過程中的各條接觸線長度的變化曲線，而在實(shí)際嚙合過程中接觸線的總長度即為這幾條接觸線長度之和，如圖5所示。

根據(jù)前面的假設(shè)，設(shè)斜齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度與接觸線之間的關(guān)系為：

式中：kl為剛度與接觸線之間轉(zhuǎn)化的一個(gè)系數(shù)；l（t）為接觸線長度。

▲圖4 多對輪齒嚙合接觸線變化曲線

▲圖5 接觸線總長度隨時(shí)間變化曲線

若km為斜齒輪副的平均嚙合剛度［7］，la為一個(gè)周期內(nèi)接觸線的平均長度，則kl=km/la。 于是，在 一 個(gè) 周 期 T ［T=60/（n1z1）］內(nèi)，斜齒輪剛度變化曲線如圖6所示。

▲圖6 一周期內(nèi)剛度變化曲線

把剛度隨時(shí)間變化的函數(shù)用傅里葉級數(shù)展開，并針對某斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，通過編程計(jì)算得到該齒輪副的時(shí)變嚙合剛度曲線及各階傅里葉展開曲線，如圖7、圖8所示。

▲圖7 斜齒輪剛度曲線及一、三、五階傅里葉展開曲線

▲圖8 斜齒輪剛度曲線及五、七、九階傅里葉展開曲線

通過對比可知，前五階傅里葉級數(shù)展開的曲線與原時(shí)變剛度曲線基本吻合，其精度可以滿足一般計(jì)算要求，可以采用前五階傅里葉展開式來代替原時(shí)變剛度的分段函數(shù)，即：

式中：an、bn為傅里葉系數(shù)；ωb=2π/T。

在代入非線性動(dòng)力學(xué)模型中時(shí)，需先計(jì)算確定系數(shù)an、bn和ωb。對于本文所研究的某斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，系數(shù)見表1。

2．2 齒側(cè)間隙的表征分析

對于如式（5）所示的間隙函數(shù)，其曲線形式如圖9所示，在［-k，k］范圍內(nèi)用高次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖10和圖11所示。

▲圖9 齒側(cè)間隙描述函數(shù)

▲圖10 齒側(cè)間隙函數(shù)及一、三、五階擬合曲線

▲圖11 齒側(cè)間隙函數(shù)及五、七、九階擬合曲線

表1 時(shí)變剛度表達(dá)式中的系數(shù)（×10）

對比圖10、圖11，可知多項(xiàng)式次數(shù)取得越高，擬合的精度也就越高，但是當(dāng)次數(shù)高于7次以后，多項(xiàng)式次數(shù)的提高對擬合精度的提高已經(jīng)不明顯了。實(shí)際上，三次多項(xiàng)式已經(jīng)能夠反映齒側(cè)間隙描述函數(shù)的總體變化趨勢，所以為了之后分析的方便，可以用三次多項(xiàng)式來擬合齒側(cè)間隙描述函數(shù)，即：

對于筆者所研究的某斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，齒側(cè)間隙為c=5×10-5m，則取k=2×10-4m， 可得：a1=0．344，a3=1．201×107。

3 模型求解及非線性因素的影響分析

3．1 模型簡化及求解

根據(jù)前面的分析，把式（10）、式（11）代入式（6）

對于筆者研究的某傳動(dòng)系統(tǒng)中的一對斜齒輪副，式（12）中的基本參數(shù)值見表2。

表2 各參數(shù)數(shù)值表

設(shè)置初始條件為：

x（0）=3．938×10-5m，˙（0）=3．165m/s。

這樣，在不考慮齒輪誤差的情況下，采用數(shù)值解法可以求解式（12）的動(dòng)力學(xué)模型。

3．2 齒寬對時(shí)變剛度的影響分析

根據(jù)斜齒輪軸向重合度計(jì)算公式［8］：

可知齒寬與軸向重合度εβ之間是正比例關(guān)系，而εβ是決定時(shí)變剛度變化幅值的重要變量。

圖12為該對齒輪副在時(shí)間范圍內(nèi)隨軸向重合度εβ的變化圖，從圖中可以看出，隨著軸向重合度εβ（或者齒寬B）的增大，斜齒輪的平均嚙合剛度也會隨之增大，但是齒寬的變化不影響嚙合剛度的時(shí)變周期。

時(shí)變嚙合剛度的變化幅值與軸向重合度εβ（或者齒寬B）關(guān)系密切，軸向重合度εβ越接近1，時(shí)變剛度的幅值越小，且在εβ=1（或整數(shù)值）時(shí)約為零。由此，在設(shè)計(jì)斜齒輪時(shí)，應(yīng)合理選擇齒寬，盡量滿足軸向重合度εβ在1（或整數(shù)值）附近，以減小時(shí)變嚙合剛度帶來的沖擊。

3．3 齒側(cè)間隙對系統(tǒng)振動(dòng)的影響分析

如圖13為不同齒側(cè)間隙系統(tǒng)的扭振加速度曲線圖，其中最簡系統(tǒng)曲線為不考慮齒側(cè)間隙的計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯觯g隙的大小對系統(tǒng)振動(dòng)加速度的影響還是很明顯的。為了更好地分析間隙的影響，筆者選擇加速度最大值、加速度幅值和加速度的均方根值作為評價(jià)指標(biāo)［6］，評價(jià)齒側(cè)間隙的大小對系統(tǒng)振動(dòng)的影響程度，如圖14所示。

▲圖 12 時(shí)變剛度隨εβ變化圖

在圖14中，隨著齒側(cè)間隙的增大，3個(gè)評價(jià)指標(biāo)均隨之增大。當(dāng)間隙從0增大到60μm時(shí)，這3項(xiàng)指標(biāo)幾乎都是直線增加，其中振動(dòng)加速度的幅值增加最快，相比最簡系統(tǒng)增大了93．13%，而振動(dòng)加速度的均方根值相比最簡系統(tǒng)也增大了44．19%，這也說明噪聲也增大了約50%。當(dāng)間隙大于60μm時(shí)，振動(dòng)加速度的這3項(xiàng)指標(biāo)隨著間隙的增大變化不太明顯，但是總體的趨勢還是增大的。

4 結(jié)論

（1）在考慮時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙這兩種非線性因素的條件下，建立斜齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的單自由度模型。

（2）給出了時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙的表征方法，并代入動(dòng)力學(xué)模型中進(jìn)行數(shù)值求解。

（3）分析了齒寬對時(shí)變剛度的影響，結(jié)果表明齒寬影響時(shí)變剛度的幅值，若合理設(shè)計(jì)齒寬，使軸向重合度εβ越接近1，則時(shí)變剛度的幅值越小，且在εβ=1（或整數(shù)值）時(shí)約為零。

4）分析了齒側(cè)間隙的大小對系統(tǒng)的影響，對于本文研究的斜齒輪副，間隙較?。ǎ?0μm）時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)受間隙影響劇烈，間隙較大（＞60μm）時(shí)，系統(tǒng)對間隙的變化不太敏感。

▲圖13不同間隙系統(tǒng)的扭振加速度曲線

▲圖14齒側(cè)間隙對振動(dòng)加速度各項(xiàng)指標(biāo)的影響曲線

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