金 天,原 青,鄭光輝,張立楊,張 軍

1.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京 100191;2.中央黨校數(shù)字圖書館,北京 100091

載噪比加權(quán)的GPS單頻單歷元定姿算法

金 天1,原 青1,鄭光輝2,張立楊1,張 軍1

1.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京 100191;2.中央黨校數(shù)字圖書館,北京 100091

針對(duì)GPS定姿系統(tǒng)中,傳統(tǒng)的利用高度角的加權(quán)不能有效反映遮擋情況的問題,從接收機(jī)的衛(wèi)星載噪比出發(fā),對(duì)載波相位精度進(jìn)行分析,提出新的權(quán)重矩陣W,對(duì)觀測(cè)模型進(jìn)行加權(quán)。加權(quán)后模型根據(jù)最小二乘得到整周模糊度和基線矢量的浮點(diǎn)解。加權(quán)方法能夠降低弱信號(hào)衛(wèi)星的載波相位觀測(cè)值對(duì)姿態(tài)測(cè)量成功率的影響。通過對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證了加權(quán)算法的合理性和有效性。部分試驗(yàn)結(jié)果表明,相比于未加權(quán)算法,載噪比加權(quán)算法可以使單歷元定姿成功率提高5個(gè)百分點(diǎn);相比于高度角加權(quán)算法,載噪比加權(quán)可以使成功率提高1～2個(gè)百分點(diǎn)。

全球定位系統(tǒng);姿態(tài)測(cè)量;單歷元;載噪比

1 前 言

隨著GPS的發(fā)展,基于GPS載波相位測(cè)量的高精度載體姿態(tài)測(cè)量技術(shù)取得了矚目的進(jìn)展[1-3]。利用GPS信號(hào)進(jìn)行姿態(tài)測(cè)量具有體積小、成本低、無累積誤差等優(yōu)勢(shì),已經(jīng)成為當(dāng)前姿態(tài)測(cè)量的主要手段之一。相對(duì)于多歷元定姿算法,單歷元定姿算法具有避免周跳檢測(cè)和修復(fù)的優(yōu)勢(shì),成為當(dāng)前工程應(yīng)用的研究熱點(diǎn)[4-6]。文獻(xiàn)[1]對(duì)約束方法進(jìn)行了改進(jìn),加速了模糊度搜索過程;文獻(xiàn)[2]在求解浮點(diǎn)解的過程中利用Householder變換,使得雙差觀測(cè)方程去相關(guān);文獻(xiàn)[3]根據(jù)多組基線的關(guān)系,改進(jìn)了解算模型。

在定姿算法中,最為關(guān)鍵的是整周模糊度N的計(jì)算。文獻(xiàn)[7]提出的利用基于基線長(zhǎng)度約束的LAMBDA(least squares ambiguity decorrelation adjustment)算法是求解整周模糊度的一種有效算法[7-9]。文獻(xiàn)[10]結(jié)合姿態(tài)角約束,使用金字塔算法提高了整周模糊度求解效率;文獻(xiàn)[11]提出一種適合實(shí)時(shí)姿態(tài)測(cè)量的模糊度解算方法,它利用單差平滑偽距進(jìn)行解算,其解算速度遠(yuǎn)快于上述方法,并且計(jì)算量很小;文獻(xiàn)[12]利用排序和雙Cholesky分解對(duì)濾波得到的模糊度進(jìn)行降相關(guān)處理,并結(jié)合收縮模糊度搜索空間的思想來搜索固定整周模糊度。

在實(shí)際運(yùn)用中,由于單歷元觀測(cè)方程冗余度小,在衛(wèi)星數(shù)量少、仰角低、信號(hào)弱的情況下,載波相位精度低會(huì)使得解算成功率降低。因此如何提高成功率已成為單歷元解算的主要問題。在衛(wèi)星數(shù)目不多且有低仰角衛(wèi)星的情況下,低載噪比的觀測(cè)值的使用,會(huì)降低整周模糊度解算成功率;采用直接剔除低載噪比衛(wèi)星降低了定姿系統(tǒng)的可靠性。鑒于此,本文對(duì)衛(wèi)星的載波相位精度進(jìn)行分析,提出加權(quán)矩陣,利用加權(quán)最小二乘,有效地利用載噪比高的衛(wèi)星信息,從而提高了模糊度解算的可靠性和穩(wěn)定性,使得姿態(tài)解算成功率有所提高。

