胡健　蘇書賓　毛伊敏

摘要：維度災(zāi)難、含有噪聲數(shù)據(jù)和輸入?yún)?shù)對(duì)領(lǐng)域知識(shí)的強(qiáng)依賴性，是不確定數(shù)據(jù)聚類領(lǐng)域中具有挑戰(zhàn)性的問題。針對(duì)這些問題，基于相似性度量和凝聚層次聚類思想的基礎(chǔ)上提出了高維不確定數(shù)據(jù)高效聚類HDUDEC（High Dimensional Uncertain Data Efficient Clustering）算法。該算法采用一個(gè)能夠準(zhǔn)確表達(dá)不確定高維對(duì)象之間的相似度的度量函數(shù)計(jì)算出對(duì)象之間的相似度，然后根據(jù)相似度閾值自底向上進(jìn)行聚類分析。實(shí)驗(yàn)證明新的算法需要的先驗(yàn)知識(shí)較少、可以有效地過濾噪聲數(shù)據(jù)、可以高效的獲得任意形狀的高維不確定聚類結(jié)果。

關(guān)鍵詞：高維不確定對(duì)象；凝聚層次聚類；相似性度量；不確定聚類.

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）04-0673-04

不確定數(shù)據(jù)是由于不確定的測(cè)量，過時(shí)的來(lái)源或者抽樣誤差等現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用中涌現(xiàn)出來(lái)的一類新數(shù)據(jù)[1，2]。數(shù)據(jù)的不確定性可以分為存在級(jí)不確定性，位置不確定性，屬性不確定性等[3]。隨著電子信息時(shí)代的到來(lái)，現(xiàn)在對(duì)不確定數(shù)據(jù)的研究面臨的挑戰(zhàn)不僅是數(shù)據(jù)的不確定性，更為嚴(yán)重的是不確定數(shù)據(jù)高維度的難題。現(xiàn)在圖像聲音甚至是視頻數(shù)據(jù)漸漸的成為新的數(shù)據(jù)處理對(duì)象，在數(shù)據(jù)處理過程中往往要用十幾個(gè)甚至數(shù)百個(gè)屬性來(lái)描述這些特殊的對(duì)象[4]。對(duì)高維不確定數(shù)據(jù)的研究，已經(jīng)成為一個(gè)新的熱門研究方向，該文主要對(duì)屬性不確定性的高維數(shù)據(jù)的聚類進(jìn)行研究。

聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘中一項(xiàng)重要的研究?jī)?nèi)容，目的是對(duì)數(shù)據(jù)在一定的規(guī)律和要求的基礎(chǔ)上進(jìn)行分類，使沒有類別屬性的數(shù)據(jù)在一定規(guī)律和要求下分成若干類，使得類內(nèi)差異盡量小，類間差異盡量大[5]。通過對(duì)聚類結(jié)果的分析可以得到隱藏在數(shù)據(jù)集中的一些分布特性，這有利于從數(shù)據(jù)中得到一些經(jīng)驗(yàn)規(guī)律。理想的聚類算法應(yīng)該要有可擴(kuò)展性、可以發(fā)現(xiàn)任意形狀、用戶輸入?yún)?shù)少、對(duì)噪聲不敏感、可以處理高維數(shù)據(jù)、可解釋性和可用性等等[6] 。關(guān)于不確定數(shù)據(jù)的聚類研究尚處在方興未艾的階段，目前普遍是在傳統(tǒng)聚類算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展。國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有學(xué)者提出了一些相關(guān)的算法，主要有基于劃分的不確定聚類算法以及基于密度的不確定聚類算法。比較經(jīng)典的算法有uk-means算法[7]，ck-means算法[8]，uck-means算法[9]，uk-medoids算法[10]，F(xiàn)DBSCAN算法[11]，F(xiàn)OPTICS算法[12]，P-DBSCAN算法[13]和改進(jìn)的期望最大化算法EM（expectation maximum）[14]等等。這些算法在低維空間進(jìn)行聚類處理時(shí)一般都可以得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果，由于維度災(zāi)難的關(guān)系，在高維空間進(jìn)行聚類處理的時(shí)往往得不到預(yù)期的結(jié)果。

