張中凱,杜 蘭,劉 利,何 峰,路 余,周佩元

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南鄭州 450001;2.北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心,北京 100094

GEO廣播星歷參數(shù)設(shè)計(jì)的無奇點(diǎn)根數(shù)法

張中凱1,杜 蘭1,劉 利2,何 峰2,路 余1,周佩元1

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南鄭州 450001;2.北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心,北京 100094

北斗導(dǎo)航星座的GEO廣播星歷格式與MEO和IGSO的格式一致,但是GEO星歷參數(shù)擬合和用戶GEO衛(wèi)星位置計(jì)算均需要引進(jìn)人為設(shè)置的5°傾角旋轉(zhuǎn)。從第二類無奇點(diǎn)根數(shù)出發(fā),對(duì)標(biāo)準(zhǔn)廣播星歷的軌道及其攝動(dòng)表征進(jìn)行改造,提出一套專用于GEO衛(wèi)星的16參數(shù)星歷表示法,并推導(dǎo)了相應(yīng)的用戶衛(wèi)星位置計(jì)算公式。擬合試驗(yàn)表明,在非地影期間,2 h和3 h星歷擬合的用戶距離誤差(URE)的均方根分別優(yōu)于0.05 m和0.1 m。

GEO衛(wèi)星;廣播星歷參數(shù);無奇點(diǎn)根數(shù);攝動(dòng);用戶距離誤差

1 引 言

為了提供導(dǎo)航、定位和定時(shí)服務(wù),精密的預(yù)報(bào)軌道和星鐘鐘差序列需要參數(shù)化即擬合出星歷參數(shù)和鐘參數(shù)并形成導(dǎo)航電文發(fā)播給用戶[1-3]。在目前的幾種GNSS星座中,北斗二期采用了GEO/IGSO/MEO的混合星座,因此從方便用戶的角度出發(fā),應(yīng)盡量發(fā)播一致的星歷和星鐘格式。由于鐘參數(shù)統(tǒng)一采用低階多項(xiàng)式模型,更多的設(shè)計(jì)工作則集中在星歷模型上[4-5]。

北斗采用類GPS的廣播星歷形式。這種星歷能夠描述3類軌道的短期變化特性,但是GEO衛(wèi)星的直接星歷擬合存在奇點(diǎn)問題,影響擬合精度甚至導(dǎo)致擬合失敗[6]。目前GEO衛(wèi)星的星歷擬合采用人為旋轉(zhuǎn)5°傾角的策略,即擬合得到的是接近5°傾角的IGSO衛(wèi)星結(jié)果,一旦擬合出這種“偽GEO”的星歷參數(shù)并發(fā)播給用戶,用戶計(jì)算衛(wèi)星位置時(shí)還需要反向旋轉(zhuǎn)5°傾角以恢復(fù)GEO軌道的正確定向[7-10]。因此從完整流程來看, GEO的星歷模型與IGSO和MEO并非完全一致。此外,研究表明,這種偽GEO的星歷擬合仍具有一定程度的奇點(diǎn)問題,且擬合時(shí)段不能少于4小時(shí)[11]。

針對(duì)小偏心率和小傾角的GEO衛(wèi)星軌道,通常有兩種專用的軌道根數(shù)描述方法,即同步根數(shù)和第二類無奇點(diǎn)根數(shù)[12-13]。文獻(xiàn)[14]給出了基于同步根數(shù)的GEO衛(wèi)星星歷擬合參數(shù)設(shè)計(jì),由于參數(shù)設(shè)計(jì)中顧及了衛(wèi)星星下點(diǎn)東西漂移律的影響,擬合算法的穩(wěn)定性和擬合精度均能夠得到大幅提高。但是,同步根數(shù)通常描述GEO在地固系下的運(yùn)動(dòng)特性,且設(shè)計(jì)的17參數(shù)星歷與現(xiàn)行的類GPS的廣播星歷個(gè)數(shù)不同,因而影響了其通用性。

本文提出一組針對(duì)GEO衛(wèi)星的16參數(shù)廣播星歷。首先,星歷參數(shù)基于第二類無奇點(diǎn)根數(shù),能夠同時(shí)消除小偏心率和小傾角引起的數(shù)學(xué)奇異;其次,參數(shù)擬合的數(shù)據(jù)時(shí)段可縮短至2 h,從而減弱星下點(diǎn)東西漂移對(duì)半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)期累積影響。采用定點(diǎn)在84°E附近的某GEO衛(wèi)星的模擬星歷數(shù)據(jù),通過星歷擬合和衛(wèi)星位置計(jì)算驗(yàn)證了新的廣播星歷模型,分析了包含部分地影期的10 d共計(jì)258組星歷參數(shù)。非地影期的擬合結(jié)果表明, 2 h的擬合用戶距離誤差(URE)精度優(yōu)于0.05 m。

