蘇先鋒，秦喜梅，李曉萌

（1.淮北師范大學 信息學院，安徽 淮北 235000；2.巢湖學院 數學系，安徽 合肥 238000）

實變函數課程是數學專業(yè)本科教學教育階段最重要的專業(yè)必修課程之一，是數學分析的后繼課程［1-4］，也是學生學習泛函分析、概率論與隨機過程、分形幾何等現代數學的基礎，在數學中起到承上啟下的橋梁作用.同時，實變函數以邏輯的嚴謹性，定理及概念的抽象性，證明過程的復雜性及證明中要使用大量的構造，使得實變函數的名聲不佳，學生在學習的時候常會感到困難和困惑，學習的興趣也隨著課程學習的深入而消失殆盡，最后成為深入學習數學的障礙.很多教師就實變函數的教學做了大量有益的研究，如杜波［5］討論構造性方法在實變函數教學中的應用，姜建功［6］和倪仁興［7］探討實變函數與數學分析課程的密切關系，陳亮［8］研究實變函數教學對學生科研能力有著積極的作用，劉鑫［9］討論反例在實變函數教學中的應用.本文結合在實變函數教學中的體會，旨在如何提高課堂的教學效果和學生學習的興趣與信心等方面做一些探討.

1 教學中對相關內容做適當的拓展

在教學中，首先出現實變函數與其他課程割裂，課堂上很少提及與其他課程的聯系.其次，與現實生活脫節(jié)，似乎實變函數這門課程與生活無關，看不見摸不著，是純理性思維的結晶.實變函數的部分概念和結果貌似都違背人們的認知，像是“帽子里跑出了一只兔子”［4］..因此，與其他課程建立聯系是有必要的，不僅能使學生體會到實變函數這門課程的重要性，感受其與生活密切相關，也展現數學的魅力.

如學習Lebesgue測度后，課堂上可以繼續(xù)介紹概率測度，建立實變函數與概率論的關系，為概率論的學習提供理論支持，提高學生學習興趣，感受到學習實變函數的重要性，從思想上重視該課程.同時，對教師也提出更高的要求，講授實變函數課程必須充分掌握概率論的本質，從而建立起兩門課程的聯系.

文［4］中介紹Cantor 三分集的精細機構和特殊性質及分形幾何的一些知識，如科赫曲線，謝爾賓夫斯基地毯等分形機構，在課堂上和學生分析魔方的結構特點，構建一個分形結構.即將單位變長的魔方進行構造，魔方有27塊小立方體，去掉中間小立方體，再繼續(xù)將剩下26塊小立方體看成新的魔方，去掉中間小立方體，如此一直下去，最終我們得到了一個分形結構，我們稱之為“魔方分形”.可以與學生一起討論魔方分形結構的Hausdorff 維數，體積，面積及其與Cantor 三分集之間的關系.介紹分形幾何時，利用多媒體播放《Hunting the Hidden Dimension》短片，介紹了分形幾何的產生及其在服裝設計、手機制造、電影特效、氣候研究、醫(yī)學等方面的應用，讓學生體會到數學在生活中無處不在，增強學生的學習興趣，提高課堂的教學效果.

2 教學中興趣點的構建

教學中興趣點的構建與合理利用，有利于教學效果和學生學習興趣的提高.在教學中如何構建好興趣點顯得尤為重要，興趣點要求通俗易懂，最起碼對數學專業(yè)的學生應該沒有障礙.興趣點有以下幾個方面的作用.（1）可以活躍課堂氣氛；（2）可以引導學生深入思考；（3）對概念和結論的理解更加透徹；（4）增強學生的學習興趣與信心，提高教學效果.興趣點可從數學故事，數形結合，反例，類比法等方面來構建.

2.1 興趣點之數學故事

實變函數中可以尋找或構建一些簡單的數學故事說明問題.常見的有“住店問題”，“還錢問題”，“鄉(xiāng)村理發(fā)師問題”等數學故事.如”住店問題”，有個旅館有可數間房間，已經住滿了旅客，現在又來一名旅客需要住店，該如何安排？這個例子學生可以深刻體會可數集與有限集的區(qū)別.如“還錢問題”，介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別，Lebesgue自己曾經給出了類似的比喻，如要還別人的錢，從口袋里掏出來不同面值的鈔票，一種方法即是一張張鈔票按面值加起來得出錢數，另一種方法就是把相同面值的鈔票數出來，然后把不同面值的總額度加起來得出錢數.前者為Riemann積分思想，后者為Lebesgue積分思想.

