張轉(zhuǎn)周，鮑春梅，代珊妮，吳祥標(biāo)

(1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州遵義 563002; 2.中國(guó)建設(shè)銀行甘肅分行金城支行，蘭州 730070)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)分析

張轉(zhuǎn)周1，鮑春梅2，代珊妮1，吳祥標(biāo)1

(1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州遵義 563002; 2.中國(guó)建設(shè)銀行甘肅分行金城支行，蘭州 730070)

基于齒輪嚙合原理及隨機(jī)振動(dòng)理論，在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質(zhì)量法，建立直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)4自由度的簡(jiǎn)化模型。在該模型中，由于參數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)和隨機(jī)激勵(lì)的存在，使得確定性的系統(tǒng)變?yōu)殡S機(jī)系統(tǒng)。針對(duì)系統(tǒng)中隨機(jī)參數(shù)作用的特點(diǎn)，建立新的齒輪系統(tǒng)非線性模型，研究隨機(jī)參數(shù)下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)和隨機(jī)外激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)，并結(jié)合MATLAB軟件對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行了仿真分析。

齒輪系統(tǒng);非線性模型;隨機(jī)激勵(lì);時(shí)變嚙合剛度;齒側(cè)間隙;阻尼比

作為一種最常用的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)直接影響機(jī)械系統(tǒng)的性能和工作可靠性。而在該系統(tǒng)的加工和裝配過程中，由于受到各種隨機(jī)因素的影響，嚙合剛度、阻尼等參數(shù)具有隨機(jī)性，使得確定性的系統(tǒng)演變?yōu)殡S機(jī)系統(tǒng)［1-6］。同時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)的振動(dòng)特性不能用確定的時(shí)間函數(shù)表達(dá)，只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法研究其規(guī)律［7-9］。對(duì)此，本文主要考慮齒輪系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度、阻尼比、齒側(cè)間隙等參數(shù)隨機(jī)變動(dòng)時(shí)，齒輪非線性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

1 齒輪系統(tǒng)模型的建立

在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質(zhì)量法建立直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 動(dòng)力學(xué)模型

該模型是一個(gè)二維平面振動(dòng)模型，具有4個(gè)自由度，分別為主、被動(dòng)齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和Y方向的平移自由度，表示為{yp，θp，yg，θg}T。其中:Rp，Rg;Tp，Tg;I1，I2分別表示主、被動(dòng)齒輪的半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)平移振動(dòng)剛度系數(shù);e為齒輪的靜態(tài)傳遞誤差。根據(jù)牛頓第二定律，可得到圖1所示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程:

如果假設(shè)x(t)=yp+Rpθp(t)-yg+ Rgθg(t)-e(t)，即為本文所研究的系統(tǒng)中齒側(cè)間隙x≤1的情形，因此上述模型在嚙合線方向上寫成矩陣形式為:

其中:［M］表示系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;［C］表示阻尼矩陣; ［K］表示剛度矩陣。

此方程是含有隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)方程。齒輪系統(tǒng)的隨機(jī)荷載{F}與綜合嚙合剛度、阻尼和靜態(tài)傳遞誤差e有關(guān)，因此{(lán)F}可以分解為Fk+Fc+Fe，F(xiàn)k表示由嚙合剛度kc引起的輪齒嚙合力，F(xiàn)c表示由阻尼cm引起的嚙合力，F(xiàn)e表示由誤差引起的輪齒內(nèi)部嚙合力，因此方程表達(dá)式變?yōu)?/p>

2 模型的分析

由于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作狀態(tài)極為復(fù)雜，不僅存在多種荷載工況和動(dòng)力裝置，還會(huì)出現(xiàn)由原動(dòng)機(jī)或負(fù)載方面引入的外部激勵(lì)，通常我們稱之為荷載，本文中用Fah表示。因此，式(1)方程最終表示為

3 參數(shù)激勵(lì)下齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)分析與模擬

3．1 隨機(jī)剛度激勵(lì)

由文獻(xiàn)［4］可知，在確定參數(shù)系統(tǒng)工作狀態(tài)下，算得無(wú)量綱參數(shù)分別為ξ=0．02，cε=0．2，e= 0．002，b=0．005。若齒輪系統(tǒng)的無(wú)量綱阻尼、間隙、靜態(tài)誤差的幅值都是隨機(jī)變量，假定各隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，其均值和方差的取值如表1所示。

