朱小芹，眭永興

(江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

自上世紀七十年代以來，許多學(xué)者用有限時間熱力學(xué)方法分析研究了熱力系統(tǒng)的性能優(yōu)化問題[1－4]。Angulo—Brown[5]在研究熱機時證明，熱機循環(huán)熵產(chǎn)率σ與低溫?zé)嵩礈囟萒L之積TLσ反映了熱機的功率耗散，故以式

為目標討論熱機的性能優(yōu)化，P為輸出功率。由于E目標在一定意義上與生態(tài)學(xué)的長期目標有相似性，故稱其為“生態(tài)學(xué)”最優(yōu)性能[6－9]。因為沒有注意到能量(熱量)與(功)的本質(zhì)區(qū)別，式(1)隱含了矛盾，即將功率()與非損失放在一起作了比較是不完備的，文獻[9]對此作出了訂正。陳林根等[10]基于分析的觀點，建立了各種熱力循環(huán)統(tǒng)一的分析生態(tài)學(xué)目標函數(shù)為

對制冷機而言

式中為QL吸熱量，QH為放熱量，TH、TL分別為高、低溫?zé)嵩礈囟?。因為制冷系?shù) ε =QL/(QH－ QL)，制冷率 R=QL/τ，故有[10]

此后，不少文獻討論了牛頓傳熱規(guī)律下內(nèi)可逆和不可逆卡諾熱機[11－16]、制冷機[17]和熱泵[18]的生態(tài)學(xué)性能，還有一些學(xué)者研究了 Brayton[19－21]、Stirling 和 Ericsson[22]熱機，Brayton[23－24]和 Ericsson[25]制冷機，內(nèi)可逆[26－27]、不可逆[28]簡單空氣熱泵和回?zé)崾娇諝鉄岜肹29－30]，不可逆布雷森循環(huán)[31]的生態(tài)學(xué)性能。但實際熱機、制冷機和熱泵中工質(zhì)與熱源間的傳熱并非都服從牛頓(線性)定律。一些文獻研究了傳熱規(guī)律(包括線性唯象傳熱規(guī)律 Q∝Δ(T－1)，輻射傳熱規(guī)律 Q∝Δ(T4)，Dulong—Petit傳熱規(guī)律 Q∝Δ(T1.25)，廣義對流傳熱規(guī)律Q∝Δ(T)m和廣義輻射傳熱規(guī)律Q∝Δ(Tm)對內(nèi)可逆和不可逆卡諾熱機[32－37]、制冷機和熱泵生態(tài)學(xué)性能的影響[38－41]，文獻[42]研究了復(fù)雜傳熱規(guī)律下內(nèi)可逆正反向兩熱源循環(huán)的生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能，本文將進一步研究線性唯象傳熱時不可逆卡諾制冷機生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能，研究結(jié)果對實際制冷機的設(shè)計工作具有理論指導(dǎo)意義。

1 制冷機模型

如圖1所示的制冷機滿足以下四個條件:

圖1 不可逆制冷機模型

(1)制冷機中工質(zhì)作定常態(tài)連續(xù)流動，循環(huán)由兩個等溫和兩個絕熱過程組成。

(2)由于熱阻的存在，工質(zhì)的吸、放熱溫度TLC，THC，不同于低，高溫?zé)嵩礈囟萒L，TH且有

傳熱規(guī)律滿足線性唯象傳熱規(guī)律Q∝Δ(1/T)。

換熱器換熱面積有限，高、低溫側(cè)換熱器面積F1與F2之和為常數(shù)F，即有

(3)兩熱源間存在常數(shù)為q=Ci(1/TL－1/TH)的熱漏流率(Ci為熱漏系數(shù))。設(shè)工質(zhì)通過高、低溫側(cè)換熱器交換吸放熱流率為QHC、QLC，則實際高溫?zé)嵩吹墓崧蔘H和低溫?zé)嵩吹奈鼰崧蔘L分別為

(4)除熱阻、熱漏外，制冷機中還存在其它的不可逆性。因此，在相同的制冷率R下，進行這樣的循環(huán)時，不可逆制冷機要比僅有熱阻時的制冷機多輸入一部分功率，所以在相同的R下，高溫側(cè)換熱器中工質(zhì)的放熱率QHC就大于僅存在熱阻損失時的放熱率QHC，引進不可逆因子Φ

