燕妮

摘 要：營銷傳播是實(shí)現(xiàn)營銷和品牌發(fā)展的基本要素，在現(xiàn)代企業(yè)運(yùn)營中起著日益舉足輕重的作用?，F(xiàn)有動態(tài)營銷組合優(yōu)化相關(guān)研究中往往假設(shè)營銷手段有效性基本不變，但現(xiàn)實(shí)中的營銷傳播有效性往往隨時(shí)間推移會產(chǎn)生較大變化，此外，由于通貨膨脹或緊縮也常造成各種營銷媒介以及原材料等投入價(jià)格產(chǎn)生時(shí)段性變化。因此，基于經(jīng)典Nerlove—Arrow模型，在營銷媒介成本，產(chǎn)品利潤率等參數(shù)隨著時(shí)間變化的條件下，研究某一行業(yè)龍頭企業(yè)的有限層動態(tài)營銷傳播組合優(yōu)化問題。

關(guān)鍵詞：時(shí)變因素；龍頭企業(yè)；營銷傳播；市場響應(yīng)模型；策略

中圖分類號：F202 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）09-0094-04

前言

網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的到來，伴隨著新興的營銷理論與廣告觀念的結(jié)合，逐漸使企業(yè)營銷活動進(jìn)入了一個(gè)不斷規(guī)范化和理性化的軌道，營銷傳播（Marketing Communication）也成為營銷組合（Marketing Mix）的一個(gè)重要構(gòu)成部分。新興的信息媒體以驚人的速度進(jìn)入千家萬戶，網(wǎng)絡(luò)媒體逐漸成為營銷傳播的主渠道。在信息渠道和信息流量大規(guī)模增加的同時(shí)，傳播和溝通的地位越來越突出，也變得越來越困難。這就要求不論是廣告、公共關(guān)系等手段，都必須進(jìn)行有機(jī)的整合才可能發(fā)生優(yōu)良的效用。此外，全球化和多元化也導(dǎo)致了營銷中的差異化，在這種狀態(tài)下，實(shí)現(xiàn)營銷價(jià)值的核心指向已經(jīng)發(fā)生了根本轉(zhuǎn)變，不再是傳統(tǒng)的基于產(chǎn)品主體的通路促銷模式，而是消費(fèi)者對產(chǎn)品或者品牌的認(rèn)同的促銷模式。這就要求企業(yè)與消費(fèi)者建立良好的溝通，營銷在很大意義上取決于傳播，正所謂營銷即傳播，傳播即營銷。

1989 年，美國廣告代理商協(xié)會（American Association of Advertising Agencies，The 4As）促進(jìn)了 IMC 的研究和發(fā)展，他們認(rèn)為整合營銷傳播的重點(diǎn)在于通過評價(jià)廣告、直接郵寄、人員推銷和公共關(guān)系等傳播手段的戰(zhàn)略作用，以提供明確、一致和最有效的傳播影響力。1993年美國西北大學(xué)麥迪爾學(xué)院的唐·舒爾茨（Don E.Schultz）教授和該校的斯坦里·田納本（Stanley Tannenbaum）教授，以及北卡羅萊納大學(xué) Chape Hill 分校的羅伯特·勞特朋（Robert F.Lauterborn）教授將整合營銷傳播定義為“把品牌等與企業(yè)的所有接觸點(diǎn)作為信息傳達(dá)渠道，以影響消費(fèi)者的購買行為為目標(biāo)，是從消費(fèi)者出發(fā)，運(yùn)用多種手段進(jìn)行傳播的過程?！彼麄冋J(rèn)為整個(gè)整合營銷傳播 （Integrated Marketing Communications，IMC）過程就是一個(gè)與顧客溝通的過程，要讓顧客了解產(chǎn)品/服務(wù)的價(jià)值以及它是為誰設(shè)計(jì)的。廣告、公共關(guān)系、促銷、直銷、商品陳列及店頭廣告、售后服務(wù)等都是一種溝通和傳播。企業(yè)傳播的信息只有與顧客大腦中既有的信息相契合，或與外在的來源相契合，傳播才有效力。

George E.Belch及Michael A.Belch在1993年以“廣告與促銷”為核心思想的 IMC促銷流程理論模型體系的內(nèi)容主要包括營銷計(jì)劃回顧、促銷方案態(tài)勢分析、傳播方案分析、預(yù)算決策、發(fā)展整合營銷傳播方案、整合與執(zhí)行營銷傳播戰(zhàn)略以及監(jiān)控方案。Jeri Moore及Esther Thorson于1996提出IMC 理論模型，他們試圖用系統(tǒng)的方法解決營銷傳播問題，從研究消費(fèi)者購買循環(huán)階段開始，到品牌知名度和忠誠度管理，要經(jīng)歷傳播信息、媒體計(jì)劃和資源組合階段。整合的對象是媒體計(jì)劃和資源，其構(gòu)成要素除了舒爾茨等人提出的廣告、公共關(guān)系等內(nèi)容以外，還有資源。這為以后的研究提供了新的領(lǐng)域，即資源整合和傳播整合才能同時(shí)達(dá)到企業(yè)和消費(fèi)者價(jià)值的最大化。

