左向梅，韓鵬程

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西 西安710072）

0 引言

計算機視覺在自動化生產(chǎn)的裝配線上得到了很好的應(yīng)用，能夠用于識別零部件，在產(chǎn)品檢驗方面有著成功的應(yīng)用。真實準(zhǔn)確的數(shù)字化重建現(xiàn)實生活中的物體，是計算機視覺研究領(lǐng)域的一個重要問題，而物體的對準(zhǔn)是在計算機中實現(xiàn)物體重建的一個重要步驟。三維形狀對準(zhǔn)的目的就是找到2個或者多個三維形狀的頂點之間準(zhǔn)確的對應(yīng)關(guān)系，通過減小對應(yīng)頂點之間的距離使物體發(fā)生形變。然而，在現(xiàn)實生活中存在著大量的非剛性物體，當(dāng)這些非剛性物體發(fā)生非剛性形變時，許多基于三維形狀剛性形變對準(zhǔn)的重建假設(shè)和方法已經(jīng)不再適用，非剛性形變物體的對準(zhǔn)已經(jīng)成為一個急需解決的技術(shù)問題。

剛性對準(zhǔn)只需要根據(jù)一些對應(yīng)關(guān)系就可以定義一個候選剛性變換來進(jìn)行假設(shè)測試，非剛性情況下還需要變形和對準(zhǔn)信息，因為它沒有足夠的先驗假設(shè)，經(jīng)常需要很多更加可靠的對應(yīng)來定義變換。此外，非剛性對準(zhǔn)還需要考慮變形，因此，相比于剛性對準(zhǔn)，非剛性對準(zhǔn)更加困難。

為了克服現(xiàn)有對準(zhǔn)方法性能差，易產(chǎn)生畸變，對三維形狀完整性要求高，適用范圍小，對準(zhǔn)精度低的問題［1－3］，提出了基于相關(guān)點漂移和動態(tài)形變圖相結(jié)合的三維形狀非剛性形變的自動對準(zhǔn)方法。

1 相關(guān)點漂移

相關(guān)點漂移（CPD）［2］是一種基于概率的點集非剛性配準(zhǔn)算法，該算法被視為基于速度場運動一致性約束的最大似然估計問題。在CPD算法中，一個點集作為高斯混合模型的內(nèi)核，另一個點集作為高斯混合模型的數(shù)據(jù)，采用確定性退火的EM算法［4－5］對最大似然估計進(jìn)行優(yōu)化，從而找到2個點集的對應(yīng)關(guān)系與非剛性變換，即內(nèi)核點集向數(shù)據(jù)點集配準(zhǔn)。這種方法可以估計復(fù)雜的非線性和非剛性變換，而且在含有噪聲和溢出點的情況下有較強的魯棒性。

方法中，將源模型的頂點看作數(shù)據(jù)集Y＝（y1，…，yM）T，將目標(biāo)模型的頂點看作產(chǎn)生數(shù)據(jù)集的高斯混合模型的中心（內(nèi)核點集）X＝（x1，…，xN）T，通過EM［4－5］算法計算數(shù)據(jù)集中的點，對應(yīng)混合高斯模型中心的后驗概率，從而確立源三維形狀頂點和目標(biāo)三維形狀之間的對應(yīng)關(guān)系，利用所得的對應(yīng)關(guān)系，將2個三維形狀進(jìn)行非剛性粗對準(zhǔn)。

GM×M為對稱方陣；W＝WM×D＝（w1，…，wM）T為高斯內(nèi)核矩陣；D為點云集的維數(shù)，取D＝3；N，M分別為源三維形狀頂點和目標(biāo)三維形狀頂點的個數(shù)；tr為向量的跡；λ為常數(shù)。