2 新的GEO廣播星歷

衛(wèi)星在慣性系下的軌道運(yùn)動(dòng)描述常采用3種軌道根數(shù),即開普勒根數(shù)、第一和第二類無奇點(diǎn)根數(shù)[15]。其中,第二類無奇點(diǎn)根數(shù)是專用于描述小偏心率和小傾角軌道及其軌道變化的無奇點(diǎn)根數(shù),并已長(zhǎng)期用于GEO衛(wèi)星的軌道描述,如計(jì)算GEO定點(diǎn)機(jī)動(dòng)的控制參數(shù)等[12]。因此,第二類無奇點(diǎn)根數(shù)同樣適用于GEO衛(wèi)星廣播星歷的參數(shù)設(shè)計(jì)。

2.1 第二類無奇點(diǎn)根數(shù)

經(jīng)典開普勒根數(shù)(a,e,i,Ω,ω,M)分別表示軌道半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近點(diǎn)角距和平近點(diǎn)角。

令第二類無奇點(diǎn)根數(shù)表示為(a,e,i,M?),其與經(jīng)典開普勒根數(shù)的關(guān)系為[15]

與3類近點(diǎn)角類似,可分別定義與平經(jīng)度M?相對(duì)應(yīng)的真經(jīng)度f?和偏經(jīng)度E?

式中,f和E分別為真近點(diǎn)角和偏近點(diǎn)角。

2.2 星歷參數(shù)設(shè)計(jì)

在各種攝動(dòng)力作用下,軌道的變化對(duì)應(yīng)了軌道根數(shù)的攝動(dòng)。通常軌道根數(shù)的變化依據(jù)時(shí)變特性分為3類:長(zhǎng)期項(xiàng)、長(zhǎng)周期項(xiàng)和短周期項(xiàng)。經(jīng)典的軌道分析能夠給出軌道根數(shù)的一階解析解和部分二階解析解[15],但是其公式過于復(fù)雜,并不適用于描述數(shù)小時(shí)內(nèi)的軌道變化。

GPS標(biāo)準(zhǔn)星歷利用16個(gè)參數(shù)對(duì)短期軌道變化進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)(見表1)。針對(duì)數(shù)小時(shí)內(nèi)軌道根數(shù)的3類變化,其處理方法為:①將長(zhǎng)期項(xiàng)和長(zhǎng)周期項(xiàng)合并為長(zhǎng)期項(xiàng),且保留為根數(shù)的變率形式;②將根數(shù)的各種短周期項(xiàng)影響分別投影到徑向、沿跡向和軌道外法向上(RTN),且保留綜合后的主項(xiàng)。如此,既可以用有限數(shù)量的參數(shù)表征主要的軌道變化,同時(shí)用戶仍能夠采用簡(jiǎn)便的解析公式計(jì)算衛(wèi)星的受攝位置向量[16]。

在設(shè)計(jì)GEO星歷參數(shù)時(shí),針對(duì)第二類無奇點(diǎn)根數(shù)表示法進(jìn)行相應(yīng)修改,可以得到16參數(shù)的GEO廣播星歷表示法,即

式中,toe為星歷參考時(shí)刻;為軌道半長(zhǎng)軸的均方根;ex、ey為偏心率向量的二維分量;ix0、iy0為傾角向量的二維分量;M為平經(jīng)度;Δn為平均角速度與計(jì)算值的偏差;ixdot、iydot為傾角向量的二維變率;Crc、Crs為地心距的短周期改正項(xiàng)系數(shù);Cλc、Cλs為真經(jīng)度的短周期改正項(xiàng)系數(shù);CNc、CNs為法向距離的短周期改正項(xiàng)系數(shù)。

表1列出了新設(shè)計(jì)的GEO星歷與現(xiàn)用的類GPS標(biāo)準(zhǔn)星歷的對(duì)比關(guān)系。兩者最大的區(qū)別即為軌道根數(shù)的選取不同,前者采用第二類無奇點(diǎn)根數(shù),后者為開普勒根數(shù)。因此,在設(shè)計(jì)參數(shù)中:①軌道面在地心慣性系(ECI)下的空間定向及其變率,取代常規(guī)的傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)i(,Ω)及其變率,采用傾角向量i＝i[xiy]T及其變率表征;②沿跡方向的軌道運(yùn)動(dòng)快變量,則是取代了幅角u＝ω＋f,而采用真經(jīng)度f?＝Ω＋u表征。