2 基本數(shù)學(xué)模型

2.1 數(shù)學(xué)模型

圖1為短基線求解基線矢量的數(shù)學(xué)觀測(cè)模型。

圖1 短基線定姿數(shù)學(xué)模型Fig.1 The mathematical model of short baseline attitude determination

以A、B為端點(diǎn)的天線接收衛(wèi)星信號(hào),觀測(cè)量主要包括時(shí)間、載波相位和碼信息。在短基線定姿數(shù)學(xué)模型中,基線矢量見圖1中的b。由于基線長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于衛(wèi)星到接收機(jī)的距離,可建立衛(wèi)星i的單差載波相位觀測(cè)和碼觀測(cè)方程,聯(lián)立得[7]

上述的定姿基本數(shù)學(xué)模型為等精度單差觀測(cè)模型。但在實(shí)際情況中,接收機(jī)不同通道接收的衛(wèi)星載波和碼精度有一定差別,即單差觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)分布并不是對(duì)角線相等的。當(dāng)該歷元的某些觀測(cè)衛(wèi)星的相位觀測(cè)值存在較大的誤差時(shí),有時(shí)可能導(dǎo)致單歷元模糊度搜索失敗。為了提高單歷元定位的成功率和精度,可以進(jìn)一步考慮不同衛(wèi)星的相位觀測(cè)值權(quán)重。本文提出加權(quán)矩陣,將基本模型改進(jìn)為加權(quán)單差數(shù)學(xué)模型。精度高的觀測(cè)值取得高權(quán)重,精度低的觀測(cè)值取得低權(quán)重,使信號(hào)差的衛(wèi)星對(duì)定姿的影響盡量最小。

2.2 加入權(quán)值的數(shù)學(xué)模型

加權(quán)模型,即對(duì)不同觀測(cè)量設(shè)定一個(gè)權(quán)重。對(duì)于不同的衛(wèi)星,可根據(jù)其衛(wèi)星高度角、載噪比等特性確定其觀測(cè)誤差?？紤]載波觀測(cè)方程,衛(wèi)星i的權(quán)重為wi,將其定義為單差載波相位yφ的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差σi的倒數(shù),即

設(shè)σiA、σiB為A、B天線接收到衛(wèi)星i的載波相位誤差標(biāo)準(zhǔn)差,可得

本算法是以m顆衛(wèi)星的單差觀測(cè)方程為基本模型,加入權(quán)重后,仍以單差方程為起點(diǎn)通過Householder變換,進(jìn)行雙差降相關(guān)處理。各個(gè)接收通道互不相關(guān),因此加入的權(quán)重矩陣為對(duì)角陣。這樣,在單差方程中加入的對(duì)角陣權(quán)重,相比在雙差方程中的權(quán)重,避免了相關(guān)性,形式更加明了直接、易理解。在m顆衛(wèi)星的單差模型中,權(quán)重矩陣W為m階對(duì)角陣

假定同一通道載波精度與碼精度比值一定,碼方程同樣可利用以上權(quán)重矩陣W。利用權(quán)重矩陣W對(duì)數(shù)學(xué)模型式(1)進(jìn)行加權(quán),表達(dá)式如下

引入權(quán)重矩陣W,提高了衛(wèi)星信號(hào)好的觀測(cè)值權(quán)重,降低了衛(wèi)星信號(hào)差的觀測(cè)值權(quán)重,使得整周模糊度的浮點(diǎn)解具有更高的精度。

3 姿態(tài)的解算

在求解以A、B為端點(diǎn)的載體姿態(tài)過程中,最為關(guān)鍵的是整周模糊度N的計(jì)算。首先通過最小二乘估計(jì),可以得到整周模糊度的浮點(diǎn)解,文獻(xiàn)[5—7]對(duì)于浮點(diǎn)解的計(jì)算作出改進(jìn)工作,本文基于此思路引入加權(quán),解算浮點(diǎn)解。其次由基于基線約束的CLAMBDA算法變換搜索空間,固定整周模糊度,進(jìn)而完成基線解算[13],最終得到載體的姿態(tài)角。