表示制冷機中除熱阻和熱漏外的其它不可逆性，如摩擦、渦流和非平衡等各種不可逆效應(yīng)，顯然，在以上模型中，若q=0且Φ=1，即為內(nèi)可逆模型;若q＞0但Φ=1，即為熱阻加熱漏模型;若q=0但Φ＞1即為熱阻加內(nèi)不可逆模型。

2 最優(yōu)特性關(guān)系

根據(jù)以上模型，由熱力學(xué)第二定律，當循環(huán)中僅有熱阻時，有

由(9)和(10)式有

由熱力學(xué)第一定律，

制冷系數(shù)

制冷率

設(shè)傳熱服從線性唯象定律:

α、β分別為工質(zhì)與熱源間的傳熱系數(shù)(α、β均小于零)，F(xiàn)1、F2為高、低側(cè)換熱器的傳熱面積，定義面積比f和工質(zhì)溫比x，

由(7)～(17)知

由(12)～(19)式可得

式中 aL=2T0/TL－1，aH=2T0/TH－1。

可見E、σ、R、ε均為面積比f和溫比x的函數(shù)，由dE/df=0、dη/df=0或dR/df=0均可得當f=f0=(Φβ/α)0.5/x時，有一定溫比x下制冷機的最佳制冷率、最佳制冷系數(shù)、最佳熵產(chǎn)率和最佳E目標值:

式中，B= βF/[1+(βΦ)0.5/xα0.5]2。

3 討論

(1)若q=0且Φ=1，即為內(nèi)可逆模型;則(24)～(27)式變?yōu)?/p>

式中 B1= βF/[1+(β/α)0.5/x]2。

(2)若q=0但Φ＞1，即為熱阻加內(nèi)不可逆模型，則(24)～(27)式變?yōu)?

(3)若q＞0但Φ=1，即為熱阻加熱漏模型，則(24)～(27)式變?yōu)?

(4)由(27)式可知，最佳E目標值與x之間有極值關(guān)系，由dE/dx=0知，當x=xE，

(A=(βΦ/α)0.5)時，E 有最大值 Emax，

將此xE代入(23)－(25)式可得對應(yīng)于最大E目標值時的制冷率RE、制冷系數(shù)εE和熵產(chǎn)率σE。由dσ/dx=0 可知，當 x=xσ，

時σ取最小值σmax，

將此xσ代入(23)、(24)及(26)式可得對應(yīng)于最小熵產(chǎn)率時的制冷率Rσ、制冷系數(shù)εσE目標值Eσ。

同理可求得 xE及相應(yīng)的 εmax、Rε、σε和Eε，這里不作贅述。

圖2 不同參數(shù)下E與ε的關(guān)系

圖3 不同參數(shù)下E與R的關(guān)系

取 α=β，αF=400 000kW/K，TH=300K，TL=260K，T0=290K，Φ =1.0～1.2，Ci=0～400kW/K 進行計算。圖2、圖3分別給出了不同Φ及Ci下制冷機生態(tài)學(xué)E目標值與制冷系數(shù)、制冷率的關(guān)系曲線。圖2表明:內(nèi)可逆制冷機生態(tài)學(xué)E目標值隨制冷系數(shù)的變化呈拋物線型，隨著不可逆因子的增加，E目標值明顯下降，但曲線的拋物線形狀不變，除了最大目標點之外，對應(yīng)于某一E目標值，有兩個制冷系數(shù)ε值，但熱漏對生態(tài)學(xué)E目標值的影響則從根本上把曲線的拋物線形狀改變?yōu)榕と~型，可見熱漏q與不可逆因子Φ對制冷機生態(tài)學(xué)E目標值的影響效果截然不同。由圖3可知，生態(tài)學(xué)E目標值隨制冷率的變化呈拋物線型，除了最大E目標點之外，對應(yīng)于某一E目標值，制冷率R有兩個值，我們應(yīng)使制冷機工作于R較大的狀態(tài)點，E目標值隨著不可逆因子的增加而下降，熱漏對制冷機的影響也呈類似變化。

圖4 生態(tài)學(xué)目標、熵產(chǎn)率輸出及制冷率與制冷系數(shù)的關(guān)系

4 結(jié)論

本文用生態(tài)學(xué)優(yōu)化方法，綜合考慮熱阻、熱漏及其它內(nèi)不可逆性對線性唯象傳熱規(guī)律下不可逆卡諾制冷機性能的影響，導(dǎo)出了Q∝Δ(1/T)時不可逆卡諾制冷機機的生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能，并由數(shù)值算例對不同損失情況下的制冷機性能變化規(guī)律進行了比較，得到的一系列關(guān)系曲線有助于更深入了解熱阻、熱漏、內(nèi)不可逆性對制冷機性能的影響規(guī)律，本文結(jié)果給制冷機設(shè)計提供了一個最優(yōu)的折衷備選方案。

[1]Bejan A.Entropy generationminimization:The new thermodynamics of finite － size device and finite － time processes[J].J.Appl.Phys.，1996，79(3):1 191 －1 218.

[2]Chen L，Wu C，Sun F.Finite time thermodynamic optimization or entropy generationminimization of energy systems[J].J.Non － Equilib.，Thermodyn.，1999，24(4):327 －359.

[3]Wu C，Chen L，Chen J.Recent Advances in Finite － Time Thermodynamics[M].New York:Nova Science Publishers，1999.

[4]陳林根，孫豐瑞，Wu Chih.有限時間熱力學(xué)理論和應(yīng)用的發(fā)展現(xiàn)狀[J].物理學(xué)進展，1998，18(4):395－422.

[5]Angulo － Brown F.An ecological optimization criterion for finite － time heat engines[J].J.Appl.Phys.，1991，69(11):7465－7469.

[6]陳林根，孫豐瑞，陳文振.傳熱時有限時間熱機的生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能[J]，燃氣輪機技術(shù)，1995，8(1):16－18.

[7]Cheng C Y，Chen C K.The ecological optimization of an irreversible Carnot heat engine[J].J.Phys.D:Appl.Phys.，1997，30(11):1 602－1 609.

[8]Cheng C Y，Chen C K.Ecological optimization of an endoreversible Brayton cycle[J].Energy Convers.Mgm t.，1998，39(1/2):33－44.

[9]Yan Z.Comment on“ecological optimization criterion for finite － time heat engines”[J].J.Appl.Phys.，1993，73(7):3 583.

[10]陳林根，孫豐瑞，陳文振.熱力循環(huán)的生態(tài)學(xué)品質(zhì)因素[J].熱能動力工程，2002，17(2):172－175.

[11]Cheng C，Chen C.The ecological optimization of an irreversible Carnot heat－ engine[J].JPhys D:Appl Phys，1997，30(11):1 602－1 609.

[12]Chen L，Zhou J，Sun F，et a1.Ecological optimization for generalized irreversible Carnot.Engines[J].Appl Energy，2004，77(3):327－338.

[13]Xia D，Chen L，Sun F，et a1.Universal ecological performance for end0reversible heat engine cycles[J].Int JAmbient Energy，2006，27(1):15 －20.

[14]Zhang W，Chen L，Sun F，eta1.Exergybased ecological optimal performance for a universalendoreversible thermodynamic cycle[J].Int.J.Ambient Energy，2007，28(1):51 －56.

[15]Chen L，Zhang W，Syb F.Power，efficiency，entropy generation rate and ecologicaloptimization for a class of generalized irreversible universal heat engine cycles[J].Appl Energy，2007，84(5):512 －525.

[16]UST Y，SAHIN B，KODAL A.Ecological coefficient of performance(EC0P)optimization for generalized irreversible Carnot heat engines[J].JEnergy Inst，2005，78(3):145 －151.

[17]朱小芹，陳林根，孫豐瑞，廣義不可逆制冷機的生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能[J].低溫與超導(dǎo)，2004，32(3):61－64.

[18]Chen L，Zhu X，Sun F，et a1.Exergy － based ecological optimization for a generalized irreversible Carnot heat pump[J].Appl.Energy，2007，84(1):78 －88.

[19]Cheng C，Chen C.Ecological optimization of an endoreversible Brayton cycle[J].Energy Convers.Mgmt，1998，39(1/2):33－44.

[20]TYAGIS，KAUSHIK S.Ecological optimization of an irreversible regenerative intercooled Brayton heat engine with direct heat loss[J].Int.J.Ambient Energy，2005，26(2):81 －92.

[21]UST Y，SAFA A，SAHIN B.Ecological performance analysis of an endoreversible regenerative Brayton heat—engine[J].Appl.Energy，2005，80(3):247 －260.

[22]TYAGIS，KAUSHIK S，SALHOTRA R.Ecologica1 optimization and performance study of irreversible Stirling and Ericsson heat engines[J]，Phys.D:Appl.Phys.，2002，35(20):2 668 －2 675.

[23]Tu Y，Chen L，Sun F，eta1.Exergy － based ecologicaloptimization for an endoreversible Brayton refrigeration cycle[J].Int JExergy，2006，3(2):191 －201.

[24]屠友明，陳林根，孫豐瑞.內(nèi)可逆空氣制冷機的生態(tài)學(xué)優(yōu)化性能[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2005，4(3):199－204.

[25]TYAGIS，CHEN J，LIN G，et a1.Ecological optimization of an irreversible Ericsson cryogenic refrigerator cycle[J].Int J Energy Res，2005，29(13):1 191 －1 204.

[26]BIY ，Chen L，Sun F.Comparative performance analysis for endoreversible simple air heatpump cycles considering ecological，exergetic efficiency and heating load objectives[J].Int JExergy，2009，6(4):550 －566.

[27]BIY ，Chen L，Sun F.Ecological，exergetic efficiency and heating load optimizations for endoreversible variable － temperature heat reservoir simple air heat pump cycles[J].Int JLow － Carbon Tech，2010，5(1):7 －17.

[28]BIY，Chen L，Sun F.Ecological，exergetic efficiency and heating load optimizations for irreversible variable － temperature heat reservoir simple air heat pump cycles[J].Indian Jof Pure and Appl.Phys，2009，47:852 －862.

[29]BIY，Chen L，Sun F.Exergy based ecological optimization for an endoreversib1e variable － temperature heat reservoir air heat pump cycle[J].Revista Mexicana de Fisica，2009，55(2):l12 －119.

[30]BIY，Chen L，Sun F，et a1.Exergy － based ecological optimization for an endoreversible air heat pump cycle[J].Int.J.Ambient Energy，2009，30(1):45 －52.

[31]賀 星，陳林根，孫豐瑞.具有熱阻、熱漏的不可逆布雷森循環(huán)生態(tài)學(xué)性能新析[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2009，8(2):140－145.

[32]楊博，陳林根，孫豐瑞.線性唯象傳熱規(guī)律下廣義不可逆卡諾熱機生態(tài)學(xué)性能系數(shù)優(yōu)化[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2010，9(1):43－50.

[33]朱小芹，陳林根，孫豐瑞.Q∝(ΔT－1)時不可逆卡諾熱機的生態(tài)學(xué)性能優(yōu)化[J].揚州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，7(1):13－16.

[34]李俊，陳林根，戈延林，等.內(nèi)可逆正反向兩熱源循環(huán)復(fù)雜傳熱規(guī)律下生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2013，12(3):228－235.

[35]朱小芹，陳林根，孫豐瑞.Q∝(ΔT)n時廣義不可逆卡諾熱機的生態(tài)學(xué)性能優(yōu)化[J].東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，34(3):414 －417.

[36]Zhu X，Chen L，Sun F，et a1.Effect of heat transfer law on the ecological optimization of a generalized irreversible Carnot engine[J].Open Sys.＆ Inform.Dyn.，2005，12(3):249 －260.

[37]沈大華.Q∝(ΔTn)時不可逆卡諾制冷機的生態(tài)學(xué)性能優(yōu)化[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，27(4):434－436.

[38]朱小芹，陳林根，孫豐瑞.Q∝(ΔT)n時廣義不可逆卡諾制冷機的生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能[J].低溫與特氣，2006，24(2):10－13.

[39]屠友明，陳林根，孫豐瑞，內(nèi)可逆空氣制冷機性能的生態(tài)學(xué)優(yōu)化[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2005，4(3):199－204.

[40]Zhu X，Chen L，Sun F ，et a1.Effect of heat transfer law on the ecological optimization of a generalized irreversible Carnot heat pump[J].Int.J.Exergy，2005，2(4):423 － 436.

[41]Zhu X，Chen L，Sun F，et a1.The ecological optimization of a generalized irreversible Carnot heat pump for a generalized heat transfer law[J].JEnergy Inst.，2005，78(1):5 －10.

[42]李俊，陳林根，戈延林，等.內(nèi)可逆正反向兩熱源循環(huán)復(fù)雜傳熱規(guī)律下生態(tài)學(xué)最優(yōu)性能[J].熱科學(xué)與技術(shù)，2013，12(3):228－235.