王志永， 翟華明

（中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410004）

螺旋錐齒輪齒面離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及法矢的計(jì)算

王志永， 翟華明

（中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410004）

根據(jù)螺旋錐齒輪的切齒加工方法和齒輪嚙合原理，運(yùn)用矢量運(yùn)算的方法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程并規(guī)劃了齒面計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)區(qū)域。運(yùn)用Visual Studio 2008編程環(huán)境，編寫(xiě)了理論齒面各離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及法矢的計(jì)算軟件，通過(guò)該軟件可計(jì)算得到螺旋錐齒輪理論齒面各離散點(diǎn)在齒輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值和單位法矢。將得到的理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢導(dǎo)入到三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中進(jìn)行測(cè)量獲得各離散點(diǎn)的齒形誤差，然后將獲得該理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢的參數(shù)輸入到CNC3906齒輪測(cè)量中心進(jìn)行齒形誤差測(cè)量，獲得齒面上各離散點(diǎn)的齒形誤差。將兩組齒形誤差測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，論證了所開(kāi)發(fā)的計(jì)算軟件的正確性，為螺旋錐齒輪齒面偏差的測(cè)量以及螺旋錐齒輪數(shù)字化閉環(huán)制造提供了正確的理論齒面數(shù)據(jù)。

螺旋錐齒輪；空間坐標(biāo)；齒面偏差；數(shù)字化閉環(huán)制造

0 引言

螺旋錐齒輪主要用于兩相交軸或交錯(cuò)軸之間的傳動(dòng)，是飛機(jī)、汽車(chē)和各種精密機(jī)床等設(shè)備中的重要傳動(dòng)部件。隨著現(xiàn)代工業(yè)制造技術(shù)的發(fā)展，對(duì)齒輪傳動(dòng)效率、傳動(dòng)精度、噪聲等要求越來(lái)越高。因此，提高其制造精度和嚙合質(zhì)量就顯得越來(lái)越重要。數(shù)字化閉環(huán)制造技術(shù)是提高其制造精度的重要途徑之一，而利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)或齒輪測(cè)量中心獲得齒面偏差信息，是實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪數(shù)字化閉環(huán)制造最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)之一［1］。根據(jù)齒輪測(cè)量中心的測(cè)量原理，要想獲得齒面偏差信息，首先必須獲得理論齒面各離散點(diǎn)的坐標(biāo)值和單位法矢，然后通過(guò)各離散點(diǎn)的理論坐標(biāo)值和法向矢量控制測(cè)頭與實(shí)際齒面接觸，獲得與理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)際齒面坐標(biāo)點(diǎn)，通過(guò)誤差分析軟件獲得齒形誤差。獲得螺旋錐齒輪理論齒面各離散點(diǎn)的坐標(biāo)值及其法向矢量是實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪齒形偏差測(cè)量的前提。因此必須建立螺旋錐齒輪理論齒面方程，螺旋錐齒輪齒面是復(fù)雜的空間曲面，需要按其切齒加工過(guò)程以及齒輪嚙合理論來(lái)建立齒面方程。

1 齒面方程的建立

螺旋錐齒輪的加工方法有很多種，如成形法、展成法、刀傾法、全工序法、UMC等加工方法。在汽車(chē)驅(qū)動(dòng)橋的螺旋錐齒輪傳動(dòng)中，大輪主要用成形法加工，小輪主要用刀傾法加工。本文運(yùn)用矢量運(yùn)算法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程。

1.1 成形法大輪齒面方程

圖1是大輪的切齒加工示意圖。圖中的i-j平面為機(jī)床平面，機(jī)床平面過(guò)刀盤(pán)中心且垂直于產(chǎn)形輪軸線，機(jī)床平面與刀尖平面重合；k軸為搖臺(tái)的軸線；G2為齒輪的軸線；O為機(jī)床中心，是產(chǎn)形輪軸線與刀尖平面的交點(diǎn)；Oc2為刀盤(pán)中心，是刀尖平面與刀盤(pán)軸線的交點(diǎn)；Sg為徑向刀位；qg為角向刀位；M是刀盤(pán)切削面上的任意一點(diǎn)；θs為M點(diǎn)相位角；O2是軸錯(cuò)交點(diǎn)即設(shè)計(jì)交叉點(diǎn)，Eg為垂直輪位；Xbg為床位；Xg為水平輪位修正量；βg為輪坯安裝角；刀尖頂點(diǎn)M0點(diǎn)的方程R02為：

