余 麗

（宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西宜春336000）

用廣義高階導(dǎo)數(shù)刻畫集值優(yōu)化ε－嚴(yán)有效解

余 麗

（宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西宜春336000）

在實(shí)賦范線性空間中討論了集值優(yōu)化問題ε－嚴(yán)有效解的廣義高階導(dǎo)數(shù)型最優(yōu)性條件.利用廣義高階切集，在沒有任何凸性假設(shè)下，借助基泛函及ε－嚴(yán)有效解的性質(zhì)，得到了集值優(yōu)化問題ε－嚴(yán)有效解的廣義高階導(dǎo)數(shù)型的必要和充分條件.

ε－嚴(yán)有效解；廣義m－階切導(dǎo)數(shù)；必要條件；充分條件

向量優(yōu)化理論的逼近解與Ekeland變分原理之間存在著緊密的聯(lián)系，近年來，對(duì)逼近解的研究引起了人們的廣泛關(guān)注［1－5］.文獻(xiàn)［4］引進(jìn)了ε－嚴(yán)有效解的概念，在內(nèi)部錐－類凸假設(shè)下得到了集值優(yōu)化問題ε－嚴(yán)有效解的標(biāo)量化定理，ε－Lagrange乘子定理，ε－鞍點(diǎn)定理及ε－對(duì)偶定理.另一方面，利用導(dǎo)數(shù)研究集值優(yōu)化問題越來越引起了學(xué)者的關(guān)注［6－8］.文獻(xiàn)［8］引進(jìn)了廣義高階切集和集值映射的廣義高階切導(dǎo)數(shù)定義，并得到了集值優(yōu)化問題取得弱有效解的廣義高階導(dǎo)數(shù)型的最優(yōu)性條件.本文將借助基泛函及ε－嚴(yán)有效解的性質(zhì)，討論集值優(yōu)化問題ε－嚴(yán)有效解的廣義高階導(dǎo)數(shù)型的必要和充分條件.

1 基本概念及有關(guān)結(jié)論

設(shè)X，Y和Z為實(shí)賦范線性空間，C和D分別是Y和Z中的閉凸點(diǎn)錐，且int C≠?，int D≠?.設(shè)?≠M(fèi)?Y，以cl M，int M和cone M分別表示M的閉包、內(nèi)部和生成錐.一個(gè)凸子集B?C稱為錐C的基，如果0?cl B且C＝cone B.令Bst＝｛φ∈Y＊：存在t＞0，使得φ（b）≥t，b∈B｝，并稱其為基泛函.

設(shè)E是X的子集，F(xiàn)：E→2Y，G：E→2Z.F的有效域?yàn)閐om（F）＝｛x∈E：F（x）≠?｝.

定義1.1［4］設(shè)?≠M(fèi)?Y，B為C的基，ε∈C.點(diǎn)y∈M稱為M關(guān)于基B的ε－嚴(yán)有效點(diǎn)，記為y∈ε－FE（M，B），如果存在一個(gè)零點(diǎn)的鄰域U，使得

注1.1［4］對(duì)于基B的ε－嚴(yán)有效點(diǎn)定義，（1）式等價(jià)于

且根據(jù)需要，零點(diǎn)的鄰域U可取為或開或閉或凸或均衡.

定義1.2［8］設(shè)x∈K?X，且v1，…，vm－1∈X，我們稱集合

是K在（x，v1，…，vm－1）處的廣義m－階Contingent切錐.

定義1.3［8］設(shè)X，Y是賦范線性空間，F(xiàn)：X→2Y是一個(gè)集值映射，F(xiàn)是（x，y）∈Graph F關(guān)于向量（u1，v1），…，（um－1，vm－1）的廣義m－階Contingent切導(dǎo)數(shù)，G－D（m）（x，y，u1，v1，…，um－1，vm－1）是一個(gè)從X到Y(jié)的集值映射，定義為

即

2 最優(yōu)性條件

考慮如下集值優(yōu)化問題：

（VP）的可行集表示為

定義2.1 設(shè)x0∈A稱為（VP）關(guān)于基B的ε－嚴(yán)有效解，如果F（x0）∩ε－FE（F（A），B）≠?；（x0，y0）稱為（VP）關(guān)于基B的ε－嚴(yán)有效元，如果x0∈A，且y0∈F（x0）∩ε－FE（F（A），B）.

設(shè)

記

定理2.1 設(shè)B為C的有界基，（x0，y0）是（VP）的ε－嚴(yán)有效元，

則存在U0∈N（0），使得對(duì)于任意的

有

證明 因?yàn)椋▁0，y0）是（VP）的ε－嚴(yán)有效元，于是存在均衡的開凸零點(diǎn)鄰域ˉU∈N（0），使得

反證法.假設(shè)（2）式不成立，則對(duì)Y中任意均衡的開凸零點(diǎn)鄰域U，存在

使得

由m－階廣義切導(dǎo)數(shù)定義知存在序列｛hn｝，hn→0＋，序列

使得

結(jié)合（4）—（5）式可知，存在N＞0，使得對(duì)任意n≥N，有

于是

由已知v1，…，vm－1∈－C，w1，…，wm－1∈－D，再由－C及－D為凸錐得

當(dāng)n＞N時(shí)，由（6）—（7）式得

由

存在（ˉxn，ˉyn，ˉzn），使得

由（8）式知

于是當(dāng)n＞N，由

得μn＞0及

由（9）式知，存在

使得

于是

由（10）式及

因此

由（11）式，

再由（10）式，

所以

下面證明cone（F（A）－y0＋ε）∩（U－B）≠?.

先證0?int cone（U－B－ε）.反證法.若0∈int cone（U－B－ε），則由cone（U－B－ε）為凸集知int cone（U－B－ε）＝int cl cone（U－B－ε）.因?yàn)?∈int cl cone（U－B－ε），所以cl cone（U－B－ε）＝Y(jié).任取b∈B?Y，則存在｛tλ（uλ－bλ－ε）：λ∈Λ｝，使得tλ（uλ－bλ－ε）→b.其中tλ≥0，bλ∈B，uλ∈U.因?yàn)棣拧蔆，則存在b1∈B，λ1≥0，使得ε＝λ1b1，于是tλ（uλ－bλ－λ1b1）－b→0，因?yàn)閁是零點(diǎn)鄰域，所以存在λ0∈Λ，使得tλ0（uλ0－bλ0－λ1b1）－b＝wλ0，其中wλ0∈U，于是tλ0uλ0－wλ0＝tλ0bλ0＋tλ0λ1b1＋b，兩邊同時(shí)除以tλ0＋tλ0λ1＋1，得

又由U是均衡凸的，有

于是

由B是C的有界基及文獻(xiàn)［9］中命題2.1知，存在t＞0，使得Bst≠?.設(shè)φ∈Bst，于是有

取?＝｛y∈Y：｜φ（y）｜＜t｝，則?∈N（0）是

由

及（13）式得

又由

得

上式與（15）式矛盾.于是

由（12）式知存在

從而

又由（16）式得y＊≠0，于是存在λ2＞0，b2∈B，u1∈U，使得

因此

由（17）式得到

即

又由

此與（3）式矛盾.

定理2.2 假設(shè)以下條件成立：

（ⅰ）（ui，vi，wi）∈｛0X｝×C×D，i＝1，2，…，m－1；

（ⅱ）存在（Γ，L）?（cone（B＋ε－U）＋×D＋）＼（0Y＊，0Z＊），使得

并且

有

則（x0，y0）是（VP）的ε－嚴(yán)有效解.

證明 反證法.若（x0，y0）不是（VP）的ε－嚴(yán)有效解，則?U∈N（0），有

于是存在

使得

由（18）式知

于是

故

由（19）式和

有另一方面，由文獻(xiàn)［8］中的命題3.2有

（y＊－y0，z＊－z0）∈G－D（m）（F＋，G））（x0，y0，z0，u1，v1，w1，…，um－1，vm－1，wm－1）（x＊－x0）.再由條件（ⅱ）有

此與（20）式矛盾.故（x0，y0）是（VP）的ε－嚴(yán)有效解.

［1］ RONG W D，MA YI.ε－properly efficient solutions of vector optimization problems with set－valued maps［J］.Or Transactions，2000，4（4）：21－22.

［2］ RONG W D，WU Y N.ε－weak minimal solutions of vector optimization problems with set－valued maps［J］.J Optim Theory Appl，2000，106（13）：569－579.

［3］ LING CHEN.ε－super efficient solutions of vector optimization problems with set－valued maps［J］.Or Transactions，2001，5（3）：51－56.

［4］ LI T Y，XU Y H.ε－strictly efficient solutions of vector optimization problems with set－valued maps［J］.Asia－pacific Journal of Operational Research，2007，24（6）：841－854.

［5］ WANG Q L.ε－strongly efficient solutons for vector optimization with set－valued maps［J］.Chin Quart J of Math，2010，25（1）：104－109.

［6］ LI S J，TEO K L，YANG X Q.Higher－order optimality conditions for set－valued optimization［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2008，137（3）：533－553.

［7］ LI S J，TEO K L，YANG X Q.Higher－order mond－weir duality for set－valued optimization［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，217（2）：339－349.

［8］ WANG Q L，LI S J，TEO K L.Higher－order optimality conditions for weakly efficient solutions in nonconvex set－valued optimization［J］.Optimization Letters，2010，4（3）：425－437.

［9］ CHENG Y H，F(xiàn)U W T.Strong efficiency in a locally convex space［J］.Mathematical Methods of Operations Research，1999，50（3）：373－384.

The characterizations ofε－strictly efficient solutions of set－valued optimization with generalized higher－order derivatives

YU Li
（Institute of Mathematics and Computer of Science，Yichun University，Yichun 336000，China）

The generalized higher－order derivatives optimality conditions forε－strictly efficient solutions of set－valued optimization problems is discussed in real normed spaces.By virtue of the generalized higher－order tangent sets introduced，without any convexity assumption，by employing the properties of basic functional andε－strictly efficient element，necessary and sufficient conditions are obtained forε－strictly efficient solutions for set－valued optimization problems.

ε－strictly efficient solutions；generalized m－h(huán)igher－order contingent derivatives；necessary condition；sufficient condition

O 224 ［學(xué)科代碼］ 110·74

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0035－05

10.11672／dbsdzk2014－02－008

2013－04－20

江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20122BAB211004）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ13696）.

余麗（1980—），女，碩士，講師，主要從事集值優(yōu)化及應(yīng)用研究.