本文基于相似性度量和凝聚層次聚類思想的基礎(chǔ)上提出了高維不確定數(shù)據(jù)高效聚類HDUDEC（High Dimensional Uncertain Data Efficient Clustering）算法。結(jié)合數(shù)據(jù)的高維屬性和不確定屬性研究出一個(gè)計(jì)算對(duì)象之間相似性的函數(shù)，并設(shè)計(jì)出一個(gè)適合于高維不確定數(shù)據(jù)的聚類算法。與其它不確定聚類算法相比，HDUDEC算法有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）適應(yīng)于任意形狀的不確定數(shù)據(jù)聚類。在聚類過程中類的空間擴(kuò)展方向是隨機(jī)的。

2）適用于高維不確定數(shù)據(jù)的聚類，我們針對(duì)高維數(shù)據(jù)的特性提出了就算不同對(duì)象之間相似度的計(jì)算公式，通過對(duì)比對(duì)比對(duì)象之間的相似度來(lái)對(duì)對(duì)象集合進(jìn)行快速聚類。

3）可以有效過濾噪聲數(shù)據(jù)。可以通過設(shè)定最小對(duì)象個(gè)數(shù)閾值而自動(dòng)濾除噪聲點(diǎn)。

4）可以得到比較精確的聚類結(jié)果。通過設(shè)定較高的相似度閾值來(lái)得到比較精確的聚類結(jié)果。

5）用戶需要的先驗(yàn)知識(shí)相對(duì)較少。用戶只需要在開始時(shí)輸入相似度閾值就可以。我們可以選取不同的距離閾值和數(shù)量閾值來(lái)得到想要的聚類結(jié)果。

1 相似度度量函數(shù)

數(shù)據(jù)對(duì)象之間的相似性目前主要有倆種表現(xiàn)形式：一種是采用數(shù)據(jù)對(duì)象之間的相似度來(lái)度量；還有一種是采用數(shù)據(jù)之間的差異度來(lái)度量[15]。在傳統(tǒng)的算法中一般是采用數(shù)據(jù)之間的差異度來(lái)進(jìn)行計(jì)算。但是在低維空間中能夠得到比較準(zhǔn)確的距離度量公式用在高維空間的聚類結(jié)果往往卻是很差的。因?yàn)閷⑻幚淼途S空間數(shù)據(jù)的距離計(jì)算公式運(yùn)用到高維空間中去會(huì)產(chǎn)生一些難以預(yù)料的結(jié)果，這就是所謂的“維度災(zāi)難”。實(shí)驗(yàn)證明，高維空間中的點(diǎn)具有稀疏性、同時(shí)還存在噪聲點(diǎn)是高維空間中采用距離作為度量量而使分辨能力下降的兩個(gè)主要原因[16]。為此不斷有學(xué)者提出新的相似性度量函數(shù)，文獻(xiàn)[17]所提出了Hsim（X，Y）函數(shù)，它的表達(dá)式為：

[Hsim（X，Y）=i=1d11+|xi-yi|d]

式子中的X和Y維兩個(gè)d維不確定數(shù)據(jù)對(duì)象，d代表不確定對(duì)象的維度。在計(jì)算高維數(shù)據(jù)相似度時(shí)該函數(shù)有很多優(yōu)點(diǎn)，但是還存在不足。比如對(duì)于數(shù)值比較大的維相似性度量效果就不是很好。假如給定倆個(gè)對(duì)象（3，900，2800）和（4，901，2801），如果采用Hsim函數(shù)計(jì)算，這倆個(gè)對(duì)象在第一第二第三維的相似度值是一樣的，可是第二維的相似度往往要比第一位來(lái)的高，而第三維的相似度往往要比第二維來(lái)的高。

在Hsim函數(shù)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16]提出了提出了一種新的相似度計(jì)算公式，它的表達(dá)式為：

式子中[ai]表示第i維的期間長(zhǎng)度，即第i維上的數(shù)據(jù)之間的差的絕對(duì)值的最大值；[X=（x1，x2，...，xd）]和[Y=（y1，y2，...，yd）]是d維空間的兩個(gè)向量；[ε]是一個(gè)很小的常數(shù)，用來(lái)保證被除數(shù)不為0。這個(gè)度量公式可以使相似度在依賴X和Y的同時(shí)還依賴全體數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)證明該函數(shù)運(yùn)用于度量高位數(shù)據(jù)的相似性，隨著維度的增加它的效果比其它用距離度量函數(shù)更加具有魯棒性。