表1 各隨機(jī)變量的均值和方差

由于參數(shù)的隨機(jī)性，使得振動(dòng)響應(yīng)也將帶有隨機(jī)性，采用非線性系統(tǒng)數(shù)值逐步積分的Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力微分方程進(jìn)行求解計(jì)算，對(duì)該狀態(tài)進(jìn)行隨機(jī)參數(shù)振動(dòng)的數(shù)值模擬得到響應(yīng)時(shí)間歷程如圖2所示。

圖2 不同嚙合頻率的隨機(jī)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程

從仿真效果可以看出:隨著嚙合頻率的變化，在周期振動(dòng)點(diǎn)，隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值變化不大，隨著頻率的增大，隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生失效振幅，從而破壞整個(gè)系統(tǒng)，最終影響系統(tǒng)的可靠性。

3.2 隨機(jī)阻尼激勵(lì)

對(duì)于隨機(jī)參數(shù)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，嚙合剛度具有周期性，取齒輪嚙合系數(shù)Cε=0．2，固定內(nèi)激勵(lì)頻率ωc=1．0，F(xiàn)m=0．1，e=0．002，b=0．005，若齒輪系統(tǒng)的嚙合頻率、間隙、靜態(tài)誤差的幅值都是隨機(jī)變量，并假定各隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，其均值和方差取值如表2所示。

表2 各隨機(jī)變量的均值和方差

采用非線性系統(tǒng)數(shù)值逐步積分的Runge-Kutta法進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力微分方程的求解計(jì)算，對(duì)該狀態(tài)進(jìn)行隨機(jī)參數(shù)振動(dòng)的數(shù)值模擬得到響應(yīng)時(shí)間歷程如圖3所示。

圖3 隨機(jī)阻尼激勵(lì)的隨機(jī)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程

4 結(jié)論

1)在系統(tǒng)中其他參數(shù)給定的情況下，通過仿真分析發(fā)現(xiàn):在周期振動(dòng)點(diǎn)，參數(shù)激勵(lì)雖然使得系統(tǒng)的周期振動(dòng)響應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)振動(dòng)，但是對(duì)系統(tǒng)振幅的影響不大;隨著嚙合頻率的增大，隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生失效振幅，從而破壞整個(gè)系統(tǒng)。

2)對(duì)于確定性齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，隨著阻尼比的逐漸增大，系統(tǒng)的振動(dòng)周期沒有發(fā)生變化，而振幅卻明顯地衰減，最后趨于穩(wěn)定狀態(tài)。這說(shuō)明參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率、振動(dòng)幅值以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性都有很大的影響。

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(責(zé)任編輯 何杰玲)

Dynamic Response of Gear System with Time-varying under Random Excitation

ZHANG Zhuan-zhou1，BAO Chun-mei2，DAI Shan-ni1，WU Xiang-biao1
(1.School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal University，Zunyi 563002，China; 2.Gansu Sub-bank of China Construction Bank，Lanzhou 730070，China)

A four freedom degrees mathematical model of cylinder gear transmission system is built using the lumped mass method，based on gear meshing theory and random vibration theory，but tooth surface friction is not considered.In this model，due to the stochastic parameters and random excitations，it has made the uncertainty system into stochastic system.A new model of the nonlinear gear system is established，aiming at the characteristics of random parameters in the system.So the dynamic response of gear transmission system with stochastic parameters and random excitations system has been researched and analyzed.And a simulation method which combines with MATLAB software is carried out to research the response of gear transmission system.

gear system;nonlinear model;random excitation;time-varying mesh stiffness;gear backlash;damping ratio

TH13

A

1674-8425(2014)08-0050-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.011

2014-02-18

貴州省科技廳聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(黔科合J字LKZS［2014］30號(hào))

張轉(zhuǎn)周(1984—)，男，甘肅靜寧人，碩士，主要從事齒輪傳動(dòng)研究。

張轉(zhuǎn)周，鮑春梅，代珊妮，等.齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)分析［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(8):50-54.

format:ZHANG Zhuan-zhou，BAO Chun-mei，DAI Shan-ni，et al.Dynamic Response of Gear System with Timevarying under Random Excitation［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (8):50-54.