田社平，孫 盾，張 峰

(1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海200240;2浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027)

0 引言

由電路中電容、電感元件的電壓—電流關(guān)系可知，如果沖激電流流過電容，則電容電壓是可以躍變的;如果沖激電壓出現(xiàn)于電感的兩端，電感電流也是可以躍變的。在“電路分析”課程和“電路理論”課程的教學(xué)中，往往將電容電壓和電感電流的躍變作為教學(xué)內(nèi)容之一。

一個(gè)動(dòng)態(tài)電路，在什么樣的情況下會出現(xiàn)電容電壓和電感電流的躍變呢?一般的觀點(diǎn)認(rèn)為有兩種情況可能會出現(xiàn)沖激電壓和沖激電流:①外施電源本身就是沖激電源;②外施電源并非沖激電源時(shí)，而電路中存在純電容和(或無)電壓源構(gòu)成的回路或存在純電感和(或無)電流源構(gòu)成的割集[1]。

筆者在教學(xué)時(shí)，學(xué)生常常提出這樣的問題:除去上述兩種情況，是否存在其它引起電容電壓和電感電流躍變的電路?問題的答案是肯定的。下面就結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際對此進(jìn)行討論。

1 引起電路參數(shù)改變的實(shí)例

1.1 電感電流改變例一

圖1為一個(gè)含全耦合電感的電路。圖1(a)中，已知i1(0-)=i2(0-)=0A。圖1(b)為該電路的s域模型。我們可采用拉普拉斯變換方法來求電路中的i1和i2。

圖1 一個(gè)含全耦合電感的電路

我們采用網(wǎng)孔法列寫圖1(b)電路的電路方程，可以得到

由上式求得

對上式求拉普拉斯逆變換，得到時(shí)域解為

由上式看出:i1(0+)=0.5A，i2(0+)=-0.5A，說明電流i1、i2在換路時(shí)都有躍變。如果簡單地認(rèn)為耦合電感的原邊是一個(gè)電感，因它與電阻串聯(lián)，就會得出電感電流連續(xù)，即i1(0+)=i1(0-)=0A的結(jié)論，從而與式(3)的結(jié)論矛盾。

圖1(a)電路中，既不存在沖激電源，也不存在純電感和(或無)電流源構(gòu)成的割集，這說明一般認(rèn)為可能會出現(xiàn)沖激電流、沖激電壓的兩種情況并未包括全部。

值得指出的是，在外電源上沒有沖激源的情況下，圖1(a)電路電感電流產(chǎn)生突變的原因是由于自感產(chǎn)生的沖激電壓被互感沖激電壓抵銷了的緣故，這也說明有電感時(shí)的電感與獨(dú)立電感是不同的。

1.2 電感電流躍變例二

圖2是另一種出現(xiàn)電感電流躍變的電路例子。這里假設(shè)uC(0-)=10V，iL(0-)=0A。初看電路，可能認(rèn)為電路包含RLC串聯(lián)支路，電路不可能出現(xiàn)電容電壓和電感電流的躍變。事實(shí)并非如此，下面采用時(shí)域方法加以分析。

圖2 含串聯(lián)RLC的電路

列寫t≥0時(shí)的電路方程為

由式(4)可知，盡管圖2電路包含LC兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件，但其電路方程卻是一階的，因此圖2電路是一個(gè)退化了的一階電路。

由初始條件uC(0-)=10V和式(4)中的第一式即可解得電容電壓為

進(jìn)一步，得到

由上式可知，iL(0+)=-30A≠iL(0-)=0A。這說明電路中電感電流發(fā)生了躍變，即電感兩端出現(xiàn)了沖激電壓。圖2電路也可采用拉氏變換分析，結(jié)果相同。

值得指出的是，圖2電路中盡管包含LC兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件，但電路中僅出現(xiàn)沖激電壓，而不出現(xiàn)沖激電流，這是由電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定的。對于圖2電路，如果回路中電感兩端出現(xiàn)沖激電壓，由于受控電流源兩端的電壓為任意值，并不違反KVL定律。

如圖3所示，該電路是圖2電路的對偶電路。通過分析不難發(fā)現(xiàn)，電路中存在沖激電流而不存在沖激電壓。這里不再贅述。

圖3 與圖2電路的對偶電路

2 進(jìn)一步的討論

2.1 與換路定律的關(guān)系

在實(shí)際電路中，如果包含電容或電感元件，則這兩種元件不消耗能量，只是存儲能量并與外電路交換能量。當(dāng)電路換路時(shí)，電容或電感從外電路吸取能量或向外電路釋放能量都必須經(jīng)過一段時(shí)間才能完成。否則，這就意味著電容、電感所存儲的能量發(fā)生躍變，那么能量交換的速率(即功率)將為無窮大，這在實(shí)際情況下是不可能的[2，3]。

