楊元喜,景一帆,曾安敏,1,4

1.地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054;2.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心,北京 100049;3.信息工程大學(xué),河南鄭州 450001;4.西安測繪研究所,陜西西安 710054

自適應(yīng)參數(shù)估計與內(nèi)外部精度的關(guān)系

楊元喜1,2,景一帆3,曾安敏3,1,4

1.地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054;2.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心,北京 100049;3.信息工程大學(xué),河南鄭州 450001;4.西安測繪研究所,陜西西安 710054

隨機模型可以依據(jù)內(nèi)部精度進行自適應(yīng)調(diào)整,也可依據(jù)外部精度或依據(jù)半外部精度進行自適應(yīng)調(diào)整。本文通過分析測量數(shù)據(jù)處理中的自適應(yīng)參數(shù)估計統(tǒng)計量,發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有隨機模型自適應(yīng)估計都與內(nèi)部精度、外部精度或半外部精度有關(guān),進而將相應(yīng)的參數(shù)估計也分為內(nèi)部、外部和半外部自適應(yīng)參數(shù)估計,并對這幾類自適應(yīng)參數(shù)估計的特點也進行了分析。最后利用算例分析這幾類自適應(yīng)估計的主要性質(zhì),指出這幾類自適應(yīng)估計的應(yīng)用前提和存在的問題。

內(nèi)部精度;外部精度;隨機模型;自適應(yīng)參數(shù)估計

1 引 言

大多數(shù)自適應(yīng)參數(shù)估計都基于特定的準(zhǔn)則?；陔S機模型自適應(yīng)的參數(shù)估計大多與誤差度量有關(guān),不同的誤差度量對應(yīng)于不同的自適應(yīng)估計。通?；谟^測方差協(xié)方差的加權(quán)最小二乘估計可以稱為內(nèi)部自適應(yīng)參數(shù)估計,即根據(jù)觀測的內(nèi)部精度自適應(yīng)地調(diào)整觀測對參數(shù)估值的貢獻(xiàn);若基于觀測的外部精度自適應(yīng)調(diào)整觀測的貢獻(xiàn)則可稱為外部精度自適應(yīng)估計;若部分根據(jù)外部信息、部分依賴內(nèi)部精度調(diào)整觀測對參數(shù)估計的貢獻(xiàn),可稱為半外部精度自適應(yīng)參數(shù)估計。

常用的參數(shù)最小二乘估計一般假設(shè)觀測誤差主要為隨機誤差且服從正態(tài)分布,進而基于觀測驗前方差協(xié)方差信息確定觀測信息的權(quán)矩陣,自適應(yīng)地調(diào)整觀測信息對模型參數(shù)解的貢獻(xiàn),使模型參數(shù)估計最佳地適應(yīng)于觀測精度。從隨機模型自適應(yīng)調(diào)整角度,這類估計主要采用內(nèi)部觀測方差協(xié)方差作為觀測權(quán)的統(tǒng)計量,于是,這類參數(shù)估計可以稱為內(nèi)部精度自適應(yīng)參數(shù)估計。相應(yīng)的參數(shù)估計有最小二乘參數(shù)估計、擬合推估(Collocation)[1-2]、Bayes估計[3]、Kalman濾波等。當(dāng)觀測信息的驗前統(tǒng)計信息可靠,觀測誤差服從正態(tài)分布,則參數(shù)最小二乘估計滿足無偏、一致、有效性。但是,當(dāng)觀測驗前統(tǒng)計模型不可靠,則觀測對參數(shù)解的貢獻(xiàn)的分配將不再合理。

為了合理調(diào)整各類觀測量對模型參數(shù)的貢獻(xiàn),在大地測量及統(tǒng)計學(xué)界常采用方差分量估計方法[4-11],自適應(yīng)地調(diào)整不同類型或不同組觀測量之間的權(quán)比。由于方差分量估計的統(tǒng)計量含有本組觀測信息和其他組觀測信息,于是這類自適應(yīng)隨機模型的調(diào)整可以稱為半外部精度自適應(yīng)估計。

為了控制個別異常觀測對模型參數(shù)估計的影響,一般采用抗差估計自適應(yīng)地調(diào)整異常觀測的貢獻(xiàn)[12-14]?？共罟烙嬕话闶抢孟鄳?yīng)觀測的殘差構(gòu)造權(quán)函數(shù),于是也屬于半外部自適應(yīng)參數(shù)估計。