SHIN Kwang Yong于2001在研究諸多 IMC 理論模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于利害關(guān)系者分析的 IMC 理論模型體系，它非常全面而細(xì)致地將 IMC理論的實(shí)質(zhì)和精髓體現(xiàn)出來，利害關(guān)系者（Stakeholders-Interest Groups）亦稱環(huán)境集團(tuán)（Environmental Groups），是對企業(yè)經(jīng)營及其效果產(chǎn)生影響的集團(tuán)，既有來自市場的利害關(guān)系集團(tuán)即直接利害關(guān)系者，又有來自非市場的利害關(guān)系者即間接利害關(guān)系者。直接利害關(guān)系主要包括有：企業(yè)與消費(fèi)者的關(guān)系、企業(yè)與商業(yè)客戶的關(guān)系、企業(yè)與投資者的關(guān)系和企業(yè)之間的關(guān)系等。間接利害關(guān)系主要包括有：企業(yè)與社區(qū)的關(guān)系（Community Relations）、企業(yè)與政府的關(guān)系（Business and Government Relations）和企業(yè)與媒體的關(guān)系（Media Relations）等。建立 IMC 戰(zhàn)略最重要的前提條件是充分滿足企業(yè)利害關(guān)系者的需求，必須誘導(dǎo)利害關(guān)系者積極參與，并廣泛地收集他們的意見。

此外，近年來，如Mantrala and Albers、Shankar.等大量學(xué)者也應(yīng)用實(shí)證研究的方式研究了具有時(shí)變參數(shù)的營銷動態(tài)規(guī)劃問題。但現(xiàn)有研究對于如何在具有時(shí)變性的營銷效力、營銷成本及有限營銷周期條件下，進(jìn)行營銷傳播決策的問題缺少足夠的理論研究。因此，本文基于經(jīng)典Nerlove—Arrow模型，在營銷媒介成本，產(chǎn)品利潤率等參數(shù)隨著時(shí)間變化的條件下，研究某一行業(yè)龍頭企業(yè)的有限層動態(tài)營銷傳播組合優(yōu)化問題。

一、模型建立

首先，本文在建立市場響應(yīng)模型中將基于經(jīng)典的商譽(yù)積累模型—NA模型進(jìn)行構(gòu)建，NA模型的基本假設(shè)為企業(yè)商譽(yù)這一指標(biāo)隨營銷活動支出的增加而不斷積累，但一旦營銷活動終止，該指標(biāo)將呈現(xiàn)指數(shù)衰退的趨勢。現(xiàn)實(shí)中，商譽(yù)與銷售額等的績效指標(biāo)直接相關(guān)。一個(gè)典型雙變量NA模型如公式（1）所示：

=-δS+β1ut+β2νt （1）

其中S表示產(chǎn)品銷售額，δ表示銷售衰退率，u和ν分別表示兩種不同營銷活動投入的數(shù)量，β1和β2分別表示不同營銷活動對銷售額提升所起的效力。不失一般性，在研究中我們假設(shè)銷售增長率是與營銷活動相關(guān)的線性函數(shù)，營銷活動成本具有時(shí)變性，并隨銷售增加而增長?；诖?，我們將公式（1）擴(kuò)展為包含時(shí)變效率參數(shù)形式：endprint

=-δS+β1（t）ut+β2（t）νt （2）

與式（1）相比，除β1（t）和β2（t）分別表示營銷活動效率函數(shù)外，其余參數(shù)定義不變。

其次，我們考慮某一行業(yè)龍頭企業(yè)其目標(biāo)為在有限營銷計(jì)劃周期T內(nèi)使其收益最大化。這一有限時(shí)段可以是一個(gè)為期數(shù)年的中長期營銷計(jì)劃，也可以是一些為期數(shù)周的短期營銷活動，企業(yè)的銷售邊際利潤也具有時(shí)變性。令ρ為企業(yè)稅收貼補(bǔ)償現(xiàn)率，且每一計(jì)劃時(shí)間段T期末，企業(yè)都會尋求從其上交稅收m（t）S（T）中按比例θ獲取一定補(bǔ)償性殘值，可表示為m（T）Sθ-ρT。則企業(yè)最終目標(biāo)為在計(jì)劃周期T內(nèi)合理投入其營銷活動u （t）及ν（t），使其總體收益最大化，該問題可由式（3）表示：

MaxJ（u，ν）=e -ρTπ（S（t），u（t），ν（t））dt+mSθ-ρT （3）

其中J為企業(yè)目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)

π（S，u，ν）=m（t）S-c1（t）u2-c2（t）ν2 （4）

服從公式（2）中的動態(tài)性。同時(shí)，兩種營銷活動單位成本c1（t）與c2（t）也各不相同，并具有時(shí)變性。當(dāng)c1（t）>c2（t）時(shí)，營銷活動u單位成本在t時(shí)刻高于活動ν。