具體來說，相關(guān)點漂移算法的步驟為：

a．初始化系數(shù)矩陣W＝0，協(xié)方差σ2，參數(shù)ω（0≤ω≤1），β＞0，λ＞0。

b．構(gòu)建核矩陣GM×M，矩陣元素gij＝G（yi，yj）

c．EM算法優(yōu)化。通過高斯混合模型聚類的EM 算法推導(dǎo)，能得到式（1）的上界［6］，即

G（m，·）表示G的第m 行。最小化Q就相當(dāng)于最小化式（1）的能量函數(shù)。

在E步中，計算后驗概率矩陣P，其元素表達(dá)式為：

后驗概率pmn表示了頂點xn和ym之間的對應(yīng)概率。

在M步中，優(yōu)化求解W，對式（2）關(guān)于W 求導(dǎo)，得到方程：

1為元素全為1的列向量；d為對角陣。兩邊同乘以σ2G－1，得到方程的線性系統(tǒng)，即

從式（5）中解出W。

d．重復(fù)步驟c，直至收斂。

當(dāng)算法收斂后，三維形狀點之間的對應(yīng)關(guān)系由后驗概率矩陣給出，相應(yīng)的對準(zhǔn)后的三維形狀T＝T（Y，W）＝Y(jié)＋GW。

2 形變圖驅(qū)動模型對準(zhǔn)

2．1 構(gòu)建動態(tài)形變圖

圖模型本身的形變方式是通過對每一個結(jié)點應(yīng)用對應(yīng)的仿射變換，因此，對于結(jié)點自身，有槇gj＝gj＋tj。

對于原始模型上的任意頂點vi，其形變后的位置槇vi可以通過圖模型每個結(jié)點的形變加權(quán)求和得到，也就是將形變圖結(jié)點的變換外推到模型上每個頂點，即

ωj（vi）是與vi和gj之間距離d（gj，vi）相關(guān)的權(quán)值，ωj（vi）＝max｛0，［1－d2（gj，vi）／r2i］3｝。

該點的法向量也被相似變形：

這里使用邊融合技術(shù)，在指定向下采樣的三維模型面?zhèn)€數(shù)情況下，實現(xiàn)均勻采樣，從而構(gòu)建出原始三維模型的動態(tài)形變圖，用來驅(qū)動三維形狀的對準(zhǔn)。

使用動態(tài)形變圖來驅(qū)動原始三維形狀的非剛性對準(zhǔn)可以減少變量個數(shù)，降低運算量，縮短運算時間，提高三維形狀非剛性對準(zhǔn)的效率。手模型與其形變?nèi)鐖D1所示。

圖1 手模型及其形變

2．2 動態(tài)形變圖驅(qū)動模型對準(zhǔn)

通過求解形變圖的變形來驅(qū)動原始模型的變形。在非剛性對準(zhǔn)中，需要對圖模型的結(jié)點求解未知的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換（Ri，ti）。保留特征的變形場可以通過使用下面的能量最大化局部剛性得到：

r1，r2，r3為Ri的列向量，上式從正交和單位長度方面測量了列向量的偏差。還需要額外的正則項確保變形的光滑性：

Esmooth項描述了每個節(jié)點與其周圍節(jié)點形變具有相容性。最小化Esmooth保證了整個三維形狀在對準(zhǔn)過程中表面的光滑性。

引用非剛性ICP算法［6］思想，迭代計算最近點對應(yīng)關(guān)系，隨后進(jìn)行修剪和變形步驟。為了避免非線性優(yōu)化中的局部最小化，采用逐漸放松形變模型的正則能量系數(shù)的策略［7］。

尤其是免門票的方式可以吸引更多的消費者，這也代表著當(dāng)前旅游發(fā)展模式的方向，可以擴大旅游資源的利用效率，企業(yè)員工、游客、社區(qū)居民可在園區(qū)內(nèi)共享優(yōu)美環(huán)境、共享改革開放的成果，這也是全域旅游的目標(biāo)導(dǎo)向之一。

