袁勝萬，寸花英，李江艷，余正斌

(沈機(jī)集團(tuán)昆明機(jī)床股份有限公司，昆明 650203)

0 引言

振動、噪聲、傳動精度及運動穩(wěn)定性是研究轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)重點關(guān)注的問題，國內(nèi)外學(xué)者針對這些問題已經(jīng)做了大量工作［1］。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的謝濤采用有限元方法對飛行轉(zhuǎn)臺進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計，并獲得良好的應(yīng)用［2］;美國J.G.Blance 等人使用純幾何學(xué)的方法研究了擺線針輪減速機(jī)構(gòu)的傳動精度［3］;蘇聯(lián)勃魯也維奇提出使用概率統(tǒng)計法對機(jī)構(gòu)的傳動精度進(jìn)行計算，對機(jī)構(gòu)精確度線性理論，機(jī)構(gòu)精確度的計算、概率模擬的應(yīng)用、隨機(jī)變量典型分布規(guī)律等進(jìn)行了系統(tǒng)的論述［4］，受業(yè)界的肯定與推崇。李圣怡等詳細(xì)開展了精密和超精密機(jī)床精度建模、誤差仿真、虛擬加工等工作，并在精密及超精密機(jī)床設(shè)計上取得良好的應(yīng)用效果［5］。

本文的研究對象為大型精密回轉(zhuǎn)工作臺傳動系統(tǒng)，該轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)為沈機(jī)集團(tuán)昆明機(jī)床股份有限公司開發(fā)THM65160 精密臥式加工中心工作臺，主要針對航空航天、汽車、能源等行業(yè)中大重型零部件的加工而設(shè)計開發(fā)的，該工作臺尺寸為1600mm ×1600mm，最大承重為20t，轉(zhuǎn)臺定位精度要求9"，重復(fù)定位精度要求5";通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前國內(nèi)外大部分廠家生產(chǎn)的加工中心工作臺尺寸絕大部分都在1000mm 一下，能夠做到1200mm 的不多，相對于國內(nèi)外大部分加工中心而言，該轉(zhuǎn)臺具有尺寸大，承載高，其傳動系統(tǒng)包括蝸桿-蝸輪-小齒輪-大齒圈傳動，其傳動結(jié)構(gòu)復(fù)雜。提升轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)的定位精度和重復(fù)定位精度、靜動剛度、動態(tài)響應(yīng)特性及可靠性等是研發(fā)大重型精密轉(zhuǎn)臺的主要難題，本文針對快速響應(yīng)特性及轉(zhuǎn)臺傳動精度兩個問題，基于集中參數(shù)法及等價誤差法建立轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型和傳動精度模型，對該傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性和傳動精度進(jìn)行分析，研究和改善影響轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)性能和精度因素，以提高傳動系統(tǒng)的承載能力、動態(tài)性能及傳動精度，為工程實踐中傳動系統(tǒng)性能提升提高理論參考。

1 精密回轉(zhuǎn)工作臺傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 精密轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)傳動示意圖

為了提高傳動精度，轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)采用蝸桿蝸輪-小齒輪大齒圈傳動，在減少傳動鏈同時盡量增大傳動比。傳動系統(tǒng)如圖1 所示，該系統(tǒng)由電機(jī)通過蝸桿蝸輪帶動齒輪齒圈，從而驅(qū)動回轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動。

圖1 回轉(zhuǎn)工作臺傳動系統(tǒng)圖

圖2 回轉(zhuǎn)工作臺動力學(xué)模型

1.2 精密轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程

根據(jù)集中參數(shù)法建立實際轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型［6-7］，傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖2 所示，其中Te、Tg分別為電機(jī)扭矩，切削負(fù)載阻力矩;Ii為各質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動慣量，其中Ie為電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動慣量，Ig為負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量i =1，2，3，4 ;θi為各質(zhì)量塊的扭轉(zhuǎn)角位移，其中θe為電機(jī)軸的扭轉(zhuǎn)角位移，θg為輸出軸的扭轉(zhuǎn)角位移;i =1，2，3，4 ;ci各個軸的的扭轉(zhuǎn)阻尼，i =1，2，3 ;ki為各個軸的的扭轉(zhuǎn)剛度，i =1，2，3 ;cij/kij為齒輪副的嚙合阻尼/嚙合剛度;Ri為每個齒輪分度圓半徑，i =1，2，3，4，e，g;ei為各個齒輪副的綜合傳動誤差，i =1，2，3 ;其動力學(xué)方程如式(1)所示。

