龍清平， 杜義賢， 卓道鋒

（1.三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院，湖北宜昌443002；2.湖北省水力機械設(shè)計與維護重點實驗室，湖北宜昌443002）

復(fù)變量法求解拓?fù)鋬?yōu)化敏度分析研究

龍清平1，2， 杜義賢1，2， 卓道鋒1，2

（1.三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院，湖北宜昌443002；2.湖北省水力機械設(shè)計與維護重點實驗室，湖北宜昌443002）

研究復(fù)變量法對拓?fù)鋬?yōu)化問題敏度分析的有效性和可行性，在現(xiàn)有的經(jīng)典理論為基礎(chǔ)，通過使用無網(wǎng)格伽遼金法離散問題域而求得結(jié)構(gòu)場位移為例，使用O.Sigmund的經(jīng)典拓?fù)鋬?yōu)化方法，利用復(fù)變量來求解出目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后比較復(fù)變量法和直接法某些點敏度分析的誤差以及最后拓?fù)鋱D形的異同，結(jié)果顯示復(fù)變量法和直接法的誤差極小，最后通過實際例子結(jié)果的總結(jié)歸納，能夠得出復(fù)變量法比較簡便易行、精度高的結(jié)論。

復(fù)變量；拓?fù)鋬?yōu)化；敏度分析；無網(wǎng)格

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化作為一種新興的結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)，隨著相關(guān)基礎(chǔ)理論和技術(shù)的發(fā)展，其有很大的發(fā)展空間。同時為工程設(shè)計和分析人員提供一條新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)途徑。這種方法自動化程度高，可大大降低工作技術(shù)人員的工作量，同時也避免了因多次重復(fù)設(shè)計所帶來的不必要的開支。在工程已經(jīng)得到大量的應(yīng)用［1］。

采用優(yōu)化準(zhǔn)則法求解拓?fù)鋬?yōu)化問題時，需要用到目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)，即目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的敏度值，靈敏度分析是優(yōu)化設(shè)計的重要內(nèi)容，它反映的是約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)信息，且大型結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計大部分時間都用在了靈敏度分析。靈敏度分析是研究與分析一個系統(tǒng)或者模型的狀態(tài)或輸出變化對系統(tǒng)參數(shù)或周圍條件變化的敏感程度的方法［2］。

目前一般有直接法、伴隨法和半解析法，這三種方法都要經(jīng)過公式嚴(yán)格繁瑣的推導(dǎo)，才能得出最后的結(jié)果。本文通過復(fù)變量的方法求解拓?fù)鋬?yōu)化問題的敏度分析，能夠直接從目標(biāo)函數(shù)得到其敏度，簡單易行。本文將會以密度—剛度插值模型（SIMP模型）為研究對象，通過與直接法敏度分析求導(dǎo)的對比來檢測復(fù)變量方法的優(yōu)良性。

1 直接法的敏度分析理論

基于有限元的SIMP模型，我們將構(gòu)建無網(wǎng)格法的SIMP模型，SIMP模型的表達式：

其中，p是中間密度材料的懲罰因子，為了有效壓縮中間材料，要求p≥2。Ep表示插值以后的彈性模量，E0為實體材料的彈性模量。參考文獻［8］，基于有限元法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過無網(wǎng)格伽遼金方法求解位移場的位移，并以結(jié)構(gòu)的柔度最小作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，將SIMP模型離散到高斯點上，我們得出基于無網(wǎng)格伽遼金法的拓?fù)鋬?yōu)

通過式（5）目標(biāo)函數(shù)的敏度公式，可以清楚地看出目標(biāo)函數(shù)的敏度值和位移以及剛度矩陣的關(guān)系。

所以，目標(biāo)函數(shù)的敏度具體表達式為

2 復(fù)變量法的敏度分析理論

常規(guī)的數(shù)值求解偏導(dǎo)數(shù)的方法是差分法，但是在函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)急劇振蕩處或偏導(dǎo)數(shù)在較大區(qū)間趨于0時，差分法的計算精度較差。為了高精度的數(shù)值計算函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，Lyness等［4］給出了復(fù)變量求導(dǎo)法，該方法把偏導(dǎo)數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為復(fù)域函數(shù)值的計算，相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)計算精度很高。近來，郭力等［5］發(fā)展了該方法，成功地用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的三維邊界元計算，并且用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化和參數(shù)反演的研究中，本文將復(fù)變量法用于拓?fù)鋬?yōu)化的敏度分析中。

根據(jù)我們熟知的f（x）在x=x0處的泰勒展開式，對于復(fù)數(shù)的自變量z=x+hi，其中h是一個標(biāo)量值，其f（z）在x＝0處的泰勒展開式：

從式（8）我們可以看出，當(dāng)標(biāo)量h極小時，一階導(dǎo)數(shù)項要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于高階項，因此通過式（8），我們可以求得其導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)前面實數(shù)形式的優(yōu)化模型，我們將變量變成復(fù)數(shù)形式，得出基于無網(wǎng)格伽遼金法的優(yōu)化模型：

因此式（8）替換函數(shù)名稱等式依然成立，即

式（11）即為復(fù)變量求解的目標(biāo)函數(shù)的敏度具體表達式，通過它可以看出其可以通過目標(biāo)函數(shù)的復(fù)變量化一步將其敏度值求解出來。