本文在sim函數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合高維數(shù)據(jù)對(duì)象的不確定性提出了一個(gè)新的相似度度量函數(shù)Usim（X，Y），該函數(shù)適合用于計(jì)算高維不確定數(shù)據(jù)的相似度。它的表達(dá)式為：endprint

x和y是對(duì)象X和對(duì)象Y在概率空間中的一個(gè)取值，[fi（x）]和[fi（y）]是對(duì)象X和對(duì)象Y中的數(shù)據(jù)點(diǎn)在概率空間中對(duì)應(yīng)的概率值。其他的參數(shù)跟sim函數(shù)一樣不變。

假設(shè)有四個(gè)不確定對(duì)象在第i條記錄的某一維上的數(shù)據(jù)分別是：3，6，6，11。第i條記錄的概率分別為0.1，0.3，0.5，0.2。根據(jù)usim函數(shù)可以得出這四個(gè)不確定對(duì)象在第i條記錄的這一維上的區(qū)間長(zhǎng)度a=11-3=8。并可以計(jì)算出3和6的相似度為（1-|3-6|/（8+0.001）），約等于0.625。同理可得3和11為0，6和6的相似度為1。當(dāng)考慮到整個(gè)對(duì)象的相似度的時(shí)候，這一維度在對(duì)象之間的相似度貢獻(xiàn)的大小只要乘以它們的概率密度值就可以。同時(shí)函數(shù)usim還有如下一些特點(diǎn)：

1）首先計(jì)算各個(gè)對(duì)象記錄的每一維數(shù)據(jù)的相似度，再計(jì)算各維相似度的平均值，再按各個(gè)記錄的概率密度函數(shù)進(jìn)行積分求出倆個(gè)對(duì)象之間的相似度，相似度值大小在0和1之間，值越大說(shuō)明這倆個(gè)對(duì)象越相似。

2）函數(shù)計(jì)算得到的值為0，表示各個(gè)記錄上各維數(shù)據(jù)相差是最大的，這時(shí)候?qū)ο笾g的相似性最小。

3）函數(shù)計(jì)算得到的值為1，表示對(duì)象中的記錄的各個(gè)維上的數(shù)據(jù)都相等，這時(shí)候?qū)ο笾g的相似性最高。

根據(jù)usim函數(shù)的特點(diǎn)可以得到當(dāng)對(duì)象之間在各個(gè)維上的數(shù)值更加接近，這些對(duì)象就會(huì)表現(xiàn)表現(xiàn)出更高的相似性，而且隨著數(shù)值接近的維數(shù)越多，對(duì)象之間相似值就越大。

2 高維不確定數(shù)據(jù)高效聚類（HDUDEC）算法

2.1 基本概念

2.2 HDUDEC算法

傳統(tǒng)的相似性度量函數(shù)不能滿足三角不等式，因此基于距離的聚類算法不適合用到基于相似度的聚類算法之中。在凝聚層次聚類算法的思想的基礎(chǔ)上，該文的HDUDEC算法采用自底向上進(jìn)行聚類。取最小值是因?yàn)楫?dāng)要把一個(gè)對(duì)象歸并到一個(gè)簇中的時(shí)候就必須判斷倆個(gè)對(duì)象之間的相似度，如果相似度的值大于或者等于給定的閾值才能歸并到簇中。

對(duì)于n個(gè)高維不確定數(shù)據(jù)對(duì)象，每個(gè)對(duì)象的每一條記錄有d維，任取一個(gè)對(duì)象歸到第一個(gè)簇中，然后逐個(gè)計(jì)算還未聚類的對(duì)象到簇之間的相似度值，把不小于給定的相似度閾值的對(duì)象歸并到對(duì)應(yīng)的簇中，對(duì)于新加入的對(duì)象進(jìn)行同樣的掃描聚類直到?jīng)]有新的對(duì)象加入為止。這樣對(duì)還未聚類的數(shù)據(jù)對(duì)象掃描一遍之后就得到一個(gè)新的簇。接著對(duì)還未聚類的對(duì)象按照上述的方法進(jìn)行聚類，直到?jīng)]有新的類生成為止。聚類完成之后，對(duì)于對(duì)象數(shù)目少于給定最小閾值的類可以認(rèn)為它們是比較孤立的對(duì)象，可以把他們當(dāng)做孤立點(diǎn)進(jìn)行處理。

