岳紅云++劉宏超

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環(huán)域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設函數(shù)在區(qū)域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數(shù)的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數(shù)的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數(shù)的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環(huán)域內，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數(shù)的奇點有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因為被積函數(shù)的奇點有，，都在內，計算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數(shù)，當然留數(shù)的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數(shù)進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數(shù)之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數(shù)積分計算的基礎和出發(fā)點，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的計算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數(shù)在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環(huán)域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設函數(shù)在區(qū)域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數(shù)的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數(shù)的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數(shù)的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環(huán)域內，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數(shù)的奇點有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因為被積函數(shù)的奇點有，，都在內，計算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數(shù)，當然留數(shù)的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數(shù)進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數(shù)之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數(shù)積分計算的基礎和出發(fā)點，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的計算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數(shù)在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環(huán)域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設函數(shù)在區(qū)域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數(shù)的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數(shù)的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數(shù)的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環(huán)域內，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數(shù)的奇點有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因為被積函數(shù)的奇點有，，都在內，計算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數(shù)，當然留數(shù)的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數(shù)進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數(shù)之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數(shù)積分計算的基礎和出發(fā)點，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的計算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復變函數(shù)積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數(shù)在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint