趙天玉,洪云飛,陳忠 (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北荊州 434023)

Dirichlet積分的計(jì)算方法

趙天玉,洪云飛,陳忠 (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北荊州 434023)

Dirichlet積分在物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。綜述了計(jì)算Dirichlet積分的傳統(tǒng)經(jīng)典方法,即含參變量積分法和圍道積分法,然后以積分變換和廣義函數(shù)為研究工具,采用數(shù)學(xué)物理方法,給出了計(jì)算Dirichlet積分的4種新方法:Fourier變換法、能量積分法、Laplace變換法和廣義函數(shù)法。這些方法簡(jiǎn)單明了,易于接受,學(xué)生既學(xué)會(huì)了積分變換知識(shí)的應(yīng)用,又解決了已學(xué)課程中遺留的問題,對(duì)學(xué)生處理類似的情況具有借鑒參考作用。

Dirichlet積分;Fourier變換;Laplace變換;廣義函數(shù)

1 計(jì)算Dirichlet積分的傳統(tǒng)經(jīng)典方法

1.1 含參變量積分方法

圖1 圍道積分路徑

2 計(jì)算Dirichlet積分的新方法

2.4 廣義函數(shù)法

單位脈沖函數(shù)δ(t)也叫狄拉克(Dirac)函數(shù),簡(jiǎn)稱δ-函數(shù),是一個(gè)廣義函數(shù),是弱收斂函數(shù)序列的弱極限[6],即對(duì)于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)f(t),有:

3 結(jié)語(yǔ)

著名的Dirichlet積分是特殊的積分,在自然科學(xué)與工程技術(shù)中經(jīng)常用到。由于其計(jì)算的復(fù)雜性,在數(shù)學(xué)的多種課程中把它作為典型例子來討論。即便如此,學(xué)生也難以接受這些知識(shí)。通過多年的教學(xué)實(shí)踐,作者積累了幾種解決這個(gè)問題的方法:首先回顧了計(jì)算Dirichlet積分的2種傳統(tǒng)經(jīng)典方法,即含參變量積分法和圍道積分法,然后借助于積分變換和廣義函數(shù),給出了4種計(jì)算Dirichlet積分的新方法。這些方法簡(jiǎn)單明了,易于接受,學(xué)生既學(xué)會(huì)了積分變換知識(shí)的應(yīng)用,又解決了已學(xué)課程中遺留的問題,對(duì)學(xué)生處理類似的情況具有借鑒參考作用。

[1]梁昌洪.復(fù)變函數(shù)札記[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

[2]匡繼昌.Dirichlet積分9種解法的思路分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(4):62-66.

[3]張瑰,張梅.對(duì)Dirichlet積分的幾種簡(jiǎn)便證明[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(4):28-29.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].第3版.北京:高等教育出版社,2001.

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[編輯]李夢(mèng)霞

O175.5

A

1673-1409(2014)19-009-03

2014-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201039;61273179);湖北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(D20101304);長(zhǎng)江大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(JY2013026)。

趙天玉(1958-),男,碩士,教授,現(xiàn)主要從事組合數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

洪云飛(1979-),男,碩士,講師,現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法、科技期刊編輯方面的研究工作;E-mail:cdzkb @163.com。