實踐中,實時觀測信息的可靠性一般高于先驗信息,高于模型預(yù)測信息,于是,為了合理平衡實時觀測信息與先驗信息對模型參數(shù)估計的貢獻(xiàn),往往依據(jù)實時觀測信息自適應(yīng)地調(diào)整先驗信息的貢獻(xiàn),這類自適應(yīng)估計有自適應(yīng)Kalman濾波[15-17]、附有條件的自適應(yīng)濾波[18]、自適應(yīng)擬合推估[19-20]和自適應(yīng)序貫平差[21]等。這類自適應(yīng)估計可以稱為外部自適應(yīng)參數(shù)估計。

2 半外部精度自適應(yīng)估計類

半外部精度自適應(yīng)估計類主要指參數(shù)估計過程中自適應(yīng)隨機模型統(tǒng)計量含有本觀測信息。按照這一描述,大多數(shù)抗差估計、方差分量估計均屬于半外部精度自適應(yīng)估計類。

2.1 抗差估計

設(shè)觀測誤差方程為

式中,L為n×1維觀測向量;^X為m×1維模型參數(shù)估值向量;V為n×1維觀測殘差向量;A為n×m維設(shè)計矩陣。再假設(shè)觀測協(xié)方差矩陣為Σ,其對角線元素為σ2i;觀測權(quán)矩陣為P＝σ20Σ－1,參數(shù)抗差估計解為

式中,ˉP為等價權(quán)矩陣,若采用IGGⅢ權(quán)函數(shù),元素為[11,13]

式中,σvi為殘差vi的均方差;k0和k1為控制因子,k0一般取1.0～1.5,k1一般取3.0～8.5。

從等價權(quán)元素可見,觀測量的權(quán)取決于標(biāo)準(zhǔn)化殘差vi/σvi的大小,標(biāo)準(zhǔn)化殘差越大,相應(yīng)觀測量的權(quán)越小。這類觀測等價權(quán)不是完全由觀測內(nèi)部精度決定的,它一方面取決于內(nèi)部精度,即σvi和pi,還取決于觀測殘差vi的大小,或本觀測與觀測總體的偏離程度。由于觀測權(quán)的確定具有自適應(yīng)性,于是這類參數(shù)估計可以稱為半外部精度自適應(yīng)估計。

這類半外部精度自適應(yīng)估計與純內(nèi)部精度自適應(yīng)估計的顯著區(qū)別在于,觀測權(quán)不僅由內(nèi)部方差確定,也由本觀測與其他觀測的離差進行自適應(yīng)調(diào)整。如果觀測內(nèi)部精度很高,則基于內(nèi)部精度自適應(yīng)估計的觀測權(quán)一般較大,但如果某觀測殘差較大,則利用等價權(quán)進行調(diào)整,相應(yīng)觀測的權(quán)將減小,因而該觀測對參數(shù)估計的貢獻(xiàn)也隨之減小。

2.2 方差分量估計

方差分量估計的典型形式是Helmert型估計[11]。假設(shè)有r組觀測L1,L2,…,Lr,相應(yīng)誤差方程為

近似Helmert方差分量估計公式為[6,11,22]

式中,nj為第j組觀測值的個數(shù);Nj為對應(yīng)的法矩陣;N－1為總法矩陣的逆陣。應(yīng)該注意,Nj必須增廣到與N的維數(shù)相同,而且未知參數(shù)的順序也必須相同。

由于上述Helmert類方差分量估計是用來自適應(yīng)調(diào)整各類觀測權(quán)的過渡因子,其中Vj是本組觀測相對于整體參數(shù)估計的殘差向量,而整體參數(shù)估計含有全部觀測向量的信息,當(dāng)然也含有本組部分觀測Lj的貢獻(xiàn),即含有部分外部精度和內(nèi)部精度信息,因此稱其為半外部精度自適應(yīng)估計。

基于方差分量估計的參數(shù)估計與傳統(tǒng)參數(shù)估計的顯著區(qū)別正是在于,觀測向量對參數(shù)解的貢獻(xiàn)不再完全由先驗內(nèi)部精度唯一確定,而是利用本組觀測與整體觀測的偏差重新確定方差分量,并重新調(diào)整本組觀測相對于其他觀測的權(quán)比,從而更合理地平衡各類觀測對參數(shù)估計的貢獻(xiàn)。

當(dāng)然,如果采用條件閉合差求定各類觀測方差分量,再確定相應(yīng)觀測量的權(quán)矩陣[7,23],則該類方差分量估計所對應(yīng)的自適應(yīng)參數(shù)估計類又變成了外部精度自適應(yīng)參數(shù)估計類。因為外部條件閉合差確定的精度屬于外部精度。