表1 兩種GEO星歷的對(duì)比Tab.1 Comparisons between the two types of GEO ephemerides

2.3 GEO衛(wèi)星的星歷計(jì)算

在軌道上新建一個(gè)擬春分點(diǎn),使得擬春分點(diǎn)至升交點(diǎn)的角距為Ω。定義軌道坐標(biāo)系O—PQW:原點(diǎn)O為地球質(zhì)心,OP軸指向擬春分點(diǎn)方向,OW軸沿軌道角動(dòng)量方向,OQ軸由右手法則確定。

令θg0為歷元時(shí)刻toe的Greenwich平恒星時(shí),由歷元時(shí)刻的星歷參數(shù)可以計(jì)算t時(shí)刻衛(wèi)星的地心地固坐標(biāo)系(ECEF)下的位置向量。其流程如下:

(1)計(jì)算半長(zhǎng)軸和平均運(yùn)動(dòng)速度

式中,μ是地球引力常數(shù)。

(2)計(jì)算t時(shí)刻的平經(jīng)度、偏經(jīng)度和真經(jīng)度

3 擬合試驗(yàn)和分析

令GEO衛(wèi)星定點(diǎn)在84°E附近,生成星歷數(shù)據(jù)的力模型為10階次地球引力場(chǎng)、日月引力攝動(dòng)、光壓、地球固體潮和海潮,采用IERS發(fā)布的地球定向參數(shù)。由于GEO衛(wèi)星有頻繁的定點(diǎn)機(jī)動(dòng)控制,這里僅給出10 d的地固系位置向量序列。此外,GEO衛(wèi)星每年有2次地影季,分別在春分日和秋分日附近,每次持續(xù)46 d[13];為了同時(shí)分析GEO衛(wèi)星在地影季的星歷擬合,仿真從2012-04-06-12:00開始,衛(wèi)星在前7 d處于地影季,期間每天有約1 h弧段位于地影內(nèi)(稱為地影期)。當(dāng)擬合時(shí)段同時(shí)包含有進(jìn)出地影數(shù)據(jù)時(shí),由于光壓的間斷性影響了軌道數(shù)據(jù)的平滑性,會(huì)降低擬合效果。

為適應(yīng)每小時(shí)的星歷更新模式,將10 d數(shù)據(jù)逐小時(shí)分割為258組,每組分別包含2/3/4 h的時(shí)段,時(shí)段內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔300 s。星歷參數(shù)解算采用最小二乘擬合,當(dāng)前后兩次擬合的殘差均方差(RMS)的相對(duì)偏差小于0.001時(shí),迭代結(jié)束[17-18]。

此時(shí),第一組擬合參數(shù)的初值可全部取為0,后續(xù)組的參數(shù)初值則分別采用其前一組的擬合結(jié)果。這里,星歷數(shù)據(jù)將作為軌道位置真值,用于評(píng)定擬合星歷和擬合URE的精度。

2/3/4 h的星歷擬合的成功率均為100%,除首組擬合迭代次數(shù)為5,其余組均穩(wěn)定為4次迭代。

3.1 軌道擬合精度

令衛(wèi)星徑向、沿跡和外法向位置分量誤差分別為ΔR、ΔT和ΔN,圖1給出了3種擬合時(shí)段條件下擬合殘差的RMS統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

圖1 擬合時(shí)長(zhǎng)對(duì)擬合殘差RMS的影響Fig.1 RMS of fit residuals vs.the length of fit arcs

(1)在常規(guī)的非地影期(圖1(a)),N分量的擬合誤差RMS的平均值最小,且?guī)缀醪皇軘M合時(shí)長(zhǎng)影響,保持在毫米級(jí)精度;T和R位置分量的擬合誤差隨擬合時(shí)段的增加快速增大,4 h擬合的分量誤差分別達(dá)到0.7 m和0.2 m,因此,擬合時(shí)段應(yīng)控制在2～3 h為宜。

(2)在特殊的地影期(圖1(b)),三分量的擬合誤差RMS的最大值隨擬合時(shí)段的變化與非地影期較一致。但是,進(jìn)出地影導(dǎo)致光壓間斷,不連續(xù)的力模型影響到星歷數(shù)據(jù)的平滑性,從而引起較大的擬合誤差。3 h擬合的T和R位置分量誤差最大值分別超過0.5 m和0.1 m,此時(shí),擬合時(shí)段應(yīng)進(jìn)一步控制在2 h以內(nèi)。

3.2 擬合參數(shù)的軌道表征

圖2列出了2 h擬合的部分軌道參數(shù)的時(shí)間序列。圖2(a)中的偏心率和軌道傾角由相關(guān)擬合參數(shù)計(jì)算得到。令T為衛(wèi)星軌道周期,其中軌道傾角序列變化平穩(wěn),而偏心率由于沒有設(shè)計(jì)相應(yīng)的半軌道周期T/2的短周期項(xiàng)改正參數(shù),其序列表現(xiàn)出T/2(近12 h)短周期項(xiàng)改正參數(shù),其序列表現(xiàn)出T/2的主周期變化。

圖2(b)分別列出了半長(zhǎng)軸、平均角速度和定點(diǎn)經(jīng)度與其參考值或計(jì)算值的擬合偏差序列。由于半長(zhǎng)軸的T/2主周期項(xiàng)已由向徑方向的短周期參數(shù)吸收,半長(zhǎng)軸偏差Δa時(shí)序表現(xiàn)出T/3(近8 h)的次周期變化[11],且振幅達(dá)到500 m。根據(jù)開普勒第三定律,Δn與Δa具有線性負(fù)相關(guān)性,兩者的時(shí)序變化也呈現(xiàn)出該規(guī)律性。此外,注意到定點(diǎn)經(jīng)度在10 d內(nèi)向西漂移了約0.1°,同時(shí)軌道半長(zhǎng)軸表現(xiàn)了一致的增大趨勢(shì),即軌道逐漸升高。事實(shí)上,在16參數(shù)的星歷設(shè)計(jì)中,半長(zhǎng)軸僅有短周期攝動(dòng)變化,并未考慮其長(zhǎng)期變化[14,19],因此,縮短擬合時(shí)段可以控制半長(zhǎng)軸長(zhǎng)期變化的累積效應(yīng),改善軌道的短期變化表征能力,這也是圖1中2 h擬合優(yōu)于3 h和4 h擬合的主要原因。

圖2(c)給出了二維傾角向量的變率序列。注意到前7 d均有1次跳躍現(xiàn)象,且相隔1 d,這是進(jìn)出地影的數(shù)據(jù)對(duì)相關(guān)時(shí)段擬合結(jié)果的影響。需要指出的是,衛(wèi)星地影導(dǎo)致的光壓間斷,原本應(yīng)該主要影響軌道面內(nèi)的擬合參數(shù)及其變率,但是由于攝動(dòng)參數(shù)個(gè)數(shù)限制,不恰當(dāng)?shù)胤从吃谲壍烂娴目臻g定向元素變率中,這也表明現(xiàn)有的星歷參數(shù)選取仍有改進(jìn)的余地。

3.3 擬合URE精度

URE是計(jì)算星歷和鐘差誤差對(duì)定位影響的一個(gè)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)[1,20]。URE的來源主要是外推的軌道和鐘差誤差,此外還包括星歷參數(shù)擬合和鐘參數(shù)擬合的擬合誤差。這里僅分析星歷參數(shù)擬合的單項(xiàng)影響,故稱為擬合URE。計(jì)算公式為

圖2 2 h擬合得到的部分軌道參數(shù)時(shí)序Fig.2 Time series of some orbital elements from 2 h fit

顯然,徑向擬合誤差ΔR對(duì)URE貢獻(xiàn)最大,其他兩方向分量誤差的影響因子要小得多。為便于比較,對(duì)于同組的2/3/4 h擬合結(jié)果,URE的統(tǒng)計(jì)計(jì)算均采用時(shí)段中間2 h,即同一參考?xì)v元前后各1 h的擬合殘差。

表2為3種擬合時(shí)段條件下擬合URE的 RMS統(tǒng)計(jì)。顯然,擬合時(shí)段越短,擬合URE精度越高;2/3/4 h擬合URE的RMS均值分別優(yōu)于1 cm、5 cm和0.1 m。此外,包含進(jìn)/出地影時(shí)段的擬合URE的精度有明顯降低。與非地影期的最大RMS值相比較,地影期2/3/4 h擬合的相應(yīng)結(jié)果分別放大約4倍、2倍和1.5倍。