定理1：設(shè)不確定數(shù)據(jù)空間中對(duì)象的集合[U={V1，V2，...，Vn}]，如果按照給定的相似度閾值Z把集合U中的部分點(diǎn)分成m個(gè)聚類[U1，U2，...，Um]，那么當(dāng)對(duì)集合U中未分類的點(diǎn)再次進(jìn)行最近鄰搜索得到m+1個(gè)聚類[Um+1]的時(shí)候，屬于m+1個(gè)聚類[Um+1]的點(diǎn)不可能已經(jīng)屬于前面的那m個(gè)類[U1，U2，...，Um]。

證明：設(shè)未分類中的一個(gè)對(duì)象[Vj（1≤j≤n）]屬于第k（k

定理1保證在過程③④中進(jìn)行新的聚類的時(shí)候，只需要在還未歸類中的點(diǎn)進(jìn)行就可以了。這樣可以大大提高算法的效率。HDUDEC算法描述如下：

輸入： [U{V1，V2，...，Vn}]// d維不確定數(shù)據(jù)對(duì)象集；

Z//最小對(duì)象數(shù)閾值；

輸出： Cluster_array//聚類結(jié)果；

PROCEDURE HDUDEC：

1.[Cluster_array←?]

2.任取一個(gè)對(duì)象[Vi（i∈（1，2，...，n））]作為一類，在U中搜索與[Vi]相似度值滿足最小相似度閾值的對(duì)象集合[U1]，并把[U1]和[Vi]歸為一類

3.對(duì)于新加入類的對(duì)象重復(fù)進(jìn)行步驟2

4.當(dāng)沒有新的點(diǎn)加入到聚類中，停止最近臨搜索并輸出未分類的對(duì)象集[U2]

5.if [U2≥Z]重復(fù)步驟3-4

6.if [U2≤Z]停止聚類，并把未歸類的對(duì)象作為噪聲點(diǎn)處理

7.當(dāng)沒有新的類別生成時(shí)停止聚類

8.if（Cluster_array中的類包含的對(duì)象個(gè)數(shù)>Z）

9.then 輸出這些Cluster_array

End

從算法中我們可以看出：

2-3，使用Usim公式計(jì)算不確定對(duì)象之間的相似度，并把符合閾值條件的對(duì)象歸并為一類。

4-7， 判斷未分類的對(duì)象數(shù)，當(dāng)對(duì)象數(shù)不滿足最小閾值閾值時(shí)候停止聚類，因?yàn)楫?dāng)對(duì)象數(shù)小于Z時(shí)產(chǎn)生新的聚類也一定不滿足最后的閾值過濾，這樣可以提高算法的效率。

8-9，把各個(gè)類的對(duì)象數(shù)跟對(duì)象數(shù)目閾值相比，把不符合對(duì)象閾值的類刪除，這樣可以通過設(shè)置對(duì)象數(shù)閾值來(lái)去除噪聲數(shù)據(jù)。

2.3 算法分析

本文提出的高維不確定聚類算法，只要輸入三個(gè)相應(yīng)的初始值就可以。對(duì)聚類結(jié)果有直接影響的只有相似度閾值，而對(duì)象數(shù)閾值是用來(lái)濾除噪聲數(shù)據(jù)的，所以算法需要知道的先驗(yàn)知識(shí)較少?？梢酝ㄟ^改變不同的相似度閾值W和數(shù)量閾值Z來(lái)得到滿意的聚類結(jié)果。

HDUDEC算法是通過計(jì)算對(duì)象的相似度并跟相似度閾值做比較得出的聚類，它可以得到各種形狀的聚類，與選擇的起始點(diǎn)沒有關(guān)系，可以很好地反映出事物之間的本質(zhì)規(guī)律。而且只需要較少的先驗(yàn)知識(shí)，降低了選擇參數(shù)的難度。對(duì)于那些孤立點(diǎn)，通過設(shè)定對(duì)象數(shù)閾值來(lái)濾除。該算法只要掃描一遍數(shù)據(jù)，其時(shí)間復(fù)雜度為[O（n?log（n））]。在實(shí)驗(yàn)中我們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)現(xiàn)象，那就是當(dāng)距離閾值減少到一定大小的時(shí)候，聚類的效果幾乎不會(huì)再改變。這是因?yàn)闇p小相似度閾值卻不能改變對(duì)象之間的相似度。