3 外部精度自適應(yīng)估計類

外部精度自適應(yīng)估計是指隨機模型的調(diào)整由隨機參量與外部參考信息的離散度確定。典型的外部精度自適應(yīng)估計有自適應(yīng)Kalman濾波[15-16]、自適應(yīng)擬合推估[19-20]等。最簡單的外部精度自適應(yīng)估計是動態(tài)數(shù)據(jù)的序貫平差。

設(shè)tk觀測向量為Lk,相應(yīng)誤差方程為

式中,Ak為nk×m維設(shè)計矩陣,也稱觀測矩陣; Vk為nk×1維觀測殘差向量。

基于內(nèi)部精度自適應(yīng)解即為最小二乘解

基于半外部和外部精度的參數(shù)解均可表示為

若自適應(yīng)因子αk由方差分量確定,則為半外部精度自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子,即

若由外部精度計算自適應(yīng)因子αk,即

同樣,自適應(yīng)擬合推估也采用外部觀測信息調(diào)整事先擬合的協(xié)方差函數(shù)[19-20],使其擬合推估值更接近實際觀測。因為原理與自適應(yīng)濾波相近,這里不再贅述。

4 計算與比較

以一實測GNSS網(wǎng)為例,該網(wǎng)包含9個點,其中1號點為起算點。對這一觀測網(wǎng)進行兩個時段觀測,一個時段采用GPS接收機進行觀測,另一個時段采用BDS接收機進行觀測,每個時段都獲得72個基線向量,全部為非同步觀測。兩個時段的基線解算都具有較高的精度,整體平差后兩組觀測向量的平均殘差都約為0.005 m,原始觀測向量中不含粗差。為說明文中各參數(shù)估計類的平差解算效果,分別應(yīng)用內(nèi)部精度自適應(yīng)參數(shù)估計類中的最小二乘估計,半外部精度自適應(yīng)參數(shù)估計類中的抗差估計和Helmert型方差分量估計,以及外部精度自適應(yīng)估計類中的自適應(yīng)序貫平差進行平差解算。

4.1 最小二乘估計與抗差估計

選用第一時段觀測數(shù)據(jù),隨機選取6個基線向量加入0.2 m或0.3 m的粗差,然后進行整體最小二乘估計和抗差估計。在抗差估計中,選取的等價權(quán)函數(shù)為IGGⅢ。表1列出了加入粗差后最小二乘估計和抗差估計與加入粗差前的最小二乘平差的坐標(biāo)差比較。

表1 最小二乘估計與抗差估計坐標(biāo)差比較Tab.1 Comparison between least squares and robust least squares m

經(jīng)計算,加入粗差后,應(yīng)用抗差估計的驗后單位權(quán)中誤差與最小二乘平差的單位權(quán)中誤差的數(shù)值之比約為1∶7.6。最小二乘平差后參數(shù)平均中誤差為0.018 8 m,應(yīng)用抗差估計后參數(shù)平均中誤差為0.002 4 m。說明基于半外部精度的參數(shù)自適應(yīng)估計一般優(yōu)于基于內(nèi)部精度的參數(shù)自適應(yīng)估計(即最小二乘估計)。

4.2 最小二乘估計與方差分量估計

選用兩時段觀測數(shù)據(jù),形成兩組觀測量。對第2組數(shù)據(jù)進行處理,加入0.02 m的方差使整組精度降低。處理后第1組數(shù)據(jù)與第2組數(shù)據(jù)單獨經(jīng)最小二乘平差得到的單位權(quán)中誤差之比約為1∶3.4。進行整體最小二乘估計和Helmert型方差分量估計,表2列出了分別應(yīng)用最小二乘估計和Helmert型方差分量估計平差后的坐標(biāo)差比較。

表2 最小二乘估計與Helmert型方差分量估計坐標(biāo)差比較Tab.2 Comparison between least squares and variance component estimation m

從計算結(jié)果中可得,第2組數(shù)據(jù)精度降低后,最小二乘平差參數(shù)平均中誤差為0.004 9 m,應(yīng)用Helmert型方差分量估計參數(shù)平均中誤差為0.002 4 m。

4.3 自適應(yīng)序貫平差

以第1組數(shù)據(jù)為先驗信息,第2組數(shù)據(jù)為當(dāng)前觀測信息,模擬一組動態(tài)觀測。分別對第1組和第2組觀測量單獨進行最小二乘平差,第2組的平差結(jié)果精度略高于第1組,第2組與第1組的驗后單位權(quán)中誤差之比約為1∶1.2。利用兩組平差結(jié)果的差值,按照式(10)和式(11)調(diào)整參數(shù)先驗信息的權(quán),再將第2組觀測量加入進行自適應(yīng)序貫平差。表3列出了自適應(yīng)序貫平差結(jié)果的對比情況。