二、求解過程及分析

根據(jù)前述文獻(xiàn)綜述，在解決營銷資源動態(tài)規(guī)劃問題時(shí)，現(xiàn)有研究普遍假定營銷效能恒定，也有部分學(xué)者在整合營銷傳播研究中，將這一問題歸于無時(shí)限條件下的營銷資源分配規(guī)劃問題。盡管無時(shí)限限定這一假設(shè)在數(shù)學(xué)上簡化了動態(tài)規(guī)劃問題，但現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)營銷計(jì)劃都是在有限時(shí)段內(nèi)進(jìn)行的?；诖?，本文設(shè)定求解步驟為：

1.定義價(jià)值函數(shù)。求解過程中最關(guān)鍵一步首先是對價(jià)值函數(shù)的定義：

V（s，t，T）=[e-ρwπ（S（w），U，w）dw]

V（.）表示企業(yè)在剩余周期時(shí)間段[t，T]內(nèi)應(yīng)用最優(yōu)營銷組合策略后所能達(dá)到的利潤最大值，s為任意起始狀態(tài)變量，U表示控制向量，U=（u（t），v（t））。即時(shí)利潤為π（t）=m（t）S-

c1（t）u2-c2（t）ν2，其中S（t）表示在t時(shí)刻的即時(shí)銷售率。

2.建立滿足HJB方程的形式。價(jià)值函數(shù)V（s，t，T）需要滿足HJB方程：

Vt+[e-ρtπ（s，U，t）+Vsf（s，U，t）]=0

其中Vs=?V/?s，Vt=?V/?t。函數(shù)f（s，U，t）由公式（2）右側(cè)部分定義。

3.定義臨界值。企業(yè)尋求在營銷計(jì)劃期結(jié)束時(shí)能夠保證獲取所得稅貼現(xiàn)殘值。在t=T時(shí)刻的價(jià)值函數(shù)為V（s，t，T）=

m（T）Sθe-ρT

4.確定價(jià)值函數(shù)。整個(gè)求解過程中需要確定一個(gè)合適價(jià)格函數(shù)V（s，t，T）以滿足HJB方程。因此，本研究應(yīng)用待定參數(shù)方法解決所需要面對的雙點(diǎn)臨界值問題。

基于上述求解過程，可得最優(yōu)營銷活動u*（t），v*（t）安排為：

u（t）=，v（t）= （5）

其中：

F（t）=e- （δ+ρ）（T-t）

（e- （δ+ρ）T

-e- （δ+ρ）s

m（s）ds-e- （δ+ρ）s

m（s）ds+

θm（T）） （6）

為營銷活動時(shí)段效果。當(dāng)我們設(shè)定βi（t）=βi，并且ci（t）=ci，即此時(shí)營銷效果及營銷成本參數(shù)被限制為恒定，同時(shí)，假設(shè)m（t）=m時(shí)，即邊際利潤恒定，并將稅收補(bǔ)償殘值設(shè)定為0，則可得經(jīng)典NA模型解。

對模型（6）進(jìn)行分析，我們可以得出，最優(yōu)營銷活動規(guī)劃與營銷活動效果成正比，但與其成本成反比。這也能夠解釋為何目前越來越多的企業(yè)傾向于將如百度等網(wǎng)絡(luò)平臺作為主要營銷平臺，這類平臺的成本花費(fèi)相比于電視臺等傳統(tǒng)媒介顯然價(jià)格更低。

從最優(yōu)函數(shù)解中，我們可以看出最優(yōu)營銷策略值u*（t），v*（t）隨計(jì)劃期內(nèi)不同時(shí)刻會呈現(xiàn)不同趨勢性。同時(shí)，即使?fàn)I銷活動效果保持不變，營銷投入最優(yōu)策略也會受到營銷媒介成本波動的影響。

對于營銷活動時(shí)段效果函數(shù)，當(dāng)企業(yè)邊際利潤及媒體平臺成本恒定時(shí)，函數(shù)F（t）可以簡化為：

FHE（t）=1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （7）

對公式（7）進(jìn)行分析，首先：

[FHE（t）]=[1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ））]=1 （8）

可得當(dāng)營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限時(shí)，營銷活動時(shí)段效果函數(shù)具有單一性。因此，當(dāng)效果參數(shù)βk（t）、媒體成本ck（t）及邊際利潤m（t）都隨營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限收斂于某一穩(wěn)定水平時(shí)，有限計(jì)劃時(shí)段營銷策略可以近似為無限時(shí)段策略。

其次，將函數(shù)FHE（t）對t求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （9）

當(dāng)時(shí)θ>為負(fù)值，當(dāng)θ<時(shí)為正值，當(dāng)θ=時(shí)為零。

這一方面體現(xiàn)出在有限時(shí)段營銷預(yù)算及資源配置問題中，稅收補(bǔ)償殘值參數(shù)θ的重要作用；另一方面也可以得出最優(yōu)營銷策略函數(shù)性質(zhì)實(shí)際上主要由βk（t）、ck（t）及m（t）這幾個(gè)函數(shù)決定。

將函數(shù)FHE（t）對T求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（-1+θ（δ+ρ）） （10）

式（10）實(shí)際顯示出營銷計(jì)劃時(shí)間長度對其效力所呈現(xiàn)出的反作用的影響效果。

將函數(shù)FHE（t）對θ求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（11）

該值為恒正。同時(shí)，當(dāng)θ=0時(shí)，有限時(shí)段營銷計(jì)劃效果值為1，并隨θ增大，營銷效果值亦隨之增大。假定β1（t）隨時(shí)間推移而增長，效果衰弱率及貼現(xiàn)率足夠大，有限時(shí)段營銷效果衰弱率會比β1（t）增長率高，此時(shí)的最優(yōu)營銷決策會是不斷減少營銷手段u（t）盡管其營銷效果在不斷增長。由此可以看出，由于受到計(jì)劃時(shí)長的影響，有限時(shí)段營銷與無限時(shí)段營銷的最優(yōu)資源規(guī)劃策略是完全不相同的。

從我們所建立的模型中可以得出：（1）對于由具有時(shí)變性營銷活動構(gòu)成的營銷決策目標(biāo)函數(shù)，求解所得到的最優(yōu)分配策略也具有時(shí)變性；（2）營銷活動單位成本直接影響著最優(yōu)營銷投入分配比例。令x*=u*（t）/v*（t）代表營銷計(jì)劃期內(nèi)投入分配比例，則

x*（t）= （12）

可以注意到>，即某一營銷活動相對效力與其相對成本比值越大，該營銷活動的投入應(yīng)該越多。此外，式（12）也表明，由于β1（t）、β2（t）、c1（t）、c2（t）四項(xiàng)的時(shí)變性，營銷活動投入的最優(yōu)分配規(guī)劃隨時(shí)間的推移也會不斷改變。

公式（6）、（7）應(yīng)用于企業(yè)實(shí)際營銷活動時(shí)，企業(yè)經(jīng)營者在做企業(yè)營銷傳播策略計(jì)劃時(shí)應(yīng)首先做好時(shí)變市場響應(yīng)模型中的預(yù)測工作，基于應(yīng)對一般最小二乘方法中自由度問題的有效性，卡爾曼濾波算法可以作為首選預(yù)測計(jì)算方法。其次，當(dāng)時(shí)變相關(guān)系數(shù)預(yù)測完成后，企業(yè)決策人員則可利用并計(jì)算出計(jì)劃期內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)的最優(yōu)營銷傳播策略。

結(jié)論

本文主要考慮將營銷手段中具有時(shí)變性的效力、成本及營銷計(jì)劃周期等因素，納入企業(yè)營銷傳播策略的研究中。首先我們建立了單一企業(yè)雙營銷渠道的分析框架，其中市場響應(yīng)模型的各主要參數(shù)都具有時(shí)變性，根據(jù)分析首先得出與之前研究相似的結(jié)果，即最優(yōu)營銷資源投入與營銷效力成正比；然而，由于各主要參數(shù)的時(shí)變性，最優(yōu)營銷傳播策略的投入分配比例會隨時(shí)間的推移而不斷改變，因此企業(yè)管理者需要在營銷計(jì)劃周期內(nèi)不同時(shí)刻做出不同決策。現(xiàn)有研究對于具有時(shí)變性的動態(tài)營銷問題一般采取實(shí)證研究的方式，而本文則從數(shù)理研究的角度對企業(yè)動態(tài)營銷傳播的決策過程進(jìn)行了研究，這一方面為現(xiàn)有研究做出了理論上的補(bǔ)充，也為企業(yè)在實(shí)際運(yùn)營過程中的營銷傳播決策制定提供了一定的參考與依據(jù)。

但本文現(xiàn)有研究仍存有一定的不足：首先，本文只考慮了單一企業(yè)的營銷傳播決策問題，未考慮多企業(yè)之間存在競爭時(shí)的現(xiàn)實(shí)情況，這與本研究所選取的研究視角有關(guān)。另外，本文未考慮雙營銷渠道之間的協(xié)同作用，而這些問題更現(xiàn)實(shí)也必將成為本研究今后深入拓展的主要方向。endprint

=-δS+β1（t）ut+β2（t）νt （2）

與式（1）相比，除β1（t）和β2（t）分別表示營銷活動效率函數(shù)外，其余參數(shù)定義不變。

其次，我們考慮某一行業(yè)龍頭企業(yè)其目標(biāo)為在有限營銷計(jì)劃周期T內(nèi)使其收益最大化。這一有限時(shí)段可以是一個(gè)為期數(shù)年的中長期營銷計(jì)劃，也可以是一些為期數(shù)周的短期營銷活動，企業(yè)的銷售邊際利潤也具有時(shí)變性。令ρ為企業(yè)稅收貼補(bǔ)償現(xiàn)率，且每一計(jì)劃時(shí)間段T期末，企業(yè)都會尋求從其上交稅收m（t）S（T）中按比例θ獲取一定補(bǔ)償性殘值，可表示為m（T）Sθ-ρT。則企業(yè)最終目標(biāo)為在計(jì)劃周期T內(nèi)合理投入其營銷活動u （t）及ν（t），使其總體收益最大化，該問題可由式（3）表示：

MaxJ（u，ν）=e -ρTπ（S（t），u（t），ν（t））dt+mSθ-ρT （3）

其中J為企業(yè)目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)