1.3 傳動系統(tǒng)激勵分析

齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵有內(nèi)部激勵和外部激勵兩類。內(nèi)部激勵是齒輪傳動與一般機(jī)械的不同之處，它是由于同時嚙合齒對數(shù)的變化、輪齒的受載變形、齒輪誤差等引起了嚙合過程中的輪齒動態(tài)嚙合力產(chǎn)生的，因而即使沒有外部激勵，齒輪系統(tǒng)也會受這種內(nèi)部的動態(tài)激勵而產(chǎn)生振動噪聲。外部激勵是指齒輪系統(tǒng)的其它外部因素對齒輪嚙合和齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生的動態(tài)激勵。對于原動機(jī)和負(fù)載運轉(zhuǎn)平穩(wěn)，齒輪系統(tǒng)加工和裝配精度較高時，齒輪內(nèi)部激勵是齒輪系統(tǒng)動態(tài)激勵主要部分。針對蝸桿-渦輪-浮動小齒輪帶動大齒圈回轉(zhuǎn)工作臺，我們主要研究齒輪嚙合時的內(nèi)部動態(tài)激勵［7］。

(1)齒輪副嚙合剛度

為了提高計算效率，齒輪的嚙合剛度采用國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)在齒輪強(qiáng)度計算公式中推薦公式，計算公式如下:

式中，z1為主動輪的齒數(shù);z2為從動輪的齒數(shù);x1主動輪的法面變位系數(shù);x2為從動輪的法面變位系數(shù)。εα為齒輪的端面重合度。b為齒輪的寬度。k即為齒輪的綜合嚙合剛度。

(2)傳動系統(tǒng)的阻尼

傳動軸的扭轉(zhuǎn)振動阻尼主要是材料阻力，根據(jù)H.H.Lin 和C.Lee 等的分析結(jié)論，傳動軸的扭轉(zhuǎn)阻尼可表示為:

式中，Ki為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，I1、I2分別是軸上兩質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動慣量，ξ 為阻尼比，根據(jù)D. R. Houser 等的試驗研究，ξ 一般取值范圍為0.005～0.075。

齒輪副的嚙合阻尼系數(shù)可由下式計算:

式中，km為一對嚙合齒輪副的嚙合剛度，Ip、Ig分別是齒輪副主從動輪的轉(zhuǎn)動慣量，Rp、Rg分別是齒輪副主從動輪的半徑，ξ 為齒輪嚙合的阻尼比，按照R.Kasuba 和K.L.Wang 的分析計算，一般取值范圍為0.03～0.07。

(3)誤差激勵輪齒嚙合誤差是由齒輪加工誤差和安裝誤差引起的，這些誤差使齒輪嚙合齒廊偏離理論的理想嚙合位置，破壞了漸開線齒輪的正確嚙合方式，使齒輪瞬時傳動比發(fā)生變化，造成齒與齒之間碰撞和沖擊，產(chǎn)生齒輪嚙合的誤差激勵。通常，影響齒輪振動噪聲的各種因素中，齒距誤差和齒形誤差的影響最大。嚙合傳動誤差的影響綜合反映在嚙合線方向，可表示為:

式中ψ(t)為長周期誤差函數(shù)，φ(t)為短周期誤差函數(shù)，A為長周期誤差的幅值，Bn為短周期誤差的幅值，φn為短周期誤差的相位角，ω 為回轉(zhuǎn)頻率，ωg為嚙合角頻率。根據(jù)齒輪設(shè)計的精度等級確定齒輪的偏差，采用簡諧函數(shù)表示法進(jìn)行誤差模擬，則輪齒的齒形誤差和基節(jié)誤差可用正弦函數(shù)表示為:

式中，e0、er分別為輪齒誤差的常值和幅值，Tz為齒輪的嚙合周期，φ 為相位角。

一般情況下取e0為0，φ 為0，而基節(jié)誤差fpb和齒形誤差ff占齒輪系統(tǒng)誤差的70%，是影響齒根應(yīng)力最重要的加工誤差因素，所以取er等于嚙合齒對的有效誤差。它們是隨機(jī)變量，并且服從正態(tài)分布和差值分布，考慮上述兩種主要誤差時，嚙合齒對的有效誤差Δf∑為:

式中，fpb——基節(jié)誤差，ff——齒形誤差

齒輪副精度均為5LM，蝸輪蝸桿的誤差值如下表所示:

表1 齒輪副誤差值(單位:μm)

2 轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)仿真分析及討論

針對方程(1)來研究轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性，該傳動系統(tǒng)的主要參數(shù)為

表2 軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼

表3 齒輪副的嚙合剛度和阻尼

表4 轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)參數(shù)

2.1 傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)分析

回轉(zhuǎn)工作臺的的動力學(xué)方程為時變型非線性微分方程，獲得傳動系統(tǒng)中各齒輪的動態(tài)響應(yīng)。時域響應(yīng)取0.1s 的響應(yīng)進(jìn)行分析。時域響應(yīng)分析中主要分析齒輪的速度和加速度隨時間的變化，由于時域分析不能很好反映系統(tǒng)的特性，所以必須要分析每個齒輪的頻域特征。采用Newmark-β 數(shù)值方法求解［8-9］，可得到輸出蝸輪蝸桿傳動副及齒輪齒圈傳動副的扭轉(zhuǎn)振動角速度以及角加速度值，如下圖所示。