表3 自適應(yīng)序貫平差坐標(biāo)差比較Tab.3 Comparison of adaptive sequential adjustment m

經(jīng)計算,自適應(yīng)序貫平差后的單位權(quán)中誤差與整體最小二乘平差后的單位權(quán)中誤差之比約為1∶1.4;在第1組觀測量中加入粗差后的結(jié)果作為參數(shù)先驗信息,即先驗信息存在異常誤差,再進行自適應(yīng)序貫平差,得到的坐標(biāo)值幾乎沒有變化;在第2組觀測量中加入粗差后,進行自適應(yīng)序貫平差,得到的坐標(biāo)值有明顯變化,存在約0.001 m至0.03 m的偏差,單位權(quán)中誤差增大了約8倍,但進行抗差自適應(yīng)序貫平差后,獲得的結(jié)果與參考結(jié)果在毫米量級上無差異,說明基于外部精度的自適應(yīng)估計具有較好的隨機模型精度識別能力和調(diào)整能力。

5 結(jié) 論

(1)基于內(nèi)部精度參數(shù)估計類,如最小二乘估計,適用于觀測驗前統(tǒng)計模型可靠的情況。若驗前隨機模型存在異常,仍只用內(nèi)部精度來確定觀測信息的權(quán),會造成觀測權(quán)分配不合理,導(dǎo)致平差結(jié)果出現(xiàn)偏差。

(2)基于半外部精度的參數(shù)自適應(yīng)估計,如抗差估計和基于方差分量估計的參數(shù)自適應(yīng)估計,具有較好的調(diào)節(jié)誤差影響的能力,因為觀測量的權(quán)不僅由其方差確定,也由當(dāng)前觀測與其他觀測的偏差進行自適應(yīng)調(diào)整,便于控制部分異常誤差對模型參數(shù)估計的影響。

(3)基于外部精度的自適應(yīng)參數(shù)估計,如自適應(yīng)Kalman濾波、自適應(yīng)序貫平差等,由于隨機量的隨機模型是由隨機量與外部參考信息之差確定的,于是更客觀地反映相應(yīng)觀測的偏差,由此確定隨機模型也更能控制相應(yīng)誤差的影響。

(4)必須指出,如果方差-協(xié)方差分量估計采用條件閉合差進行解算,則基于方差分量估計的自適應(yīng)參數(shù)估計也應(yīng)歸入外部精度自適應(yīng)估計類;如果自適應(yīng)Kalman濾波或自適應(yīng)序貫平差、自適應(yīng)擬合推估等,采用半外部精度統(tǒng)計量,則該類自適應(yīng)估計也變?yōu)榘胪獠孔赃m應(yīng)參數(shù)估計類。

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(責(zé)任編輯:張燕燕)

Adaptive Parameter Estimation and Inner and External Precision

YANG Yuanxi1,2,JING Yifan3,ZENG Anmin3,1,4
1.State Key Laboratory of Geo-information Engineering,Xi’an 710054,China;2.Beijing Institute of Satellite Navigation,Beijing 100049,China;3.Information Engineering University,Zhengzhou 450001,China;4.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

The stochastic model can be adaptively adjusted according to inner precision,external accuracy and semi external accuracy.The statistics correspond to the adaptive estimation developed these years are analyzed respectively at first.It is shown by analysis that the existing adaptive parameter estimators are related to the inner precision,external accuracy and semi external accuracy.Thus the corresponding adaptive estimators are divided into inner precision-based,external accuracy-based and semi external accuracy-based adaptive estimators respectively.The characteristics of the different adaptive estimators are analyzed.Some examples are performed for analyzing their main properties.Finally,the premise of applications and some existed problems are pointed out.

inner precision;external accuracy;stochastic model;adaptive parameter estimation

YANG Yuanxi(1956—),male,academician of Chinese Academy of Sciences,professor,majors in geodetic data processing,integrated navigation,geodetic coordinate system and crustal deformation analysis.

P207

A

1001-1595(2014)05-0441-05

國家自然科學(xué)基金(41374019;41020144004;41004013;41274040);國家863計劃(2009AA121405;2013AA122501)

2013-12-23

楊元喜(1956—),男,中國科學(xué)院院士,教授,主要從事大地測量數(shù)據(jù)處理研究。

YANG Yuanxi,JING Yifan,ZENG Anmin.Adaptive Parameter Estimation and Inner and External Precision[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):441-445.(楊元喜,景一帆,曾安敏.自適應(yīng)參數(shù)估計與內(nèi)外部精度的關(guān)系[J].測繪學(xué)報,2014,43(5): 441-445.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0077

修回日期:2014-03-10