π（S，u，ν）=m（t）S-c1（t）u2-c2（t）ν2 （4）

服從公式（2）中的動態(tài)性。同時(shí)，兩種營銷活動單位成本c1（t）與c2（t）也各不相同，并具有時(shí)變性。當(dāng)c1（t）>c2（t）時(shí)，營銷活動u單位成本在t時(shí)刻高于活動ν。

二、求解過程及分析

根據(jù)前述文獻(xiàn)綜述，在解決營銷資源動態(tài)規(guī)劃問題時(shí)，現(xiàn)有研究普遍假定營銷效能恒定，也有部分學(xué)者在整合營銷傳播研究中，將這一問題歸于無時(shí)限條件下的營銷資源分配規(guī)劃問題。盡管無時(shí)限限定這一假設(shè)在數(shù)學(xué)上簡化了動態(tài)規(guī)劃問題，但現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)營銷計(jì)劃都是在有限時(shí)段內(nèi)進(jìn)行的。基于此，本文設(shè)定求解步驟為：

1.定義價(jià)值函數(shù)。求解過程中最關(guān)鍵一步首先是對價(jià)值函數(shù)的定義：

V（s，t，T）=[e-ρwπ（S（w），U，w）dw]

V（.）表示企業(yè)在剩余周期時(shí)間段[t，T]內(nèi)應(yīng)用最優(yōu)營銷組合策略后所能達(dá)到的利潤最大值，s為任意起始狀態(tài)變量，U表示控制向量，U=（u（t），v（t））。即時(shí)利潤為π（t）=m（t）S-

c1（t）u2-c2（t）ν2，其中S（t）表示在t時(shí)刻的即時(shí)銷售率。

2.建立滿足HJB方程的形式。價(jià)值函數(shù)V（s，t，T）需要滿足HJB方程：

Vt+[e-ρtπ（s，U，t）+Vsf（s，U，t）]=0

其中Vs=?V/?s，Vt=?V/?t。函數(shù)f（s，U，t）由公式（2）右側(cè)部分定義。

3.定義臨界值。企業(yè)尋求在營銷計(jì)劃期結(jié)束時(shí)能夠保證獲取所得稅貼現(xiàn)殘值。在t=T時(shí)刻的價(jià)值函數(shù)為V（s，t，T）=

m（T）Sθe-ρT

4.確定價(jià)值函數(shù)。整個(gè)求解過程中需要確定一個(gè)合適價(jià)格函數(shù)V（s，t，T）以滿足HJB方程。因此，本研究應(yīng)用待定參數(shù)方法解決所需要面對的雙點(diǎn)臨界值問題。

基于上述求解過程，可得最優(yōu)營銷活動u*（t），v*（t）安排為：

u（t）=，v（t）= （5）

其中：

F（t）=e- （δ+ρ）（T-t）

（e- （δ+ρ）T

-e- （δ+ρ）s

m（s）ds-e- （δ+ρ）s

m（s）ds+

θm（T）） （6）

為營銷活動時(shí)段效果。當(dāng)我們設(shè)定βi（t）=βi，并且ci（t）=ci，即此時(shí)營銷效果及營銷成本參數(shù)被限制為恒定，同時(shí)，假設(shè)m（t）=m時(shí)，即邊際利潤恒定，并將稅收補(bǔ)償殘值設(shè)定為0，則可得經(jīng)典NA模型解。

對模型（6）進(jìn)行分析，我們可以得出，最優(yōu)營銷活動規(guī)劃與營銷活動效果成正比，但與其成本成反比。這也能夠解釋為何目前越來越多的企業(yè)傾向于將如百度等網(wǎng)絡(luò)平臺作為主要營銷平臺，這類平臺的成本花費(fèi)相比于電視臺等傳統(tǒng)媒介顯然價(jià)格更低。

從最優(yōu)函數(shù)解中，我們可以看出最優(yōu)營銷策略值u*（t），v*（t）隨計(jì)劃期內(nèi)不同時(shí)刻會呈現(xiàn)不同趨勢性。同時(shí)，即使?fàn)I銷活動效果保持不變，營銷投入最優(yōu)策略也會受到營銷媒介成本波動的影響。

對于營銷活動時(shí)段效果函數(shù)，當(dāng)企業(yè)邊際利潤及媒體平臺成本恒定時(shí)，函數(shù)F（t）可以簡化為：

FHE（t）=1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （7）

對公式（7）進(jìn)行分析，首先：

[FHE（t）]=[1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ））]=1 （8）

可得當(dāng)營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限時(shí)，營銷活動時(shí)段效果函數(shù)具有單一性。因此，當(dāng)效果參數(shù)βk（t）、媒體成本ck（t）及邊際利潤m（t）都隨營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限收斂于某一穩(wěn)定水平時(shí)，有限計(jì)劃時(shí)段營銷策略可以近似為無限時(shí)段策略。

其次，將函數(shù)FHE（t）對t求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （9）

當(dāng)時(shí)θ>為負(fù)值，當(dāng)θ<時(shí)為正值，當(dāng)θ=時(shí)為零。

這一方面體現(xiàn)出在有限時(shí)段營銷預(yù)算及資源配置問題中，稅收補(bǔ)償殘值參數(shù)θ的重要作用；另一方面也可以得出最優(yōu)營銷策略函數(shù)性質(zhì)實(shí)際上主要由βk（t）、ck（t）及m（t）這幾個(gè)函數(shù)決定。

