吳江飛,雷 輝

1.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,河南鄭州 450052;2.中國科學(xué)院國家授時中心,陜西西安 710600

星載GPS衛(wèi)星定軌的UKF-EKF算法

吳江飛1,雷 輝2

1.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,河南鄭州 450052;2.中國科學(xué)院國家授時中心,陜西西安 710600

針對無味Kalman濾波(UKF)在星載GPS衛(wèi)星定軌應(yīng)用中存在計算效率和估計精度之間如何平衡的問題,提出一種將無味Kalman濾波和擴展Kalman濾波(EKF)相結(jié)合的算法。該算法對標準的UKF算法作了兩個方面的改進,一方面改進采樣策略,以最小偏度單形采樣策略代替對稱采樣策略;另一方面改進算法結(jié)構(gòu),以UKF和EKF融合算法代替單純的UKF算法,系統(tǒng)的強非線性部分采用UKF來處理,弱非線性部分采用EKF來處理。算例結(jié)果表明,該算法估計精度與UKF相當,但計算效率提高了30%左右。

擴展Kalman濾波;無味Kalman濾波;采樣策略;衛(wèi)星定軌;算法

1 引 言

控制衛(wèi)星定軌中非線性模型線性化誤差影響一直是衛(wèi)星定軌領(lǐng)域的研究熱點之一。擴展Kalman濾波(extended Kalman filter,EKF)是其中較為常用的一種方法[1-2]。非線性衛(wèi)星動力學(xué)模型的線性化帶來的誤差也可以通過觀測信息進行補償,即采用自適應(yīng)Kalman濾波方法[3-5]。通過觀測信息與動力學(xué)模型信息比較得到的差值來控制動力學(xué)模型的影響,于是產(chǎn)生了自適應(yīng)濾波定軌技術(shù)[6]。

近年來,無味Kalman濾波(unscented Kalman filter,UKF)[7]作為一種非線性濾波新方法,引起了廣泛關(guān)注。UKF在衛(wèi)星定軌問題中已逐漸得到了應(yīng)用,并顯示了其在處理強非線性系統(tǒng)方面的優(yōu)越性[8-9]。UKF算法的估計精度和計算效率隨采樣策略的不同而有所差別,這是因為采樣策略不同,所需的采樣點數(shù)也會不一樣。一般采樣點數(shù)越多,估計精度越高,但相應(yīng)的計算效率也越低。因此,如何在估計精度和計算效率之間找到一種平衡,或者在保證估計精度不明顯降低的情況下,盡量提高算法的計算效率,這是應(yīng)用UKF的關(guān)鍵技術(shù)之一[10-11]。

在星載GPS衛(wèi)星定軌中,通常以衛(wèi)星的三維位置和速度為軌道參數(shù),衛(wèi)星運動的狀態(tài)方程顯然是強非線性的;衛(wèi)星運動的觀測方程是GPS距離觀測方程,其線性化誤差很小,與前者相比,觀測方程無疑是弱非線性的。

在綜合考慮估計精度和計算效率的情況下,本文提出一種將UKF和EKF相結(jié)合的星載GPS衛(wèi)星定軌新算法。該算法充分考慮了星載GPS衛(wèi)星定軌模型結(jié)構(gòu)特點,一方面利用UKF來處理系統(tǒng)的強非線性部分,以保證較高的估計精度,同時改進了其采樣策略,通過減少采樣點數(shù)、減少采樣次數(shù)來提高其計算效率;另一方面利用EKF來處理系統(tǒng)的弱非線性部分,即在保證估計精度不明顯降低的同時,盡量進一步提高系統(tǒng)的計算效率。

2 星載GPS衛(wèi)星定軌算法

假設(shè)衛(wèi)星運動系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別為如下離散的非線性方程

式中,xk、uk、εk和Qk分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量、輸入控制向量、系統(tǒng)動態(tài)噪聲向量及其協(xié)方差陣(見式(12));yk、ηk和Rk分別為觀測向量、觀測噪聲向量及其協(xié)方差陣(見式(14))。系統(tǒng)狀態(tài)向量xk的維數(shù)為n,觀測向量yk的維數(shù)為m,εk與ηk線性無關(guān)。

EKF是至今為止應(yīng)用最為廣泛的一種非線性濾波算法,也是衛(wèi)星定軌領(lǐng)域的一種經(jīng)典算法。對于衛(wèi)星定軌而言,有關(guān)文獻已經(jīng)驗證了UKF算法的估計精度優(yōu)于EKF算法,但計算效率低于EKF算法[8,12-16]。

如何設(shè)計一種融合算法,既能利用經(jīng)典EKF算法的高效性,又能倚重UKF算法的高精度,這是本文研究的出發(fā)點。

2.1 改進的UKF算法

采樣策略是UKF算法的核心,所以要改進UKF算法,提高UKF算法的計算效率,并保持較高的估計精度,必須先從算法的采樣策略進行考慮。

UKF算法的計算效率與采樣點數(shù)成正比。常用的對稱采樣策略,在狀態(tài)向量不擴維的情況下,采樣點個數(shù)為2n＋1,其中n為狀態(tài)向量的維數(shù)。對于UKF算法而言,采樣點數(shù)最少的方案是單形采樣策略。所謂單形采樣策略,是指采樣點能夠構(gòu)成一個單形,如二維空間的單形是三角形,三維空間的單形是四面體,等等。因此,對于n維空間情形,至少需要n＋1個采樣點才能構(gòu)成一個單形[17]。由于隨機變量x的均值所包含的分布信息最多,所以常把x的均值也作為一個采樣點,稱為中心點,故包含中心點的單形采樣點個數(shù)為n＋2。如果罰函數(shù)要求偏度最小,就可以得到最小偏度單形采樣策略,該采樣策略能在匹配前兩階矩的前提下使得3階矩(即偏度)最小,確保了對于任意分布達到2階截斷精度,對于高斯分布可達到3階截斷精度[18]。因此,采用最小偏度單形采樣策略,最有利于提高UKF算法的計算效率,并能保持比較高的估計精度。

值得注意的是,最小偏度單形采樣策略中采樣點非中心對稱,并隨著維數(shù)的增加,采樣點至中心點的距離也會隨之增大,產(chǎn)生采樣的非局部效應(yīng),而且還會導(dǎo)致高階項的誤差增大[17]。為降低這類影響,文獻[17]提出了一種比例UT變換(unscented transformation)方法,即對UT變換中的采樣策略進行比例修正,通過調(diào)整參數(shù)α的值來解決非局部效應(yīng)和高階項誤差等問題,并通過參數(shù)α和β來保證預(yù)測協(xié)方差矩陣的半正定性[17]。

將比例修正引入到最小偏度單形采樣策略的UKF算法中,便得到了改進的UKF算法。限于篇幅,這里不再給出改進的UKF算法的具體公式,可參考文獻[10—11,17—18]。

2.2 UKF-EKF算法

星載GPS衛(wèi)星運動的動力學(xué)模型,復(fù)雜且強非線性。若單純采用EKF算法,精度有時難以保證,甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散;若單純采用UKF算法,計算效率有時不能滿足任務(wù)要求。為了在保證精度要求的前提下,進一步提高算法的計算效率,筆者在上述改進的UKF算法的基礎(chǔ)上,將UKF算法和EKF算法相融合,建立了UKF-EKF算法。

UKF-EKF算法,其基本思想是,對星載GPS衛(wèi)星運動的狀態(tài)方程部分,即動力學(xué)模型部分,由于現(xiàn)在星載GPS衛(wèi)星定軌大多選擇三維位置和速度為軌道參數(shù),所以這部分是強非線性的,采用改進的UKF算法;對星載GPS衛(wèi)星運動的觀測方程部分,由于GPS距離觀測方程的線性化誤差很小,這部分相對來說是弱非線性的,采用高效的EKF算法,兩者融合統(tǒng)一,可以達到比較好的濾波效果。

根據(jù)上述基本思想,新設(shè)計構(gòu)造的UKFEKF算法如下:

(1)狀態(tài)初始化

(2)計算采樣點集及相應(yīng)權(quán)值

采樣點初始化向量(j＝1(對應(yīng)狀態(tài)為1維))

采樣點擴展向量(j＝2,3,…,n時(對應(yīng)狀態(tài)為j維))

UKF-EKF算法與上述改進的UKF算法相比,前兩部分(即狀態(tài)初始化和采樣點集及相應(yīng)權(quán)值的計算)完全相同;第3部分時間更新,UKF算法進行了第2次重新采樣,以計算觀測值預(yù)報值,而UKF-EKF算法沒有第2次重新采樣,直接通過觀測方程來計算觀測值預(yù)報值,這樣設(shè)計也是為了提高UKF-EKF算法的計算效率;第4部分觀測更新,形式上看,UKF-EKF算法與UKF算法非常類似,只是Pyy和Pxy計算式不同,但實質(zhì)上,UKF-EKF算法的觀測更新部分采用的是EKF算法的相應(yīng)算式。

3 算例分析

為了對比分析上述幾種星載GPS衛(wèi)星定軌算法的性能,本文選用CHAMP衛(wèi)星于2003年064年積日10:00—11:30時段內(nèi)(約一個軌道周期)所采集的GPS觀測數(shù)據(jù)進行軌道解算處理。GPS觀測數(shù)據(jù),采用的是雙頻相位消電離層線性組合的非差觀測值。

對應(yīng)于EKF算法、改進的UKF算法和本文提出的UKF-EKF算法,采用了3種解算方案逐點估計衛(wèi)星軌道狀態(tài),分別是:EKF方案、UKF方案、UKF-EKF方案。其中在UKF方案、UKF-EKF方案中,根據(jù)演算情況,比例因子α和參數(shù)β取值分別為α＝0.000 5、β＝2。為了單純地比較各種方案的估計精度和計算效率,對GPS觀測數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)一的數(shù)據(jù)預(yù)處理,所以沒在各種方案中再嵌入抗差處理、自適應(yīng)處理等功能模塊,這樣的比較排除了附加的影響,應(yīng)更具有說服力。

這里以德國GFZ提供的CHAMP衛(wèi)星事后處理精密科學(xué)軌道作為參考軌道。3種方案的定軌結(jié)果分別與參考軌道的相應(yīng)量進行互差對比,情況如圖1—圖6所示,相應(yīng)的RMS(誤差的均方根)[19]如表1所示。

圖1 EKF方案的位置誤差Fig.1 Position errors of EKF strategy

圖2 EKF方案的速度誤差Fig.2 Velocity errors of EKF strategy

圖3 UKF方案的位置誤差Fig.3 Position errors of UKF strategy

圖4 UKF方案的速度誤差Fig.4 Velocity errors of UKF strategy

圖5 UKF-EKF方案的位置誤差Fig.5 Position errors of UKF-EKF strategy

圖6 UKF-EKF方案的速度誤差Fig.6 Velocity errors of UKF-EKF strategy

表1 3種方案定軌結(jié)果的RMSTab.1 RMS of orbit determination results based on three strategies

圖1、圖2為EKF方案定軌結(jié)果與參考軌道的對比情況。可以看出,EKF方案定軌結(jié)果的誤差偏大,這是由于EKF方案在遞推濾波的過程中,將系統(tǒng)強非線性的狀態(tài)方程和略非線性的觀測方程均進行了線性化處理,線性化誤差的影響較大,從而導(dǎo)致定軌結(jié)果的誤差相對偏大。

圖3、圖4為UKF方案定軌結(jié)果與參考軌道的對比情況。與圖1、圖2相比,圖3、圖4的誤差幅度明顯變小,表明UKF方案比EKF方案定軌結(jié)果的誤差要明顯小一些,這是因為UKF方案在遞推濾波的過程中,沒有將系統(tǒng)非線性的狀態(tài)方程和觀測方程進行線性化處理,而是采用分布逼近的思想,來遞推求解下一歷元的均值和協(xié)方差陣,從而不受線性化誤差的影響,所以結(jié)果的誤差也較小。

圖5、圖6為UKF-EKF方案定軌結(jié)果與參考軌道的對比情況。與圖1、圖2相比,圖5、圖6的誤差幅度也明顯較小;與圖3、圖4相比,圖5、圖6的誤差幅度非常接近前者,對比表明UKFEKF方案比EKF方案定軌結(jié)果的誤差要明顯小一些,與UKF方案定軌結(jié)果的誤差比較接近,這是因為UKF-EKF方案在遞推濾波的過程中,系統(tǒng)強非線性的狀態(tài)方程沒作線性化處理,以確保濾波的精度;同時系統(tǒng)弱非線性的觀測方程進行線性化處理,濾波的精度稍有降低,從圖示情況看,UKF-EKF方案定軌結(jié)果的精度明顯優(yōu)于EKF方案,稍弱于但很接近于UKF方案。

表1給出了3種方案定軌結(jié)果的RMS統(tǒng)計結(jié)果?？梢钥闯?UKF-EKF方案定軌結(jié)果的位置RMS(0.089 2 m、0.069 9 m、0.100 8 m)分別明顯小于EKF方案的位置RMS(0.128 5 m、0.098 3 m、0.132 3 m),但與UKF方案的位置RMS(0.083 4 m、0.063 5 m、0.094 0 m)相差不大,可以說基本相當;3種方案的速度RMS對比情況與位置RMS對比情況類似。所以,表1給出的統(tǒng)計結(jié)果與圖1—圖6對比分析的結(jié)果是一致的。

值得說明的是,雖然UKF方案、UKF-EKF方案的位置RMS、速度RMS分別相差不大,基本相當,但UKF-EKF方案的相應(yīng)量還是稍大一點,這是符合算法設(shè)計預(yù)期的,因為UKF-EKF算法減少了一次采樣,觀測更新部分也進行了簡化,這正是造成兩種方案差異的主要原因,統(tǒng)計結(jié)果也正好反映了差異的大小。

計算效率是3種方案對比的另一個重要方面。在本算例中,對3種方案的計算效率進行了相應(yīng)的統(tǒng)計,基本情況是,EKF方案明顯高于UKF方案和UKF-EKF方案,UKF-EKF方案也要高于UKF方案。根據(jù)計算條件或硬件的不同,3種方案計算的具體耗時量會有所不同,但耗時量間的數(shù)量關(guān)系大體不變。統(tǒng)計的結(jié)果是, UKF方案耗時約為EKF方案耗時的3倍左右, UKF-EKF方案耗時約為UKF方案耗時的70%左右。計算效率統(tǒng)計情況表明,UKF-EKF方案由于減省了采樣次數(shù)、改進了系統(tǒng)弱非線性部分的處理策略,可比UKF方案提高約30%的計算效率。

4 結(jié)束語

EKF算法是比較經(jīng)典的衛(wèi)星定軌算法,雖然得到了廣泛應(yīng)用,但它仍具有一定的理論局限性。針對EKF算法的缺陷,許多學(xué)者提出了一些改進算法,如自適應(yīng)抗差濾波算法、UKF算法等。UKF算法雖然比EKF算法的估計精度要高,但耗時較多,計算效率較低,這在一定程度上制約了UKF算法的廣泛應(yīng)用。

本文提出的UKF-EKF算法,就是對UKF算法的一種改進與拓展。針對星載GPS衛(wèi)星定軌的特點,UKF-EKF算法將UKF算法和EKF算法相結(jié)合,系統(tǒng)的強非線性部分采用UKF處理,弱非線性部分采用EKF處理,實際算例表明, UKF-EKF算法的估計精度與UKF算法基本相當,但計算效率提高了約30%,這對于某些實時或準實時應(yīng)用而言,還是非常有效的。

隨著衛(wèi)星應(yīng)用對衛(wèi)星軌道的精度和時效性的不斷提高,對衛(wèi)觀測手段也越來越豐富和多樣化,數(shù)據(jù)處理方法也不再固守單一模式,如何針對系統(tǒng)模型的特點,設(shè)計更為有效的滿足需求的算法,將是未來衛(wèi)星定軌算法的發(fā)展趨勢。

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(責任編輯:叢樹平)

Space-borne GPS Satellite Orbit Determination Algorithm Based on UKF-EKF

WU Jiangfei1,LEI Hui2
1.Institute of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China;2.National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences,Xi’an 710600,China

According to the problem of how to balance between computation efficiency and estimation accuracy of UKF in space-borne GPS satellite orbit determination applications,this paper puts forward a new algorithm by combining UKF and EKF.The algorithm has two improvements compared with the standard UKF algorithm.One is the improvement of the UKF sampling strategy,in which the symmetric sampling strategy is replaced by the scaled minimal skew simplex sampling strategy.The other one is the improvement of the UKF algorithm structure,that the simple UKF algorithm structure is replaced by the UKFEKF fusion algorithm structure that the strong nonlinear part of the system is processed by UKF,and the weak nonlinear part of the system is processed by EKF.Numerical results show that the estimation accuracy of the new algorithm is similar with that of UKF,while the computation efficiency is effectively increased about 30%.

extended Kalman filter;unscented Kalman filter;sampling strategy;satellite orbit determination;algorithm

P228

A

1001-1595(2014)05-0446-06

國家自然科學(xué)基金(41174006);中國博士后科學(xué)基金(201003772;20100481458)

2012-12-21

吳江飛(1972—),男,博士,副教授,研究方向為空間飛行器精密定軌及其應(yīng)用、GPS數(shù)據(jù)處理等。First author:WU Jiangfei(1972—),male,PhD,associate professor,majors in precise orbit determination of spacecraft and its application and GPS data processing, etc.

E-mail:wjf2002＠163.com

WU Jiangfei,LEI Hui.Space-borne GPS Satellite Orbit Determination Algorithm Based on UKF-EKF[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):446-451.(吳江飛,雷輝.星載GPS衛(wèi)星定軌的UKF-EKF算法[J].測繪學(xué)報,2014,43(5):446-451.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0069

修回日期:2013-07-02