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        基于系統(tǒng)迭代法的線源瞬變電磁近區(qū)正演模擬

        2014-06-27 03:11:34賴劉保席振銖侯海濤朱偉國劉愿愿
        物探化探計(jì)算技術(shù) 2014年3期
        關(guān)鍵詞:模型

        賴劉保,席振銖,*,王 鶴,侯海濤,朱偉國,劉愿愿,蔣 歡

        (1. 中南大學(xué) 海洋礦產(chǎn)探測技術(shù)與裝備研究所,地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,長沙 410083;2. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,長沙 410083; 3.長沙五維地科勘察技術(shù)有限責(zé)任公司,長沙 410205)

        0 引言

        瞬變電磁法(TEM)已廣泛應(yīng)用于礦產(chǎn)資源調(diào)繪、水資源調(diào)查、地?zé)峥碧絒1]、巖溶探測以及油氣田勘查等領(lǐng)域[2],國內(nèi)、外幾十年的實(shí)踐工作說明了該方法在生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用的有效性[3]。

        根據(jù)TEM的場源性質(zhì),大體分為磁性源和電性源兩大類。一般來說磁性源的探測深度在1 km左右,不能滿足1 km~3 km的資源勘查、地?zé)崽綔y、區(qū)域深部工程地質(zhì)構(gòu)造等方面的需求。目前,電性源瞬變電磁主要在遠(yuǎn)區(qū)觀測,即長偏移距工作方式(LOTEM),其采用1 km到3 km的接地長導(dǎo)線發(fā)射電磁場,在偏移距3 km~10 km主要觀測水平電場分量與垂直磁場分量[4]。前蘇聯(lián)及歐美國家廣泛將LOTEM應(yīng)用于地?zé)峥碧健⒌貧?gòu)造調(diào)查及地震勘探方法勘查時(shí)效果不好的地區(qū),并形成了一套較完整的系統(tǒng),但是在遠(yuǎn)區(qū)觀測時(shí)存在信號(hào)強(qiáng)度弱、體積效應(yīng)大等問題,而在近區(qū)線源觀測則有以下優(yōu)點(diǎn):①信噪比高、體積效應(yīng)小、探測靈敏度高;②電壓衰減速度慢,發(fā)送磁矩大,探測深度相對(duì)較大,裝置輕便,適合山區(qū)作業(yè)等優(yōu)點(diǎn)[5]。

        當(dāng)前線源近區(qū)的研究多局限于二維數(shù)值模擬[6],一維反演解釋[7]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,瞬變電磁的三維正演快速計(jì)算模擬可以實(shí)現(xiàn)。與需要全空間離散的有限元[8]、有限差分[9-10]所不同的是:積分方程法只需對(duì)異常體進(jìn)行離散,具有離散數(shù)目少,求解精度高等優(yōu)點(diǎn)[11-12]。與較成熟的LOTEM相比,國內(nèi)、外學(xué)者對(duì)于線源近區(qū)三維正演研究相對(duì)較少。主要問題在于三維計(jì)算中消耗計(jì)算機(jī)大量內(nèi)存和時(shí)間,尤其在求解大型稀疏矩陣時(shí),系數(shù)矩陣的條件數(shù)很大,很難獲得高精度的結(jié)果[13]。同時(shí)在近場區(qū),線源不能采用電偶極子近似[14],場源剖分時(shí)也增加了計(jì)算量。為了同時(shí)解決三維計(jì)算的速度和精度問題,作者引入了系統(tǒng)迭代法求解積分方程來降低系數(shù)矩陣條件數(shù),節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間。

        作者首先介紹了層狀介質(zhì)中三維電性異常體的積分方程,給出了第二類Fredholm方程,重點(diǎn)闡述了系統(tǒng)迭代法的求解過程,然后利用數(shù)字濾波法將頻率域響應(yīng)轉(zhuǎn)換到時(shí)間域;最后在均勻半空間中將正演結(jié)果與解析解對(duì)比,檢驗(yàn)算法的有效性,并結(jié)合簡單模型與復(fù)雜模型的計(jì)算,證明了該方法對(duì)異常體探測的可靠性。

        1 基本理論

        1.1 積分方程法

        三維模型如圖1所示,水平層狀電導(dǎo)率的張量形式:σb=diag(σb,σb,σb),其中σb= σb′ +iωεb為大地的復(fù)電導(dǎo)率。層狀大地與異常體的電導(dǎo)率之差σ=σaI-σb,其中I為3×3的單位矩陣,σa為異常體電導(dǎo)率,則三維異常體的散射電流為Js=σ·E,E為異常體中的電場強(qiáng)度。假設(shè)入射場在時(shí)諧因子eiwt,外加電流激勵(lì)下垂直向下傳播,且忽略位移電流。根據(jù)MAXWELL方程及相應(yīng)的電磁格林張量理論,異常體V滿足第二類Fredholm積分方程:

        (1)

        其中θ=diag(1/σa-σb,1/σa-σb,1/σa-σb);Ep為一次電場;GE=-iwμ0A+(1/σb)▽▽·A為電場格林函數(shù)[15]。

        將異常體區(qū)域V剖分為M個(gè)小單元,得到如下矩陣方程:

        [Γ][Js]=[Ep]

        (2)

        圖1 三維地電模型示意圖Fig.1 Sketch of 3D geoelectric model

        1.2 線源的處理

        由于觀測點(diǎn)常常比較靠近接地導(dǎo)線源,需把發(fā)射源看做多個(gè)偶極的疊加,計(jì)算電磁場分量時(shí)將偶極場表達(dá)式沿線源積分,文獻(xiàn)[14]給出了層狀大地表面的電磁場表達(dá)式。假設(shè)導(dǎo)線源的中心位于原點(diǎn),沿水平軸向兩側(cè)延伸至-L和L。

        水平電場公式為:

        R=[(x-x′)2+y2]1/2;

        R1=[(x+L)2+y2]1/2;

        R2=[(x-L)2+y2]1/2。

        垂直磁場公式為:

        1.3 系統(tǒng)迭代法解矩陣方程

        如果把三維異常體V分成m塊,V1、…、Vi、…、Vm,然后再將第i塊異常體Vi剖分為Mi個(gè)小單元,式(1)變?yōu)椋?/p>

        (3)

        式(3)表明,Vi區(qū)域外的異常體對(duì)Vi的影響相當(dāng)于外加激發(fā)源的作用。

        若把整個(gè)異常體區(qū)域看成一個(gè)系統(tǒng),則每個(gè)塊狀異常體在各自區(qū)域內(nèi)形成子系統(tǒng)。我們可以單獨(dú)的處理各個(gè)異常體,獲得子系統(tǒng)間的相互影響,從而得到整個(gè)系統(tǒng)的值,這就是系統(tǒng)迭代法。該方法只需要保存處于計(jì)算中的單個(gè)異常體的離散單元,而不需要存儲(chǔ)整個(gè)異常體的全部離散,可以節(jié)省時(shí)間,節(jié)約內(nèi)存,而且隨著剖分越來越細(xì),系數(shù)矩陣的條件數(shù)越來越大,線性方程組的解越來越不穩(wěn)定。系統(tǒng)迭代法只跟剖分后異常體的個(gè)數(shù)有關(guān),而與未知數(shù)無關(guān),這樣大大降低了矩陣的條件數(shù),提高了精度。

        根據(jù)矩陣?yán)碚摚?3)相當(dāng)于將散射矩陣Γ離散成塊矩陣,式(2)變?yōu)椋?/p>

        (4)

        用高斯-賽德爾(GS)迭代法求解式(4):

        (5)

        為提高收斂速度采用逐次超松弛(SOR)迭代法,式(5)變?yōu)椋?/p>

        (6)

        其中ω為松弛因子且1≤ω<2。當(dāng)w=1時(shí),SOR法為GS法,即式(6)等于式(5)。

        選擇合適的松弛因子可以保證SOR的收斂。經(jīng)過多次驗(yàn)算,本文w=1.25。

        Γii可以通過LU或者Cholesky分解并將離散矩陣用于迭代,Ep可以用快速漢克爾變換計(jì)算,異常體部分可以用文獻(xiàn)[15]所提到的格林函數(shù)法求解。如果迭代的相對(duì)誤差小于ε,則矩陣方程收斂,迭代終止。

        求得Js后,根據(jù)并矢格林函數(shù),二次電磁場分別為:

        1.4 時(shí)頻轉(zhuǎn)換

        在頻率域中求得電磁響應(yīng)后,利用安德森的滯后褶積的快速數(shù)字濾波法[16]計(jì)算如下正弦與余弦變換。

        Im[E(ω)]和Im[H(ω)]分別是頻率域中電、磁場分量的虛部。求得磁場強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)?H(t)/?t后,再乘真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7Wb/(A·m), 可得磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) ?B(t)/?t。

        2 算法檢驗(yàn)

        為了檢驗(yàn)本算法的正確性,本研究采用線源赤道軸線上的解析式與積分方程法得到的數(shù)值解對(duì)比。線源赤道平面如圖2。

        圖2 線源赤道平面圖Fig.2 Plan view of the line source

        假設(shè)均勻半空間的電阻率為100 Ω·m,線源長1 km,激發(fā)電流1 A,偏移距1 000 m處接收。積分方程計(jì)算中,在頻率域范圍0.01 Hz~1 000 000 Hz中計(jì)算了49個(gè)頻點(diǎn),每個(gè)數(shù)量級(jí)取6個(gè)頻點(diǎn),向時(shí)間域0.01 ms~1 000 ms轉(zhuǎn)換中,共計(jì)算了31個(gè)三維體的瞬態(tài)響應(yīng),從而保證了計(jì)算精度。