將函數(shù)FHE（t）對T求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（-1+θ（δ+ρ）） （10）

式（10）實(shí)際顯示出營銷計(jì)劃時(shí)間長度對其效力所呈現(xiàn)出的反作用的影響效果。

將函數(shù)FHE（t）對θ求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（11）

該值為恒正。同時(shí)，當(dāng)θ=0時(shí)，有限時(shí)段營銷計(jì)劃效果值為1，并隨θ增大，營銷效果值亦隨之增大。假定β1（t）隨時(shí)間推移而增長，效果衰弱率及貼現(xiàn)率足夠大，有限時(shí)段營銷效果衰弱率會比β1（t）增長率高，此時(shí)的最優(yōu)營銷決策會是不斷減少營銷手段u（t）盡管其營銷效果在不斷增長。由此可以看出，由于受到計(jì)劃時(shí)長的影響，有限時(shí)段營銷與無限時(shí)段營銷的最優(yōu)資源規(guī)劃策略是完全不相同的。

從我們所建立的模型中可以得出：（1）對于由具有時(shí)變性營銷活動構(gòu)成的營銷決策目標(biāo)函數(shù)，求解所得到的最優(yōu)分配策略也具有時(shí)變性；（2）營銷活動單位成本直接影響著最優(yōu)營銷投入分配比例。令x*=u*（t）/v*（t）代表營銷計(jì)劃期內(nèi)投入分配比例，則

x*（t）= （12）

可以注意到>，即某一營銷活動相對效力與其相對成本比值越大，該營銷活動的投入應(yīng)該越多。此外，式（12）也表明，由于β1（t）、β2（t）、c1（t）、c2（t）四項(xiàng)的時(shí)變性，營銷活動投入的最優(yōu)分配規(guī)劃隨時(shí)間的推移也會不斷改變。

公式（6）、（7）應(yīng)用于企業(yè)實(shí)際營銷活動時(shí)，企業(yè)經(jīng)營者在做企業(yè)營銷傳播策略計(jì)劃時(shí)應(yīng)首先做好時(shí)變市場響應(yīng)模型中的預(yù)測工作，基于應(yīng)對一般最小二乘方法中自由度問題的有效性，卡爾曼濾波算法可以作為首選預(yù)測計(jì)算方法。其次，當(dāng)時(shí)變相關(guān)系數(shù)預(yù)測完成后，企業(yè)決策人員則可利用并計(jì)算出計(jì)劃期內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)的最優(yōu)營銷傳播策略。

結(jié)論

本文主要考慮將營銷手段中具有時(shí)變性的效力、成本及營銷計(jì)劃周期等因素，納入企業(yè)營銷傳播策略的研究中。首先我們建立了單一企業(yè)雙營銷渠道的分析框架，其中市場響應(yīng)模型的各主要參數(shù)都具有時(shí)變性，根據(jù)分析首先得出與之前研究相似的結(jié)果，即最優(yōu)營銷資源投入與營銷效力成正比；然而，由于各主要參數(shù)的時(shí)變性，最優(yōu)營銷傳播策略的投入分配比例會隨時(shí)間的推移而不斷改變，因此企業(yè)管理者需要在營銷計(jì)劃周期內(nèi)不同時(shí)刻做出不同決策?，F(xiàn)有研究對于具有時(shí)變性的動態(tài)營銷問題一般采取實(shí)證研究的方式，而本文則從數(shù)理研究的角度對企業(yè)動態(tài)營銷傳播的決策過程進(jìn)行了研究，這一方面為現(xiàn)有研究做出了理論上的補(bǔ)充，也為企業(yè)在實(shí)際運(yùn)營過程中的營銷傳播決策制定提供了一定的參考與依據(jù)。

但本文現(xiàn)有研究仍存有一定的不足：首先，本文只考慮了單一企業(yè)的營銷傳播決策問題，未考慮多企業(yè)之間存在競爭時(shí)的現(xiàn)實(shí)情況，這與本研究所選取的研究視角有關(guān)。另外，本文未考慮雙營銷渠道之間的協(xié)同作用，而這些問題更現(xiàn)實(shí)也必將成為本研究今后深入拓展的主要方向。endprint

=-δS+β1（t）ut+β2（t）νt （2）

與式（1）相比，除β1（t）和β2（t）分別表示營銷活動效率函數(shù)外，其余參數(shù)定義不變。

其次，我們考慮某一行業(yè)龍頭企業(yè)其目標(biāo)為在有限營銷計(jì)劃周期T內(nèi)使其收益最大化。這一有限時(shí)段可以是一個(gè)為期數(shù)年的中長期營銷計(jì)劃，也可以是一些為期數(shù)周的短期營銷活動，企業(yè)的銷售邊際利潤也具有時(shí)變性。令ρ為企業(yè)稅收貼補(bǔ)償現(xiàn)率，且每一計(jì)劃時(shí)間段T期末，企業(yè)都會尋求從其上交稅收m（t）S（T）中按比例θ獲取一定補(bǔ)償性殘值，可表示為m（T）Sθ-ρT。則企業(yè)最終目標(biāo)為在計(jì)劃周期T內(nèi)合理投入其營銷活動u （t）及ν（t），使其總體收益最大化，該問題可由式（3）表示：