3 復(fù)變量法與直接法對比的數(shù)值算例

如圖1所示的設(shè)計域，長L＝2 m，寬D＝1 m，左端為固定端，在設(shè)計域右邊中點加載30 kN的向下載荷。所用材料的楊氏模量為3 GPa，泊松比為0.3，材料的體積約束為40%。采用無網(wǎng)格伽遼金法（EFGM），在設(shè)計域上均與布置11×7個節(jié)點，根據(jù)節(jié)點布置將設(shè)計域劃分為10×6個積分單元，每個積分單元設(shè)置4×4個高斯點。

圖1 問題域及載荷施加情況

設(shè)計變量的控制點A、B、C選取的高斯點依次是第1個、第16×7個、第16×7×11個。

通過以上表1、表2和圖2、圖3、圖4的分析，選取的三個點處，在第7、第18步迭代的敏度誤差值非常小，誤差數(shù)量級為 10－15，在圖2、圖3、圖4中可以看出三個點隨迭代步的變化，直接法和復(fù)變量法的敏度值變化非常接近。直接法和復(fù)變量法對目標(biāo)函數(shù)的求導(dǎo)產(chǎn)生的敏度值，二者之間誤差的平均值和方差最大值為第一步迭代的平均值和方差值為5.315E-17和4.623E-32，從而說明復(fù)變量求導(dǎo)法敏度的可行性。

通過表3的分析可以看出，在不同的體積約束的情況下，復(fù)變量法和直接法求敏度分析后的拓?fù)鋱D形幾乎完全，同時通過對相同體積約束情況下迭代步數(shù)以及最后迭代的收斂值情況的比較，說明復(fù)變量法求解拓?fù)鋬?yōu)化中敏度問題能夠產(chǎn)生直接法相同的效果，從而驗證復(fù)變量法敏度求導(dǎo)的有效性。

表1 第7步迭代復(fù)變量法和直接法的敏度及誤差

表2 第18步迭代復(fù)變量法和直接法的敏度及誤差

圖2 點A處敏度隨迭代步的變化

圖3 點B處敏度隨迭代步的變化

圖4 點C處敏度隨迭代步的變化

表3 在不同體積約束的情況下直接法和復(fù)變量法的比較

4 結(jié)論

本文研究了復(fù)變量法求解拓?fù)鋬?yōu)化中問題中的目標(biāo)函數(shù)的敏度，通過比較復(fù)變量法和直接法的異同，得出了復(fù)變量法求解拓?fù)鋬?yōu)化敏度問題是可行和有效的，同時可以看出復(fù)變量法對于拓?fù)鋬?yōu)化敏度分析來說簡單易懂且精度高，同時易于計算機程序的實現(xiàn)，特別是在多場耦合等情況下，目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，求導(dǎo)非常麻煩，復(fù)變量法求敏度為其提供了一種簡單易行的方法。

［1］ 李冬梅.多場耦合及多相材料的柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2011：34-62.

［2］ 顧元憲，劉濤，亢戰(zhàn)，等.熱結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的耦合靈敏度分析方法與優(yōu)化設(shè)計［J］.力學(xué)學(xué)報，2004，36（1）：1-4.

［3］ 杜義賢.基于無網(wǎng)格柔性機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2007：60-87.

［4］ Lyness J N，Moler C B.Numerical differentiation of analytic functions［J］.SIAM Journal of Numerical Analysis，1967，4（2）：202-210.

［5］ 郭力，高效偉.復(fù)變量求導(dǎo)法靈敏分析及彈塑性參數(shù)反演［J］.東南大學(xué)學(xué)報，2008，38（1）：1-4.

［6］ 鄭娟.基于無網(wǎng)格數(shù)值技術(shù)的連續(xù)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究［D］.長沙：湖南大學(xué)，2011：72-98.

［7］ 劉翔，龔曙光，曹素，等.EFG法在拓?fù)鋬?yōu)化中的靈敏度分析與應(yīng)用［J］.中國科技論文在線，2008，3（8）：553-557.

［8］ Sigmund O.A 99 line topology optimization code written in Matlab［J］.Struct Multidisc Optim，2001，21：120-127.

（編輯黃 荻）

Sensitivity Analysis of Topology Optimization Based on Complex Variable Method

LONG Qingping1，2， DU Yixian1，2， ZHUO Daofeng1，2
（1.College of Mechanical＆Material Engineering,China Three Gorges University,Yichang 443002,China; 2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design＆Maintenance,Yichang 443002,China）

The effectiveness and feasibility of complex variable method is studied for sensitivity analysis in topology optimization problem.Based on the existing classical theory,EFGM discrete displacement field of structure is solved using the complex variable out of the derivative of the objective function and O.Sigmund classical topology optimization method.Then the error of the topology graph，sensitivity analysis error of the complex variable and direct method，are compared.The comparison of theoretical and practical examples proves that the complex variable method is more simple and more precise.

complex variable;topology optimization;sensitivity analysis;meshless

TH 122

A

1002－2333（2014）05－0102－03

國家自然科學(xué)基金項目（51105229）

龍清平（1987—），男，碩士研究生，研究方向為流固耦合拓?fù)鋬?yōu)化；杜義賢（1978—），男，副教授，研究方向為拓?fù)鋬?yōu)化。

杜義賢，duyixian@aliyun.com。

2014-04-10