2.4 算法功能的一種擴(kuò)展運(yùn)用

當(dāng)已經(jīng)對(duì)原始的不確定對(duì)象集進(jìn)行聚類而原始數(shù)據(jù)集出現(xiàn)了新增加數(shù)據(jù)對(duì)象的時(shí)候，目前習(xí)慣的做法是對(duì)含有新增加數(shù)據(jù)對(duì)象的原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行重新聚類。顯然這樣做的效率是低下的。根據(jù)定理1，當(dāng)數(shù)據(jù)集中新增加的數(shù)據(jù)對(duì)象數(shù)目不是非常巨大而且聚類精度在允許的范圍內(nèi)的時(shí)候，可以先計(jì)算出它們跟各個(gè)簇之間的相似度。然后把他們歸并到合適的類中，這樣我們可以方便高效地對(duì)數(shù)據(jù)集中在一定范圍內(nèi)動(dòng)態(tài)變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，而不必對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行重新聚類。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本實(shí)驗(yàn)中，采用Microsoft Windows XP操作系統(tǒng)；Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU，P7350@2.O0GHz；2G內(nèi)存；320G硬盤；開發(fā)環(huán)境為MyEclipse8.5。

如文獻(xiàn)[8] 我們?cè)诙嗑S空間中生成n個(gè)不確定對(duì)象的數(shù)據(jù)集，每一個(gè)不確定對(duì)象隨機(jī)地在[0，100]×[0，100]內(nèi)生成。每一個(gè)邊界盒的邊長(zhǎng)d=10，生成s（1000）個(gè)點(diǎn)隨機(jī)地分布在邊界盒內(nèi)，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)0到1之間的概率值。這些概率值進(jìn)行歸一化進(jìn)行相加等于1。我們將采用ck-means算法和HDUDEC算法分別對(duì)它們進(jìn)行聚類分析。

在表1中，我們分別采用HDUDEC算法和ck-means算法對(duì)100個(gè)多維不確定數(shù)據(jù)對(duì)象進(jìn)行聚類實(shí)驗(yàn)，對(duì)于HDUDEC算法，設(shè)相似度閾值為0.5，數(shù)量閾值為10。對(duì)于ck-means算法，k與HDUDEC算法聚類所產(chǎn)生的類數(shù)相同。

從表中可以發(fā)現(xiàn)，ck-means算法隨著維度的增大聚類的精確度受到的影響明顯，而HDUDEC算法的精確度對(duì)維度的增加變化不是很大。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明HDUDEC算法可以有效的處理高維不確定數(shù)據(jù)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)傳統(tǒng)的高維數(shù)據(jù)度量函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)研究出了一種適合不確定高維數(shù)據(jù)相似性度量函數(shù)。在此基礎(chǔ)上結(jié)合凝聚層次聚類思想的提出了高維不確定數(shù)據(jù)高效聚類（HDUDEC）算法。實(shí)驗(yàn)證明HDUDEC算法需要的先驗(yàn)知識(shí)較少、可以有效去除噪聲數(shù)據(jù)、可以快速有效得到任意形狀的高維不確定數(shù)據(jù)的聚類。

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[13] Xu H J， LI G H.Density-based probabilistic clustering of uncertain data[C].Proc.of the 2008 International Conference on Computer Science and Software Engineering，2008：474-477.

[14] Hamdan H，Govaert G.Mixture Model Clustering of Uncertain Data[C].Proc.of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems，2005：879-884.

[15] 賀玲，吳玲達(dá)，蔡益朝.高維空間中數(shù)據(jù)的相似性度量[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（9）：189-194.

[16] 黃斯達(dá)，陳啟.一種基于相似性度量的高維數(shù)據(jù)聚類算法的研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2009（9）：187-189.

[17] Sudipto Guha，Rajeev Rastogi，Kyuseok Shim. CURE： An Efficient Clustering Algorithm for Large Databases [C]//Proceedings of the ACM SIGMOD international conference on Management of data.New York：ACM Press，1998：73-84.endprint

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[15] 賀玲，吳玲達(dá)，蔡益朝.高維空間中數(shù)據(jù)的相似性度量[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（9）：189-194.

[16] 黃斯達(dá)，陳啟.一種基于相似性度量的高維數(shù)據(jù)聚類算法的研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2009（9）：187-189.

[17] Sudipto Guha，Rajeev Rastogi，Kyuseok Shim. CURE： An Efficient Clustering Algorithm for Large Databases [C]//Proceedings of the ACM SIGMOD international conference on Management of data.New York：ACM Press，1998：73-84.endprint