MaxJ（u，ν）=e -ρTπ（S（t），u（t），ν（t））dt+mSθ-ρT （3）

其中J為企業(yè)目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)

π（S，u，ν）=m（t）S-c1（t）u2-c2（t）ν2 （4）

服從公式（2）中的動態(tài)性。同時(shí)，兩種營銷活動單位成本c1（t）與c2（t）也各不相同，并具有時(shí)變性。當(dāng)c1（t）>c2（t）時(shí)，營銷活動u單位成本在t時(shí)刻高于活動ν。

二、求解過程及分析

根據(jù)前述文獻(xiàn)綜述，在解決營銷資源動態(tài)規(guī)劃問題時(shí)，現(xiàn)有研究普遍假定營銷效能恒定，也有部分學(xué)者在整合營銷傳播研究中，將這一問題歸于無時(shí)限條件下的營銷資源分配規(guī)劃問題。盡管無時(shí)限限定這一假設(shè)在數(shù)學(xué)上簡化了動態(tài)規(guī)劃問題，但現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)營銷計(jì)劃都是在有限時(shí)段內(nèi)進(jìn)行的?；诖?，本文設(shè)定求解步驟為：

1.定義價(jià)值函數(shù)。求解過程中最關(guān)鍵一步首先是對價(jià)值函數(shù)的定義：

V（s，t，T）=[e-ρwπ（S（w），U，w）dw]

V（.）表示企業(yè)在剩余周期時(shí)間段[t，T]內(nèi)應(yīng)用最優(yōu)營銷組合策略后所能達(dá)到的利潤最大值，s為任意起始狀態(tài)變量，U表示控制向量，U=（u（t），v（t））。即時(shí)利潤為π（t）=m（t）S-

c1（t）u2-c2（t）ν2，其中S（t）表示在t時(shí)刻的即時(shí)銷售率。

2.建立滿足HJB方程的形式。價(jià)值函數(shù)V（s，t，T）需要滿足HJB方程：

Vt+[e-ρtπ（s，U，t）+Vsf（s，U，t）]=0

其中Vs=?V/?s，Vt=?V/?t。函數(shù)f（s，U，t）由公式（2）右側(cè)部分定義。

3.定義臨界值。企業(yè)尋求在營銷計(jì)劃期結(jié)束時(shí)能夠保證獲取所得稅貼現(xiàn)殘值。在t=T時(shí)刻的價(jià)值函數(shù)為V（s，t，T）=

m（T）Sθe-ρT

4.確定價(jià)值函數(shù)。整個(gè)求解過程中需要確定一個(gè)合適價(jià)格函數(shù)V（s，t，T）以滿足HJB方程。因此，本研究應(yīng)用待定參數(shù)方法解決所需要面對的雙點(diǎn)臨界值問題。

基于上述求解過程，可得最優(yōu)營銷活動u*（t），v*（t）安排為：

u（t）=，v（t）= （5）

其中：

F（t）=e- （δ+ρ）（T-t）

（e- （δ+ρ）T

-e- （δ+ρ）s

m（s）ds-e- （δ+ρ）s

m（s）ds+

θm（T）） （6）

為營銷活動時(shí)段效果。當(dāng)我們設(shè)定βi（t）=βi，并且ci（t）=ci，即此時(shí)營銷效果及營銷成本參數(shù)被限制為恒定，同時(shí)，假設(shè)m（t）=m時(shí)，即邊際利潤恒定，并將稅收補(bǔ)償殘值設(shè)定為0，則可得經(jīng)典NA模型解。

對模型（6）進(jìn)行分析，我們可以得出，最優(yōu)營銷活動規(guī)劃與營銷活動效果成正比，但與其成本成反比。這也能夠解釋為何目前越來越多的企業(yè)傾向于將如百度等網(wǎng)絡(luò)平臺作為主要營銷平臺，這類平臺的成本花費(fèi)相比于電視臺等傳統(tǒng)媒介顯然價(jià)格更低。

從最優(yōu)函數(shù)解中，我們可以看出最優(yōu)營銷策略值u*（t），v*（t）隨計(jì)劃期內(nèi)不同時(shí)刻會呈現(xiàn)不同趨勢性。同時(shí)，即使?fàn)I銷活動效果保持不變，營銷投入最優(yōu)策略也會受到營銷媒介成本波動的影響。

對于營銷活動時(shí)段效果函數(shù)，當(dāng)企業(yè)邊際利潤及媒體平臺成本恒定時(shí)，函數(shù)F（t）可以簡化為：

FHE（t）=1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （7）

對公式（7）進(jìn)行分析，首先：

[FHE（t）]=[1-e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ））]=1 （8）

可得當(dāng)營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限時(shí)，營銷活動時(shí)段效果函數(shù)具有單一性。因此，當(dāng)效果參數(shù)βk（t）、媒體成本ck（t）及邊際利潤m（t）都隨營銷計(jì)劃時(shí)段趨于無限收斂于某一穩(wěn)定水平時(shí)，有限計(jì)劃時(shí)段營銷策略可以近似為無限時(shí)段策略。