圖3 輸入軸的振動速度及振動加速度時域曲線

圖4 輸出軸的振動速度及加速度時域曲線

圖5 輸出軸的振動速度及加速度頻域曲線

由頻譜圖可見，輸出軸的頻域幅值主要出現(xiàn)在66.67Hz 及其100Hz 倍頻上，其中100Hz 為蝸輪蝸桿的嚙合頻率，66.67Hz 為齒輪齒圈的嚙合頻率。表明嚙合頻率對系統(tǒng)振動存在較大影響。

齒輪裝置的振動大小是由振動速度的均方值進(jìn)行評價的。輸入、輸出軸的振動速度均方根值結(jié)果見表5 所示。

表5 輸入輸出軸振動速度均值

按照GB/T6404.2《齒輪裝置的驗收規(guī)范》對工作臺回轉(zhuǎn)傳動系統(tǒng)的振動進(jìn)行評價，輸入軸的振動速度均值為4.36 ×10-2，在振動評價曲線中位于A 級水平;輸出軸的振動速度均值為8. 06，輸入功率為4.0kW，在振動評價曲線中處于C 級水平，表明輸入軸在高速輸入情況下振動情況良好，而輸出軸在高速輸入情況下振動情況較差，需要采取一定的措施對其減振，以提高回轉(zhuǎn)工作臺的回轉(zhuǎn)動態(tài)特性。

3 回轉(zhuǎn)傳動精度建模及誤差分析

回轉(zhuǎn)傳動誤差是指對應(yīng)著同一輸入回轉(zhuǎn)角，輸出軸的實際回轉(zhuǎn)角與理論回轉(zhuǎn)角之間的差值。若令與電機(jī)軸的輸入角為θ1，工作臺的實際回轉(zhuǎn)角與理論回轉(zhuǎn)角分別為θ'4和θ4，傳動比為N，則回轉(zhuǎn)傳動誤差為:

采用等價誤差法對精密回轉(zhuǎn)工作臺的傳動系統(tǒng)進(jìn)行回轉(zhuǎn)精度建模［10-11］，工作臺的回轉(zhuǎn)傳動系統(tǒng)同上圖1 所示，根據(jù)傳動結(jié)構(gòu)建立傳動精度模型如圖6 所示，建模時假設(shè):

①不計齒輪嚙合時摩擦力的影響;

②齒輪間的嚙合力始終作用在嚙合線上;

綜合考慮轉(zhuǎn)臺各傳動零件的等價誤差，以及運動的加速度，利用牛頓第二定理建立傳動精度數(shù)學(xué)模型［10］，見方程①～⑥所示。

圖6 回轉(zhuǎn)工作臺的回轉(zhuǎn)精度模型

其中，

式中，方程①～⑥中各參數(shù)意義同方程(1)一致。Tzi齒輪副的嚙合頻率，i =1，2 ，蝸桿的誤差:螺旋線誤差fh=9μm，軸向齒距累積誤差fpx=10μm，齒形誤差ff=9，齒厚偏差Es=19μm;蝸輪的誤差:螺旋線誤差Fp=9μm，軸向齒距累積誤差ff2=μm，齒形誤差ff=5，齒厚偏差Es=33.5μm;蝸桿副的誤差:中心距偏差fa=45μm，圓周側(cè)隙jt=24.25μm，法向側(cè)隙jn=25μm. 小齒輪的各項誤差:齒厚偏差Es=40μm，齒形誤差ff=7μm，基節(jié)偏差fpb=7μm，法向公法線偏差ΔEWm=12μm;大齒圈的各項誤差:齒厚偏差△Es=90μm，齒形誤差ff=13μm，基節(jié)偏差△fpb=9μm，法向公法線偏差ΔEWm=25μm;齒輪副的各項誤差:中心距偏差△fa=35μm。

根據(jù)Runge-Kutta［11］法對傳動精度方程進(jìn)行求解，從而得到精密回轉(zhuǎn)工作臺回轉(zhuǎn)傳動系統(tǒng)的傳動精度，輸出軸的回轉(zhuǎn)傳動誤差如下圖所示。

圖7 輸出軸的回轉(zhuǎn)傳動誤差

圖8 蝸輪蝸桿副對傳動精度的影響

圖9 齒輪傳動副對傳動精度的影響

圖7 求得的結(jié)果即為輸出軸的誤差弧度值，當(dāng)工作臺運轉(zhuǎn)穩(wěn)定后對其傳動誤差進(jìn)行分析可知，其傳動誤差幅值為3 ×10-5rad，轉(zhuǎn)換成角度值為6.19";相鄰兩個周期的誤差幅值的差值約為0.8 ×10-6rad，對其進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換可得0.165"。