R02=［Sgcosqg+R02sin（qg-θg）］i-［Sgsinqg-R02cos（qg-θg）］j。（1）

圖1 大輪加工圖

M點(diǎn)的單位法矢為Ng，沿母線方向的單位矢量為T(mén)g。由圖1可以確定Ng和Tg的方程為：

其中，α02為刀齒壓力角。

設(shè)MM0＝s2，M點(diǎn)的坐標(biāo)，即切削面的方程為：

大輪齒面與刀盤(pán)切削面是共軛曲面，可通過(guò)共軛曲面的方法求得。由圖1可知大輪軸線方向的單位矢量：

大輪設(shè)計(jì)交叉點(diǎn)與機(jī)床中心之間的矢量：

成形法加工大輪時(shí)，搖臺(tái)與被加工的齒輪都是不旋轉(zhuǎn)的，因此兩者的角速度、相對(duì)角速度、相對(duì)速度都等于零。垂直輪位Eg與床位Xbg等于零，qg為一常數(shù)。大輪齒面的形狀與切削面的形狀是相同的，大輪的齒面方程為：

1.2 刀傾法小輪齒面方程

圖2是小輪的切齒加工圖。圖中的i-j平面為機(jī)床平面，機(jī)床平面與刀盤(pán)平面之間有一個(gè)刀傾角；k軸為搖臺(tái)的軸線；P1為齒輪的軸線；O為機(jī)床中心；Ocl為刀盤(pán)中心；Sp為徑向刀位；qp為角向刀位；M為刀盤(pán)切削面上的任意一點(diǎn)；ip、jp為刀傾角和刀轉(zhuǎn)角；c為刀盤(pán)軸線；O1為軸錯(cuò)交點(diǎn)；Ep為垂直輪位；Xbp為床位；Xp水平輪位修正量；βp為坯安裝角。

刀尖頂點(diǎn)M0的方程為：

沿母線方向的單位矢量Tp，M點(diǎn)的單位法矢Np和刀盤(pán)軸線c的方程分別為：

圖2 小輪加工圖

其中，α01是小輪刀齒壓力角。

刀盤(pán)切削面是母線MM0繞刀盤(pán)軸線旋轉(zhuǎn)一周而得到的，將刀尖頂點(diǎn)、法矢、母線、繞刀盤(pán)軸線c旋轉(zhuǎn)一個(gè)θ角度得到刀盤(pán)任意軸截面的刀尖頂點(diǎn)R01′、法向量Np′和母線Tp′。

因?yàn)榈秲A法加工小輪的過(guò)程中，小輪齒面各離散點(diǎn)都繞其軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度φi（i代表齒面上的任意一點(diǎn)），因此，在齒輪坐標(biāo)中，需要將齒面各離散點(diǎn)都繞其軸線旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度-φi。設(shè)Rp′＝Rc1+mp，則小輪的齒面方程可表示為：