表2 擬合URE的RMS統(tǒng)計(jì)Tab.2 RMSstatistics of the fit URE m

地影季期間,GEO衛(wèi)星每天進(jìn)出地影的時(shí)刻變化不大,且在影持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)可達(dá)72 min[19],因此有可能影響到相鄰的1～3組擬合時(shí)段。圖3是2 h擬合URE的RMS時(shí)序。在擬合結(jié)果的前7 d,一致出現(xiàn)了1～2次較大擬合偏差,且相隔1 d。因此,對(duì)于地影期星歷擬合,應(yīng)適當(dāng)減小擬合時(shí)長(zhǎng)以滿足精度需求。

圖3 2 h擬合URE的RMS時(shí)序Fig.3 RMS time series of the fitting URE of 2 h fit

4 結(jié) 論

現(xiàn)有的GEO衛(wèi)星廣播星歷,保持了與MEO/ IGSO一致的發(fā)播參數(shù)格式,但是其星歷參數(shù)的擬合算法和用戶衛(wèi)星位置計(jì)算,均需要旋轉(zhuǎn)一定的軌道傾角。

針對(duì)GEO軌道特性,提出基于第二類無奇點(diǎn)根數(shù)的16參數(shù)GEO廣播星歷及用戶衛(wèi)星位置計(jì)算方法。與現(xiàn)有星歷模型相比,參數(shù)個(gè)數(shù)相同,衛(wèi)星的ECEF位置向量計(jì)算量相當(dāng),但是具有無奇點(diǎn)和擬合精度高的優(yōu)點(diǎn)。此外,擬合初值的設(shè)置簡(jiǎn)單,擬合算法與用戶算法均無需引入軌道傾角的人為旋轉(zhuǎn)。

擬合試驗(yàn)結(jié)果表明,新的16參數(shù)設(shè)計(jì)更適合描述2 h內(nèi)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在非地影期間,2 h和3 h星歷擬合的擬合URE精度分別優(yōu)于0.05 m和0.1 m。此外,為降低跨地影數(shù)據(jù)的影響,也應(yīng)適當(dāng)縮短擬合時(shí)段。

為進(jìn)一步提高星歷擬合精度,并且與GPS的增強(qiáng)型18參數(shù)廣播星歷相匹配,也已設(shè)計(jì)了配套的基于第二類無奇點(diǎn)根數(shù)的18參數(shù)GEO廣播星歷及用戶衛(wèi)星位置計(jì)算方法將另文討論。

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(責(zé)任編輯:叢樹平)

Parameter Design of GEO Broadcast Ephemeris Based on the Nonsingular Orbital Elements

ZHANG Zhongkai1,DU Lan1,LIU Li2,HE Feng2,LU Yu1,ZHOU Peiyuan1
1.College of Navigation&Aerospace Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou 450001,China; 2.Beijing Global Information Application and Development Center,Beijing 100094,China

The currently used broadcast ephemerides of GEOs are same with those of MEOs and IGSOs in the BeiDou navigation constellation.However,a trade-off strategy,i.e.an orbital inclination of 5°rotation, is needed in the fitting algorithm to solve the ephemeris parameters as well as the user satellite position computation for GEOs.Based on the standard broadcast ephemerides,the representations of both the orbit and its perturbation were revised according to the second class of nonsingular orbital elements.A 16-parameter broadcast ephemeris was presented specifically for GEOs.The user satellite position computation formulas were derived correspondingly.Fit simulations show that the root of mean squares(RMS)of user range error(URE)with 2 h and 3 h data set are better than 0.05 m and 0.1 m,respectively.

GEO satellites;broadcast ephemeris parameters;nonsingular orbital elements;perturbation; user range error(URE)

ZHANG Zhongkai(1989—),male,postgraduate,majors in orbital dynamics and satellite navigation.E-mail:zzk.caesar＠gmail.com

DU Lan

P228

A

1001-1595(2014)05-0452-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(41174025;41174026);上海市空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(0901);中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(2012PNTT07)

2013-09-08

張中凱(1989—),男,碩士生,研究方向?yàn)檐壍懒W(xué)與衛(wèi)星導(dǎo)航。

杜蘭

E-mail:lan.du09＠gmail.com

ZHANG Zhongkai,DU Lan,LIU Li,et al.Parameter Design of GEO Broadcast Ephemeris Based on the Nonsingular Orbital Elements[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):452-457.(張中凱,杜蘭,劉利,等.GEO廣播星歷參數(shù)設(shè)計(jì)的無奇點(diǎn)根數(shù)法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(5):452-457.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0076

修回日期:2013-12-09