3.1 原始模型求解浮點(diǎn)解

根據(jù)模型式(1),進(jìn)行雙差運(yùn)算,利用最小二乘,求解浮點(diǎn)解。但由于碼觀測(cè)方差和載波相位觀測(cè)方差相差懸殊,導(dǎo)致搜索效率不高。文獻(xiàn)[14]對(duì)直接求解雙差模型進(jìn)行改進(jìn):提出利用單差方程和Householder變換,削減鐘差項(xiàng)βφAB,再通過矩陣變換得到雙差整周模糊度向量。

基本思路為:考慮基本數(shù)學(xué)模型(1),定義Householder轉(zhuǎn)換矩陣P∈Rm×m,Householder向量為u,滿足

經(jīng)過分解后P矩陣的變換,僅有第一個(gè)方程含有鐘差項(xiàng)。將式(10)中不含鐘差項(xiàng)的部分提取出來,可得到消除種差項(xiàng)的觀測(cè)方程

可以證明P＝FJ

選取仰角最高的衛(wèi)星為參考星,根據(jù)單差和雙差整周模糊度的關(guān)系

定義a＝－NDD,通過式(13),可將式(11)變換如下

式(14)為定姿基本模型的雙差載波觀測(cè)方程。通過Householder變換,不僅消除了鐘差項(xiàng),并且使得雙差觀測(cè)量不相關(guān)。改進(jìn)后的加權(quán)模型,同樣根據(jù)文獻(xiàn)[14]的思路,利用Householder變換對(duì)單差方程進(jìn)行處理,最終得到定姿雙差觀測(cè)方程。

3.2 改進(jìn)模型求解浮點(diǎn)解

引入權(quán)重矩陣后,根據(jù)Householder變換性質(zhì)[14,19],推導(dǎo)過程如下,定義權(quán)重向量c、d滿足

定義Householder轉(zhuǎn)換矩陣Pw∈Rm×m, Householder向量v,滿足

考慮加權(quán)后的載波相位單差方程,將改進(jìn)模型

式(6)中的載波方程兩邊同乘以轉(zhuǎn)換矩陣Pw,即有

提取式(18)中不含鐘差項(xiàng)的部分

Householder變換不改變?cè)肼暤慕y(tǒng)計(jì)特性

引入權(quán)重后,對(duì)比原有算法的式(12),定義雙差轉(zhuǎn)換矩陣Fw∈R(m－1)×(m－1),Jw∈Rm×m

式中,設(shè)模糊度次權(quán)重矩陣

通過式(22),可將式(19)變換如下

對(duì)于碼觀測(cè)方程,同理可得

定義載波和碼觀測(cè)值標(biāo)準(zhǔn)差比值σ

式中,σφ、σρ分別表示載波和碼觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差,整理式(23)和式(24)可得[15-16]

加權(quán)后得到基線矢量與整周模糊度的浮點(diǎn)解。根據(jù)文獻(xiàn)[17—18],利用基于基線約束的CLAMBDA算法,搜索固定整周模糊度。CLAMBDA算法由無約束的LAMBDA算法發(fā)展而來,可以大大縮減搜索范圍,提高搜索效率,是目前較有效的搜索算法。對(duì)于剛性載體,固定的整周模糊度和基線矢量,可以確定載體的姿態(tài)。

4 權(quán)重矩陣W的計(jì)算

對(duì)于加權(quán)算法,根據(jù)2.2節(jié)分析可知,權(quán)重W是加權(quán)的關(guān)鍵和重點(diǎn)。在定姿系統(tǒng)中,觀測(cè)量為載波相位和碼,根據(jù)式(3)—(5)式可知,載波精度決定加權(quán)模型中的權(quán)重矩陣W。文獻(xiàn)[20—21]利用經(jīng)驗(yàn)值的衛(wèi)星高度角進(jìn)行加權(quán)是目前使用較為廣泛的方法,利用高度角為變量對(duì)觀測(cè)值的方差進(jìn)行估計(jì)如下