其次，將函數(shù)FHE（t）對t求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（1-θ（δ+ρ）） （9）

當(dāng)時(shí)θ>為負(fù)值，當(dāng)θ<時(shí)為正值，當(dāng)θ=時(shí)為零。

這一方面體現(xiàn)出在有限時(shí)段營銷預(yù)算及資源配置問題中，稅收補(bǔ)償殘值參數(shù)θ的重要作用；另一方面也可以得出最優(yōu)營銷策略函數(shù)性質(zhì)實(shí)際上主要由βk（t）、ck（t）及m（t）這幾個(gè)函數(shù)決定。

將函數(shù)FHE（t）對T求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（-1+θ（δ+ρ）） （10）

式（10）實(shí)際顯示出營銷計(jì)劃時(shí)間長度對其效力所呈現(xiàn)出的反作用的影響效果。

將函數(shù)FHE（t）對θ求一階偏導(dǎo)可得：

=（δ+ρ）e- （T-t）（δ+ρ）

（11）

該值為恒正。同時(shí)，當(dāng)θ=0時(shí)，有限時(shí)段營銷計(jì)劃效果值為1，并隨θ增大，營銷效果值亦隨之增大。假定β1（t）隨時(shí)間推移而增長，效果衰弱率及貼現(xiàn)率足夠大，有限時(shí)段營銷效果衰弱率會比β1（t）增長率高，此時(shí)的最優(yōu)營銷決策會是不斷減少營銷手段u（t）盡管其營銷效果在不斷增長。由此可以看出，由于受到計(jì)劃時(shí)長的影響，有限時(shí)段營銷與無限時(shí)段營銷的最優(yōu)資源規(guī)劃策略是完全不相同的。

從我們所建立的模型中可以得出：（1）對于由具有時(shí)變性營銷活動構(gòu)成的營銷決策目標(biāo)函數(shù)，求解所得到的最優(yōu)分配策略也具有時(shí)變性；（2）營銷活動單位成本直接影響著最優(yōu)營銷投入分配比例。令x*=u*（t）/v*（t）代表營銷計(jì)劃期內(nèi)投入分配比例，則

x*（t）= （12）

可以注意到>，即某一營銷活動相對效力與其相對成本比值越大，該營銷活動的投入應(yīng)該越多。此外，式（12）也表明，由于β1（t）、β2（t）、c1（t）、c2（t）四項(xiàng)的時(shí)變性，營銷活動投入的最優(yōu)分配規(guī)劃隨時(shí)間的推移也會不斷改變。

公式（6）、（7）應(yīng)用于企業(yè)實(shí)際營銷活動時(shí)，企業(yè)經(jīng)營者在做企業(yè)營銷傳播策略計(jì)劃時(shí)應(yīng)首先做好時(shí)變市場響應(yīng)模型中的預(yù)測工作，基于應(yīng)對一般最小二乘方法中自由度問題的有效性，卡爾曼濾波算法可以作為首選預(yù)測計(jì)算方法。其次，當(dāng)時(shí)變相關(guān)系數(shù)預(yù)測完成后，企業(yè)決策人員則可利用并計(jì)算出計(jì)劃期內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)的最優(yōu)營銷傳播策略。

結(jié)論

本文主要考慮將營銷手段中具有時(shí)變性的效力、成本及營銷計(jì)劃周期等因素，納入企業(yè)營銷傳播策略的研究中。首先我們建立了單一企業(yè)雙營銷渠道的分析框架，其中市場響應(yīng)模型的各主要參數(shù)都具有時(shí)變性，根據(jù)分析首先得出與之前研究相似的結(jié)果，即最優(yōu)營銷資源投入與營銷效力成正比；然而，由于各主要參數(shù)的時(shí)變性，最優(yōu)營銷傳播策略的投入分配比例會隨時(shí)間的推移而不斷改變，因此企業(yè)管理者需要在營銷計(jì)劃周期內(nèi)不同時(shí)刻做出不同決策?，F(xiàn)有研究對于具有時(shí)變性的動態(tài)營銷問題一般采取實(shí)證研究的方式，而本文則從數(shù)理研究的角度對企業(yè)動態(tài)營銷傳播的決策過程進(jìn)行了研究，這一方面為現(xiàn)有研究做出了理論上的補(bǔ)充，也為企業(yè)在實(shí)際運(yùn)營過程中的營銷傳播決策制定提供了一定的參考與依據(jù)。

但本文現(xiàn)有研究仍存有一定的不足：首先，本文只考慮了單一企業(yè)的營銷傳播決策問題，未考慮多企業(yè)之間存在競爭時(shí)的現(xiàn)實(shí)情況，這與本研究所選取的研究視角有關(guān)。另外，本文未考慮雙營銷渠道之間的協(xié)同作用，而這些問題更現(xiàn)實(shí)也必將成為本研究今后深入拓展的主要方向。endprint