2 齒面離散化處理及網(wǎng)格劃分

螺旋錐齒輪的齒面是復(fù)雜的空間曲面，沒(méi)有像漸開(kāi)線圓柱齒輪那樣的標(biāo)準(zhǔn)齒形與齒線，因此，其齒形誤差的測(cè)量要比圓柱齒輪復(fù)雜。一般采用“點(diǎn)陣式”測(cè)量［4］，因此需要對(duì)螺旋錐齒輪的齒面進(jìn)行離散化處理，即在齒輪的旋轉(zhuǎn)投影面上對(duì)齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，所有網(wǎng)格點(diǎn)都與實(shí)際齒面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，一般采取齒高方向取5行，在齒長(zhǎng)方向取9列的原則［5－6］。為了避開(kāi)齒根圓角和齒頂?shù)菇?，網(wǎng)格劃分的區(qū)域要沿整個(gè)齒面邊界往里適當(dāng)收縮。根據(jù)AGMA標(biāo)準(zhǔn)，在齒寬方向，兩端各收縮齒寬的10%，齒高方向，兩端各收縮齒高的5%且不能少于0.6 mm。收縮后的齒面各邊界與收縮前的齒面各邊界平行，再根據(jù)齒高和齒長(zhǎng)方向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)將齒面各邊界等距平分，齒面網(wǎng)格劃分情況如圖3所示，圖中O為齒輪的交叉點(diǎn)，P為齒輪的軸線，XO為冠頂距，D為外徑，δ、δa、δf、θa、θf(wàn)分別為節(jié)錐角、面錐角、根錐角、齒頂角、齒根角，Δ1、Δ2、Δ3、Δ4分別為齒頂、齒根、小端、大端的收縮量。

圖3 齒面網(wǎng)格劃分示意圖

由圖3可知，收縮前的大端頂點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)Ax′為齒輪的冠頂距，縱坐標(biāo)Ay′為齒輪的外端半徑。收縮后的大端頂點(diǎn)A的坐標(biāo)：

求出收縮后的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)值后，根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系可求出其它各網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)值。大輪的方程是s2和θg的函數(shù)；小輪的齒面方程是θp和Δq1的函數(shù)。由圖3可知任意點(diǎn)M的R和L值：

式中：P是齒輪軸線的單位方向矢量；r為齒面上任意點(diǎn)的矢量。

以小輪為例，其齒面上任意點(diǎn)M的R、L值可由式（23）、式（24）求得，且都是θp和Δq1的函數(shù)，要求得滿足R、L值的θp和Δq1兩個(gè)參數(shù)，不能用解析法直接求得，只能通過(guò)二元迭代法來(lái)計(jì)算，求出以上2個(gè)參數(shù)θp和Δq1，就可求出小輪齒面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值、法向矢量、齒高方向的矢量。同理也可求出大輪齒面上各離散點(diǎn)的坐標(biāo)值、法向矢量、齒高方向的矢量。

3 計(jì)算軟件開(kāi)發(fā)及計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

3.1 計(jì)算軟件開(kāi)發(fā)

根據(jù)以上分析，運(yùn)用Visual Studio 2008編程環(huán)境，開(kāi)發(fā)了螺旋錐齒理論齒面離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及法矢的計(jì)算軟件，軟件采用模塊化設(shè)計(jì)思想，包括三個(gè)部分的內(nèi)容：1）成形法理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算模塊；2）刀傾法理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算模塊；3）理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)輸出模塊。

為了使生成的齒面坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)能夠被三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)讀取并進(jìn)行齒形偏差測(cè)量，齒面坐標(biāo)點(diǎn)文件的輸出格式以三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)定義的格式輸出。

3.2 計(jì)算結(jié)果實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將本文開(kāi)發(fā)的計(jì)算軟件生成的成形法大輪理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢文件導(dǎo)入到三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中進(jìn)行測(cè)量，得到齒面上各離散點(diǎn)的齒形誤差。圖4為大輪在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上進(jìn)行測(cè)量時(shí)的情況，圖5為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)輸出的齒形誤差，圖5中的（1，1）點(diǎn)為齒輪的大端齒根。