式中,elev為衛(wèi)星高度角;a、b為經(jīng)驗(yàn)值,a＝4 mm,b＝3 mm。但是在高仰角衛(wèi)星被遮擋、多徑嚴(yán)重的情況下,衛(wèi)星的高度角不能用來衡量信號(hào)質(zhì)量,尤其是載波相位精度。載噪比C/N0是載波信號(hào)能量與噪聲能量在1 Hz帶寬上的比值,它與多徑效應(yīng)、接收天線增益等有關(guān)。相較于高度角,載噪比更加直接地反映了接收機(jī)所接收到的衛(wèi)星載波信號(hào)質(zhì)量。近幾年,許多GPS接收機(jī)都能輸出載噪比觀測(cè)值,這為基于載噪比加權(quán)模型的推廣應(yīng)用提供了可能。因此本文提出利用載噪比對(duì)定姿系統(tǒng)進(jìn)行加權(quán)的新模型。

下面從載波精度理論模型和實(shí)際測(cè)得的載波精度進(jìn)行分析對(duì)比,得出權(quán)重矩陣W。

4.1 載波精度理論模型

載波相位精度,主要取決于GPS接收機(jī)的PLL相位誤差。PLL相位誤差包括相位顫動(dòng)和動(dòng)態(tài)應(yīng)力誤差。在靜態(tài)情況下,只考慮相位顫動(dòng)。相位顫動(dòng)是每個(gè)不相關(guān)的相位誤差源平方和的平方根,主要包括熱噪聲和振蕩器噪聲。如式(29)[22]

式中,σtPLL為熱噪聲;σv為由振動(dòng)引起的振蕩器顫動(dòng);θA為由阿侖偏差引起的振蕩器顫動(dòng),在此以度為單位進(jìn)行分析。

(1)σtPLL:熱噪聲是相位的主要誤差源,計(jì)算公式如下

式中,Bn為噪前帶寬,對(duì)于GPS L1信號(hào),Bn＝15 Hz;T為相干積分時(shí)間T＝0.001 s; (c/n0)i為相應(yīng)天線接收到的衛(wèi)星i的載噪比。由式(30)可得,載波精度與載噪比關(guān)系為,載噪比越大,精度越高。

(2)σv:由振動(dòng)引起的振蕩器顫動(dòng)。

用戶運(yùn)動(dòng)和接收裝置的機(jī)械顫動(dòng)會(huì)引起接收機(jī)基準(zhǔn)振蕩頻率的抖動(dòng),相應(yīng)的相位抖動(dòng)誤差大致在2°左右。

(3)θA:由阿侖(Allan)偏差引起的振蕩器顫動(dòng)。

由于阿侖型晶體振蕩頻率漂移隨著時(shí)間的累積也會(huì)引入相位抖動(dòng)噪聲,σAτ()為阿侖偏差,是指在時(shí)間段為τ的頻率穩(wěn)定度,τ表示阿侖偏差測(cè)量值的短期穩(wěn)定度閘門時(shí)間,單位為秒,以阿侖偏差為參量的相位噪聲的3階環(huán)經(jīng)驗(yàn)公式見式(31)

式中,fL為載波L1頻率;Bn為噪前帶寬。

4.2 理論與實(shí)際曲線對(duì)比矯正

為了驗(yàn)證本試驗(yàn)平臺(tái)的載波測(cè)量精度,進(jìn)行了零基線試驗(yàn)。零基線試驗(yàn)是指兩個(gè)接收機(jī)同時(shí)接收同一副天線的數(shù)據(jù),通過兩接收機(jī)載波相位單差得到載波噪聲。本試驗(yàn)OEM板為Nov Atel公司的SuperStar II,12通道,L1單頻C/A接收機(jī)。本文分析載噪比38～49 dB-Hz區(qū)間內(nèi),載波精度的變化。

