班桂寧，劉海林，崔艷

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧 530004)

中心循環(huán)且中心商群的階為p6的LA－群

班桂寧，劉海林，崔艷

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧 530004)

驗(yàn)證了中心循環(huán)且中心商群同構(gòu)于文獻(xiàn)《The Groups of Order p6(Pan Old Prime)》中p6階群第38家族Φ38(16)的有限非循環(huán)p－群為L(zhǎng)A－群。

有限p－群;自同構(gòu)群;LA－群

在p－群自同構(gòu)的研究中，關(guān)于有限非循環(huán)p－群的自同構(gòu)的階有一個(gè)非常著名的猜想，即LA－猜想:設(shè)G是有限非循環(huán)p－群，且其階|G|=pn，n＞2，則|G|||Aut(G)|滿足LA－猜想的有限非循環(huán)p－群稱作LA－群。目前已經(jīng)證明了p－p6階有限非循環(huán)p－群都為L(zhǎng)A－群。

Davitt R M于1980年在文獻(xiàn)［1］中已證明了中心商的階小于等于p4的有限p－群是LA－群。接著俞曙霞、班桂寧等于1993～1994年在文獻(xiàn)［2－4］中已經(jīng)證明中心循環(huán)且中心商的階等于p5的有限非循環(huán)p－群是LA－群，進(jìn)一步推廣了Davitt R M在文獻(xiàn)［1］中的這一結(jié)論。

班桂寧進(jìn)一步猜測(cè):中心循環(huán)且中心商的階等于p6的有限非循環(huán)p－群是LA－群。2012年惠敏［5］在其碩士畢業(yè)論文中提到:假設(shè)Z(G)循環(huán)，找出了中心商G/Z(G)可以同構(gòu)文獻(xiàn)［6］中p6階群第24到43家族的所有群G，并給出了定義關(guān)系。2013年李群蘭在其碩士畢業(yè)論文［7］中證明了中心循環(huán)且中心商同構(gòu)于文獻(xiàn)［6］中p6階群的1～10家族的有限非循環(huán)p－群是LA－群，初步支持了這一猜測(cè)的正確性。本文驗(yàn)證了中心循環(huán)且中心商群同構(gòu)于文獻(xiàn)［6］中p6階群第38家族Φ38(16)的有限非循環(huán)p－群為L(zhǎng)A－群，進(jìn)一步支持了這一猜想。

1 主要引理

2 主要結(jié)果

［1］Davitt R M.On the automorphism group of a finite p－group with a smallCentralquotient［J］.Canadian Journal of Mathematics，1980，32(5):1168－1176.

［2］班桂寧，俞曙霞.具有循環(huán)中心和小中心商的有限p－群［J］.廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1993，18(3):15－23.

［3］俞曙霞，班桂寧.若干LA－群及有關(guān)定理［J］.廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1993，18(1):6－13.

［4］俞曙霞，班桂寧.關(guān)于LA－群的一個(gè)定理［J］.廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1994，19(1):10－17.

［5］惠敏.自同構(gòu)群的階的相關(guān)研究［D］.南寧:廣西大學(xué)，2012.

［6］James R.The Groups of Order p6(p an Odd Prime)［J］.Mathematics of Computation，1980，34(150):613－637.

［7］李群蘭.推廣Davitt關(guān)于LA－群的結(jié)論［D］.南寧:廣西大學(xué)，2013.

［8］徐明曜.有限群導(dǎo)引(上，下)［M］.2版.北京:科學(xué)出版社，2001.

［9］班桂寧，佘科，李芳芳.幾類具有非次正規(guī)子群的有限群［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，25(9):87－93.

(責(zé)任編輯 劉舸)

New LA-group with Cyclic Center and p6as the Order of Center Quotient Group

BAN Gui－ning，LIU Hai－lin，CUIYan
(School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China)

This paper proves that the finite acyclic p－group is LA－group，whose center is cyclic and the center quotientgroup is automorphic to the group of the order is p6of theΦ38(16)of the 38th family from the literature“The Groups of Order p6(Pan Old Prime)”.

finite p－group;automorphism group;LA－group

O152.1

A

1674－8425(2014)01－0120－03

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.01.023

2013－08－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61074185)

班桂寧(1962—)，男，廣西人，博士，教授，主要從事有限群論與控制論方面的研究。

班桂寧，劉海林，崔艷.中心循環(huán)且中心商群的階為p6的LA－群［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014 (1):120－122.

format:BAN Gui－ning，LIU Hai－lin，CUIYan.New LA－group with Cyclic Center and p6as the Order of Center Quotient Group［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(1):120－122.