2.2 興趣點之數形結合

實變函數教學中，可以借助圖形圖像證明結論、說明概念，使問題簡單化，概念理解深刻化.如在集合論中，利用維恩圖說明集合的運算關系，通過圖像來證明集合對等.在證明兩個可測集的并集是可測集，驗證卡氏條件時，文獻［1］中利用維恩圖來輔助證明，給學生直觀的認識，降低證明的難度.階梯函數為簡單函數，可以說明Riemann積分與Lebesgue積分的區(qū)別.

例如：

f(x)為簡單函數，圖像如圖1.

圖1 f(x)函數圖像

則

此例實質上與Lebesgu“e還錢問題”有相似的效果.

2.3 興趣點之反例

反例在教學中恰當的應用，可以達到舉一反三的效果.反例可以對似是而非的問題給以否定的回答，說明結論的條件不可或缺.很多文獻中都舉出很多反例來說明問題和結論.如簡單函數是可測函數，簡單函數似乎Riemann可積的.事實上，我們知道狄利克雷函數是簡單函數，但是狄利克雷函數Riemann不可積的，所以簡單函數也未必Riemann可積.葉果羅夫定理中的條件，文［4］給出反例說明定理的條件是不可或缺.可以通過簡單的反例來說明概念的本質.反例是實變函數教學中的重要環(huán)節(jié)之一，有利于學生對概念或結論有深刻的認識，提高教學效果.

2.4 興趣點之類比教學法

類比教學法是教學中最常用的教學方法之一，特別在實變函數教學中最為特別，因為實變函數是數學分析的后續(xù)課程，實變函數與數學分析有著深厚的關系.實變函數的研究就是因為Riemann積分存在著一些缺陷而興起的.如狄利克雷函數Riemann不可積，極限與積分交換次序條件要求嚴格等.在實變函數中，這些問題都得到解決或條件得以放寬.與數學分析進行類比，可以達到溫故而知新的效果.與數學分析的內容進行比較，不僅能降低課程難度，讓學生有學習的成就感，提高學生學習興趣和學習信心.

興趣點可以從很多方面去構建和發(fā)現，如實變函數的一些特別的條件語言描述，形象地說明Lebe?sgue積分優(yōu)于Riemann積分.思考題同樣可以很好的利用，如我們學習Cantor三分集的結構，可以讓學生思考構建類似三分集的五分集，即單位長度的五等分，去掉第二段和第四段，剩下三段繼續(xù)五等分，再去掉其中第二和第四部分，如此下去.得到相關的性質.課堂上，經常設置一些思考題，讓學生通過一定努力就可以解決的問題，提高學生分析問題的能力.

3 結語

在教學中需要我們不斷的總結，講授一些與其他課程或生活的聯系和構造一些興趣點，可以提高教學效果，改變實變函數的教學現狀.同時，幫助學生提高學習實變函數課程興趣與信心，也為學生后續(xù)學習打下良好基礎.

［1］周民強.實變函數論［M］.北京：北京大學出版社，2001.

［2］胡適耕.實變函數［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］夏道行.實變函數論與泛函分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，1995.

［4］程其襄.實變函數與泛函分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2010.

［5］杜波.構造性方法在實變函數教學中的應用［J］.高等數學研究，2012，15（4）：89-90.

［6］姜建功.Lebesgue積分在數學分析中的應用［J］.孝感學院學報，2001，30（6）：18-20.

［7］倪仁興.淺議實變函數與數學分析間的關系［J］.紹興文理學院學報，2001，21（3）：93-97.

［8］陳亮，許紹元.在實變函數課程教學中培養(yǎng)學生科研能力的體會［J］.淮北煤炭師范學院學報：自然科學版，2003，24（2）：53-55.

［9］劉鑫.反例在實變函數中應用［J］.高等數學研究，2009，12（4）：117-123.