因?yàn)闊嵩肼暿窍辔坏闹饕`差源,為了更好地利用載噪比的權(quán)重,實(shí)際中將式(29)改進(jìn)如下

式中,F為熱噪聲的權(quán)重。實(shí)際得到的結(jié)果與理論曲線對(duì)比如圖2所示。

圖2 載噪比與載波精度關(guān)系,理論與實(shí)際曲線Fig.2 The theory and actual curve of the relationship between carrier to noise ratio and the accuracy of carrier phase

結(jié)果表明熱噪聲權(quán)重F＝8,阿侖偏差σAτ()＝1×10－10時(shí),與實(shí)際曲線更吻合。將阿侖偏差和權(quán)重值代入式(31)、式(32),可得到載波相位精度,進(jìn)而得到加權(quán)權(quán)重系數(shù)W。

5 實(shí)際數(shù)據(jù)仿真和測(cè)試

為了比較原有算法和改進(jìn)后算法在成功率方面的差異,本文進(jìn)行了3組單頻單歷元的定姿試驗(yàn)。數(shù)據(jù)采集地點(diǎn)選取空曠高地,基線長(zhǎng)度為1 m,每組試驗(yàn)處理1500歷元,通過Matlab 7.8平臺(tái)仿真得到姿態(tài)結(jié)果。為了驗(yàn)證利用載噪比進(jìn)行加權(quán)的算法優(yōu)勢(shì),本文同時(shí)進(jìn)行了高度角加權(quán)算法的解算,參考式(28)的高度角加權(quán)方法。

為了更清晰地展示改進(jìn)后的試驗(yàn)效果,每組以300歷元為例,得到以下幾組航向角結(jié)果對(duì)比,見圖3。

圖3 第1組原有算法和高度角加權(quán),原有算法和載噪比加權(quán)算法對(duì)比圖Fig.3 The first comparison of original algorithm and elevation weighted algorithm,original algorithm and CN0 weighted algorithm

3組試驗(yàn),每組1500歷元的成功率統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

根據(jù)圖3,得到如下結(jié)論:

(1)高度角加權(quán)算法和載噪比加權(quán)算法在一定程度上都提高了姿態(tài)解算的成功率。經(jīng)過加權(quán)后,試驗(yàn)結(jié)果的錯(cuò)誤點(diǎn)明顯減少。

表1 算法成功率比較Tab.1 Comparison of the success rate

(2)載噪比加權(quán)相比于高度角加權(quán)更加穩(wěn)定。在一些數(shù)據(jù)段(如圖3中,1—100歷元數(shù)據(jù)),原有未加權(quán)算法能夠解算正確的點(diǎn),利用高度角加權(quán),反而無法搜索到正確的整周模糊度。即在這些數(shù)據(jù)段利用高度角加權(quán)相對(duì)于原有的未加權(quán)算法,解算成功率反而下降。而相同數(shù)據(jù)段,改進(jìn)后的利用載噪比加權(quán)算法基本不會(huì)出現(xiàn)此類情況。這意味著,在實(shí)際應(yīng)用中,高度角加權(quán)存在使成功率降低的風(fēng)險(xiǎn),而載噪比加權(quán)可以避免這種情況,載噪比加權(quán)方法姿態(tài)解算的穩(wěn)定性更高。

(3)載噪比加權(quán)不會(huì)影響正確解的情況。原有未加權(quán)算法的正確點(diǎn)與載噪比加權(quán)算法正確點(diǎn)基本重合;而高度角加權(quán)后正確點(diǎn)相較于未加權(quán)偏移較大,解算精度低。圖3中150—250歷元,圖3(a)的高度角加權(quán)和圖3(b)的載噪比加權(quán)方法對(duì)比明顯,高度角加權(quán)正確點(diǎn)偏移較大,載噪比加權(quán)重合度高。