浮動小齒輪帶動大齒圈回轉(zhuǎn)工作臺，要求定位精度達(dá)到9"，重復(fù)定位精度達(dá)到5"。理論分析發(fā)現(xiàn)重復(fù)定位精度與定位精度均滿足驗收條件。由于在理論分析中只考慮了齒輪本身的制造誤差和安裝誤差對傳動精度的影響，而忽略了其他一些諸如軸承等的制造和安裝誤差對傳動精度的影響，因而理論分析與實際結(jié)果是有一定的差距的。所以在回轉(zhuǎn)工作臺的設(shè)計過程中需要對其回轉(zhuǎn)傳動系統(tǒng)進(jìn)行消隙處理［12］。工程應(yīng)用中，主要采取的消隙方式有伺服電機(jī)、蝸桿蝸輪機(jī)構(gòu)及小齒輪組成的回轉(zhuǎn)工作臺驅(qū)動機(jī)構(gòu)浮動安裝在滑座上，可自動消除小齒輪與大齒圈之間的間隙并補(bǔ)償齒輪齒圈的中心距誤差。提高齒輪齒圈的制造和安裝精度等方式進(jìn)行消隙，提高其傳動精度。

3 結(jié)論

本文建立了一種浮動小齒輪帶動大齒圈回轉(zhuǎn)工作臺動力學(xué)模型和傳動精度模型，系統(tǒng)地研究了精密轉(zhuǎn)臺在自激作用下下的動態(tài)響應(yīng)和傳動精度及其影響因素，其結(jié)論如下.

(1)利用Newmark-β 數(shù)值方法求解得出了弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的的動態(tài)響應(yīng)，分析表明，嚙合頻率對系統(tǒng)振動存在較大影響。同時，輸入軸在高速輸入情況下振動情況良好，而輸出軸在高速輸入情況下振動情況較差，需要采取一定的措施對其減振，以提高回轉(zhuǎn)工作臺的回轉(zhuǎn)動態(tài)特性。

(2)針對影響機(jī)構(gòu)傳動精度的各零件的加工誤差和裝配誤差等因素進(jìn)行建模分析，理論分析發(fā)現(xiàn)重復(fù)定位精度與定位精度均滿足驗收條件。通過與實際測試結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，由于理論分析忽略了其他一些諸如軸承等的制造和安裝誤差對傳動精度的影響因素，其分析結(jié)果與測試結(jié)果有一定差距，需要對轉(zhuǎn)臺進(jìn)行消隙處理，以進(jìn)一步提高其傳動精度。

［1］Kang C H，Hsu W C，Lee E K，et al . Dynamic analisis of gear-rotor system with viscoelastic supports under residual shaft bow effect［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46(3):264 -275.

［2］謝濤.飛行仿真轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析及其優(yōu)化設(shè)計研究［D］，哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2003.

［3］Blanche J G，Yang D C H，Cyeloid drives with machining toler-ances［J］. Journal of Mechanisms，Transmisslons，and Antomation in Design，1989，111(9):337 -344

［4］Y.Cheng，T.C.Lim.Vibration Analysis of Hypoid Transmissions Applying an Exact Geometry-based Gear Mesh Theory.Journal of Sound and Vibration，2001，240(3):519 -543.

［5］李圣怡，戴一凡，尹自強(qiáng)，等，精密和超精密機(jī)床精度建模技術(shù)［M］，長沙:國防科技大學(xué)出版社，2007.

［6］郜浩冬，張以都，吳瓊，等.匯流傳動齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析［J］. 振動與沖擊，2013，32(8):105 -113，127.

［7］張金海，劉更，周建星，等，考慮嚙入沖擊作用下減速器的振動 噪聲分析［J］.振動與沖擊，2013，32 (13):118 -122，141.

［8］馮領(lǐng)香，魏建國，王森林，等. 一種可自調(diào)步長的改進(jìn)Newmark 算法［J］. 河北農(nóng)業(yè)大學(xué)報，2004，27 (3):111 -114.

［9］朱才朝，羅召霞，劉明勇，等. 新型定軸擺輪減速傳動分析［J］. 重慶大學(xué)學(xué)報，2010(3):7 -12.

［10］李軍，李潤方，林超，等. 小模數(shù)精密齒輪傳動誤差分析及實驗研究［J］. 機(jī)械，2003，30(7)，15 -17.

［11］韓林山，譚群燕，沈允文，等. 間隙及轉(zhuǎn)矩對2K-V 型傳動裝置傳動精度的影響［J］. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2007，26(8):1080 -1089.