因為輸入數(shù)據(jù)在時間上具有一致性，所以重復(fù)地在源模型和目標(biāo)模型之間使用最近點對應(yīng)來決定最優(yōu)的形變。為了獲得較準(zhǔn)匹配，對應(yīng)能量由點到點和點到面的度量組成，以避免在特征較少區(qū)域出現(xiàn)的不正確對應(yīng)：

αpoint＝0．1，αplane＝1，槇vi為原始源模型上的點經(jīng)過動態(tài)形變圖映射后對應(yīng)的新的坐標(biāo)位置；ci為原始目標(biāo)模型上與槇vi對應(yīng)的點；C為所有對應(yīng)點對組成的集合；Efit描述了需要對準(zhǔn)的三維模型點與點及點與平面之間的距離。

為了求解（Ri，ti），建立目標(biāo)能量函數(shù)：

初始化時取高的權(quán)值αsmooth＝50，αrigid＝100，此后通過最小化式（12），交替地進(jìn)行對應(yīng)點對的計算和形變。

2．3 高斯－牛頓法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

使用高斯牛頓法最小化目標(biāo)函數(shù)（7），高斯牛頓法源于無約束優(yōu)化的牛頓算法。非線性最小二乘優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)形式比較特殊，可以得到其雅克比矩陣的具體形式，將其代入牛頓法的迭代公式中，就可得到高斯牛頓法。

算法的具體步驟如下：

a．給定初始點x（0），精度σ＞0，置k＝0。

b．計算f（xk），S（xk）。

f．置x（k＋1）＝x（k）＋x。

g．檢驗終止原則，否則令k＝k＋1，轉(zhuǎn)步驟b。

通過上述優(yōu)化過程，保證了Ri的單位正交性，使三維模型不會發(fā)生扭曲畸變；使每個結(jié)點與其周圍結(jié)點的形變具有相容性，確保這個三維模型在對準(zhǔn)工程中表面光滑；不斷縮小需對準(zhǔn)的點與點及點與平面之間的距離，使三維模型朝著目標(biāo)方向發(fā)生形變，最終完成三維形狀的非剛性對準(zhǔn)。

3 實驗結(jié)果

用多組實驗數(shù)據(jù)驗證了方法的有效性，所有實驗均在Inter Core（TM）2 Duo E7500 CPU，2 GB內(nèi)存的Windows XP操作系統(tǒng)上，基于Matlab平臺進(jìn)行。其中，源模型和目標(biāo)模型均為由Kinect對人體運動進(jìn)行拍攝拼接得到的三維模型［8］。

在實驗中，對于不同模型，CPD的參數(shù)選擇對于實驗結(jié)果影響較大。如圖2所示，圖2a為源模型與目標(biāo)模型；在圖2b中，β＝2．0，λ＝1．0；在圖2c中，β＝3．0，λ＝1．0。由此可以看出，CPD的β參數(shù)影響對準(zhǔn)后源模型的光滑性，β越大，光滑性越好。模型描述及實驗結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出，對于中等數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)模型，算法都能在相對較短的時間內(nèi)取得較好的配準(zhǔn)精度。形變圖結(jié)點數(shù)目對實驗速度和精度有一定影響，點數(shù)越多，時間越長，匹配精度越高。

圖2 CPD參數(shù)影響

表1 模型描述及實驗結(jié)果

4 結(jié)束語

提出了三維形狀的非剛性形變自動對準(zhǔn)方法，通過使用相關(guān)點漂移算法結(jié)合動態(tài)形變圖技術(shù)，在不依賴任何幾何特征的情況下，可以自動對準(zhǔn)發(fā)生非剛性形變的完整或不完整的三維模型。實驗結(jié)果表明，即使對數(shù)據(jù)缺失比較嚴(yán)重或者形變較大的模型，此方法也能取得較好的效果，具有魯棒性強、對準(zhǔn)精度高、自動化程度高和應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點。

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