根據(jù)試驗(yàn)成功率表1可得到,載噪比加權(quán)算法提高了姿態(tài)解算的成功率。原有的未加權(quán)算法對(duì)衛(wèi)星載噪比低的衛(wèi)星沒有采取有效措施,改進(jìn)算法通過加權(quán),使精度高的衛(wèi)星信息得以充分利用。從表格數(shù)據(jù)可以看出,加權(quán)方法可以使成功率提高5個(gè)以上百分點(diǎn),第2組數(shù)據(jù)提高達(dá)20個(gè)百分點(diǎn),提升效果顯著。相比于高度角加權(quán)算法,載噪比加權(quán)使成功率提高幅度更大,比高度角加權(quán)提高1～2個(gè)百分點(diǎn)。

通過圖表的對(duì)比可看出,載噪比加權(quán)方法不僅提高了姿態(tài)解算的成功率,而且相比于高度角加權(quán)的方法,解算成功率更高,穩(wěn)定性更強(qiáng)。

6 總 結(jié)

GPS單頻單歷元定姿系統(tǒng)對(duì)環(huán)境要求高,在衛(wèi)星數(shù)量少、載噪比低等情況下,成功率較低。本文以載噪比和載波精度為出發(fā)點(diǎn),對(duì)原算法進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)不同衛(wèi)星載波精度的差異,提出加權(quán)矩陣(提高了高精度觀測(cè)值的權(quán)重,降低了低精度觀測(cè)值的權(quán)重),建立加權(quán)模型,得到了更高精度的浮點(diǎn)解,提高了姿態(tài)解算成功率。

一般而言,低高度角的信號(hào)誤差比較高的高度角信號(hào)誤差要大,但是在高仰角衛(wèi)星被遮擋、多徑嚴(yán)重的情況下,高度角無法反映衛(wèi)星信號(hào)的真實(shí)情況。載噪比作為衡量衛(wèi)星信號(hào)強(qiáng)弱的重要標(biāo)準(zhǔn),相對(duì)于高度角,更加可靠地反映了衛(wèi)星的信號(hào)質(zhì)量,更加精確地反映了對(duì)定姿系統(tǒng)起關(guān)鍵作用的載波精度。試驗(yàn)結(jié)果表明,對(duì)比于原有的未加權(quán)算法和高度角加權(quán)方法,本模型和算法提高了單頻單歷元姿態(tài)解算的成功率,提高了系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性。

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(責(zé)任編輯:陳品馨)

Carrier to Noise Ratio Weighted Algorithm in GPS Single Epoch Single Frequency Attitude Determination

JIN Tian1,YUAN Qing1,ZHENG Guanghui2,ZHANG Liyang1,ZHANG Jun1
1.Electronic and Information Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China;2.Digital Library of Party School of the Central Committee of C.P.C,Beijing 100091,China

In GPS attitude determination system to deal with the problem that the traditional elevation weighted algorithm can’t reflect the situation of occlusion effectively,the accuracy of carrier phase by the satellite carrier to noise ratio of receiver is analyzed in this paper,and a new algorithm based on weighted matrix W is proposed.In the new algorithm,the least-squares(ILS)are used to estimate ambiguity and baseline vector.The proposed algorithm can improve the success rate under situation when satellite signal is weak and precision of carrier phase is low.By comparative experiments,it is verified the rationality and effectiveness of the proposed algorithm.Simulation results show that the proposed CN0 weighted algorithm can increase the success rate of single epoch attitude determination by 5 percent compared to the traditional algorithm,1～2 percent compared to the elevation weighted algorithm.

GPS;attitude determination;single epoch;carrier to noise ratio

JIN Tian(1981—),male,associate professor,majors in satellite navigation signal processing and receiver technology.

P228

A

1001-1595(2014)10-1032-07

國家自然科學(xué)基金(61101076;41374137);國家973計(jì)劃(2011CB707004);國家科技支撐計(jì)劃(2011BAH24B02)

2013-12-23

金天(1981—),男,副教授,研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)處理與接收機(jī)技術(shù)。

E-mail:jintian＠buaa.edu.cn

JIN Tian,YUAN Qing,ZHENG Guanghui,et al.Carrier to Noise Ratio Weighted Algorithm in GPS Single Epoch Single Frequency Attitude Determination[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1032-1038.(金天,原青,鄭光輝,等.載噪比加權(quán)的GPS單頻單歷元定姿算法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(10):1032-1038.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0159

修回日期:2014-08-18