假設(shè)電容C兩端的電壓為uC，流經(jīng)電感L的電流為iL，則電容存儲的能量為Cu2C/2，電感存儲的能力Li2L/2。它們吸收的功率分別為CuC(duC/dt)和LiL(duC/dt)。假設(shè)換路發(fā)生在t=0時(shí)刻，由于能量不能發(fā)生躍變，因此在換路瞬間，電容兩端的電壓和

上式所表達(dá)的內(nèi)容亦稱為換路定律。

顯然，電容電壓和電感電流的躍變是違反換路定律的。這說明應(yīng)用換路定律是有條件的，即必須保證電路在換路瞬間電容電流、電感電壓為有限值。

在教學(xué)實(shí)踐中，時(shí)常有學(xué)生提出這樣的困惑:既然有換路定律成立，為何又有違反換路定律的電容電壓和電感電流躍變呢?筆者認(rèn)為應(yīng)該處理好兩者之間的關(guān)系:針對實(shí)際電路，換路定律成立，它是一個(gè)普適的定律;而電路模型是對實(shí)際電路的理想抽象化，在電路模型中允許違反換路定律的情況存在。從這一點(diǎn)而言，換路定律和電容電壓和電感電流的躍變提供了一個(gè)廓清(實(shí)際)電路和電路模型之間區(qū)別與聯(lián)系的生動(dòng)而具體的例子。

2.2 對電路分析的作用

電容電壓和電感電流的躍變是電路理論中的一個(gè)客觀存在，利用它能幫助我們更方便地分析實(shí)際的電路。下面舉例加以說明。

圖4為電工電子技術(shù)中常遇到的補(bǔ)償分壓器。其中電容C2為輸出端的等效電容，C1為有意加入的補(bǔ)償電容?，F(xiàn)在要求補(bǔ)償電容C1取何值為合適?圖4(a)電路是一個(gè)二階電路，分析較為復(fù)雜。電感中的電流應(yīng)該保持不變，而不會發(fā)生躍變

圖4 補(bǔ)償分壓器電路

考慮到直流電源的內(nèi)阻RS一般較小，可將圖4(a)電路簡化為圖4(b)電路。對圖4(b)電路進(jìn)行分析要比圖4(a)電路分析簡單得多。我們運(yùn)用三要素法，不難得出有

式中，τ=R1R2/(R1+R2)(C1+C2)。由上式可以看出，補(bǔ)償電容 C1應(yīng)滿足 R2US/(R1+R2)=C1US/(C1+C2)，亦即R1C1=R2C2。當(dāng)調(diào)節(jié)C1使之滿足R1C1=R2C2，則分壓器表現(xiàn)如同一個(gè)純電阻分壓器。

值得注意的是，由于圖4(b)電路中存在純電容和電壓源構(gòu)成的回路，因此電容中出現(xiàn)了沖激電流。而在圖4(a)電路中則不存在沖激電流。出現(xiàn)這種矛盾情況是由于圖4(b)電路過于理想化的緣故。盡管如此，利用圖4(b)電路進(jìn)行分析，計(jì)算簡便，而且也能較好地近似反映實(shí)際情況[1]。

3 結(jié)語

(1)本文通過舉例說明，電容電壓和電感電流的躍變可以在多種情況下發(fā)生，而不僅限于一般教科書所指出的兩種情形。值得注意的是，采用時(shí)域法分析動(dòng)態(tài)電路時(shí)，分析的起點(diǎn)是t=0+時(shí)刻，此時(shí)應(yīng)注意電容電壓和電感電流的躍變問題;而采用拉氏變換分析動(dòng)態(tài)電路時(shí)，分析的起點(diǎn)是t=0-時(shí)刻，分析過程避開了電容電壓和電感電流的躍變問題。因此，采用拉氏變換分析動(dòng)態(tài)電路更有優(yōu)勢。

(2)對實(shí)際電路而言，換路定律成立。電容電壓和電感電流的躍變是對實(shí)際電路理想化建模所出現(xiàn)的情況。在教學(xué)中應(yīng)正確認(rèn)識兩者之間的關(guān)系。

(3)正確理解電容電壓和電感電流的躍變，有助于簡化電路的分析。

[1]李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陳希有.電路理論教程[M].北京:高等教育出版社.2013

[3]孫玉坤，陳曉平.電路原理[M].北京:機(jī)械出版社.2006