圖4 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量實(shí)例

圖5 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)齒形誤差測(cè)量報(bào)告

將生成理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢的機(jī)床調(diào)整參數(shù)和刀具參數(shù)輸入到CNC3906齒輪測(cè)量中心，然后進(jìn)行測(cè)量獲得齒面上各離散點(diǎn)的齒形誤差值。圖6為CNC3906齒輪測(cè)量中心輸出的齒形誤差報(bào)告。圖6中的（1，1）點(diǎn)為齒輪的小端齒根。將兩種齒形誤差測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，兩者在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齒形誤差的差值的最大值為3.4 μm，最小值為-2.4 μm。產(chǎn)生這一差值的主要原因是：1）三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)和齒輪測(cè)量中心本身的測(cè)量誤差；2）本文開(kāi)發(fā)的計(jì)算軟件生成理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢時(shí)的網(wǎng)格劃分方法與齒輪測(cè)量中心齒面網(wǎng)格劃分方法的差異。因此，通過(guò)以上的對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文開(kāi)發(fā)的計(jì)算軟件的正確性。

圖6 CNC3096齒輪測(cè)量中心測(cè)量報(bào)告

4 結(jié)論

1）運(yùn)用矢量運(yùn)算的方法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程。

2）將理論齒面離散化處理，通過(guò)齒輪的基本幾何參數(shù)計(jì)算得到了各離散點(diǎn)的R、L值。

3）根據(jù)齒輪嚙合原理，運(yùn)用牛頓二元迭代法計(jì)算了螺旋錐齒輪齒面離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)及法矢。

4）運(yùn)用Visual Studio 2008編寫(xiě)了齒面離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及法矢的計(jì)算軟件，將生成的理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)及法矢導(dǎo)入到三坐標(biāo)測(cè)量中進(jìn)行了測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果與CNC3906齒輪測(cè)量中心的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文開(kāi)發(fā)的計(jì)算軟件的正確性。

［1］ 黃新冠，鄧效忠，李天興.弧錐齒輪齒面偏差測(cè)量［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2007，31（6）：67-69.

［2］ 曾韜.螺旋錐齒輪設(shè)計(jì)與加工［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989.

［3］ 吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1982.

［4］ 方宗德，楊宏斌，鄧效忠.弧齒錐齒輪齒面優(yōu)化修正及計(jì)算機(jī)仿真［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2002（1）：140-143.

［5］ 徐娟.基于CNC齒輪測(cè)量中心的錐齒輪測(cè)量分析方法研究及軟件開(kāi)發(fā)［D］.重慶：重慶大學(xué)，2006.

［6］ 梁艷，張琳，等.弧齒錐齒輪齒面坐標(biāo)法測(cè)量的研究［J］.工具技術(shù)，2006，40（2）：120-123.

（編輯昊 天）

Calculation of Spatial Coordinates and Normal Vector for Spiral Bevel Gear Tooth Surface

WANG Zhiyong，ZHAI Huaming
（College of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China）

According to the processing methods and gear meshing theory of spiral bevel gear,vector operations method is used to establish theoretical tooth equations of formate gear and tilt cutter pinion,and the tooth surface area of grid point is planed.Using visual studio 2008 programming environment,a calculation software is written for getting the theoretical tooth surface spatial coordinates and normals of discrete point in the gear coordinates system.The resulting theoretical tooth surface coordinates and normals are imported into the coordinate measuring machine to measure and get profile errors of the discrete points.Then,the corresponding parameters are imported into CNC3906 gear measuring center to calculate and measure,and get profile errors of the discrete points.The two kinds of profile error are compared to demonstrate the correctness of calculation software.The method provides a correct theoretical tooth surface data for the three-coordinates measurement of tooth surface deviation and digital closed-loop manufacturing of spiral bevel gear.

spiral bevel gear;spatial coordinates;tooth surface deviation;digital closed-loop manufacturing

TH 132.421

A

1002－2333（2014）05－0012－04

王志永（1973—），男，副教授，主要從事螺旋錐齒輪數(shù)控加工裝備以及螺旋錐齒輪數(shù)字化閉環(huán)制造技術(shù)的研究。翟華明（1987—），男，在讀研究生，從事螺旋錐齒輪測(cè)量及齒形誤差分析軟件開(kāi)發(fā)等方面的工作。

2014-03-04

湖南省教育廳科研資助項(xiàng)目（12B133）