        從圖3中可以看出,不管垂直感應(yīng)磁場時(shí)間倒數(shù)還是水平電場強(qiáng)度的衰減曲線結(jié)果,都與解析解十分吻合。這也驗(yàn)證本文的數(shù)值模擬精度高,計(jì)算可靠。

        圖3 半空間中的解析解與數(shù)值解的對(duì)比Fig.3 Contrast between numeric solution and analytic solution in a half-space(a) dBz/dt衰減曲線; (b)水平電場Ey衰減曲線

        3 模型計(jì)算

        為了說明線源對(duì)異常體的反應(yīng)效果,分別設(shè)計(jì)簡單模型和復(fù)雜模型對(duì)瞬態(tài)電磁響應(yīng)加以分析。計(jì)算區(qū)域示意圖4顯示:場源(箭頭)中心位于原點(diǎn),長1 000 m;異常體位于5 000 m×4 000 m的地面下,埋深750 m;發(fā)送電流1 A,三角形為測點(diǎn)。兩個(gè)模型的以上參數(shù)相同,分別計(jì)算垂直感應(yīng)時(shí)間導(dǎo)數(shù)與平行于場源方向的水平電場Ey,然后作出等值線圖與隨時(shí)間的衰減曲線圖。

        圖4 三維異常體的平面圖和斷面圖位置A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)于偏移距r=-250 m、250 m、1 500 m、3 000 mFig.4 Plan view and cross-section for 3D conductive prism(a)X-Y平面圖; (b)X-Z斷面圖

        3.1 低阻模型

        圖5是一個(gè)低阻異常體存在于均勻半空間中的模型。半空間的電阻率為50 Ω·m,異常體電阻率為5 Ω·m,尺寸1 000 m×1 000 m×500 m。將異常體剖分為10×10×10個(gè)網(wǎng)格單元。

        圖5 半空間中的單個(gè)三維異常體模型Fig.5 Model of a single anomalous 3-D body in a half-space

        圖7表示垂直感應(yīng)磁場的時(shí)間導(dǎo)數(shù)在不同觀測點(diǎn)隨時(shí)間的衰減曲線。在x=-250 m 處,前支出現(xiàn)反向電流,瞬態(tài)值為負(fù),在120 ms方向發(fā)生逆轉(zhuǎn)變?yōu)檎?;x=250 m 剛好相反,只是在80 ms 時(shí)刻方向發(fā)生偏轉(zhuǎn),因?yàn)锽點(diǎn)離異常體更近。這個(gè)符號(hào)變化特征可以為縱向上確定異常體提供參考[19],經(jīng)計(jì)算,在80 ms磁場電流擴(kuò)散到異常體。觀測點(diǎn)在橫縱向上離異常體750 m左右,而偏移距只有250 m。這表明近區(qū)也能探測較遠(yuǎn)的異常體,隨著偏移距的增加,曲線形態(tài)逐漸平緩,這點(diǎn)和文獻(xiàn)[20]給出的一維計(jì)算結(jié)果相同。在x=1 500 m、3 000 m時(shí),如同磁性源及LOTEM,感應(yīng)磁場時(shí)間導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間按t-5/2衰減,這說明了本文方法的可靠性。

        圖6 不同時(shí)間的水平電場Ey(V/m)等值線Fig.6 Contour maps of horizontal electrical field Ey at different times(a)t=1 ms;(b)t=3 ms;(c)t=10 ms;(d)t=30 ms;(e)t=100 ms;(f)t=300 ms;箭頭表示場源,長方形表示異常體的平面位置

        圖7 不同偏移距的dBz/dt曲線Fig.7 Curves with different offset

        3.2 復(fù)雜模型

        假設(shè)電阻率為50 Ω·m 的均勻半空間中分別賦存高、低阻兩個(gè)異常體:高阻電阻值為500 Ω·m,尺寸1 000 m×1 000 m×500 m,中心點(diǎn)位于(1 500,-1 000,750);低阻值為5 Ω·m,尺寸1 000 m×1 000 m×500 m,中心位于(1 500,1 000,750)。在計(jì)算中將兩個(gè)異常體各剖分為10×10×10個(gè)網(wǎng)格單元,共 2 000個(gè)網(wǎng)格(圖8)。

        圖8 高阻和低阻兩個(gè)異常體的三維模型Fig.8 Schematic drawing of 3D model with two anomalies in homogeneous half space

        水平電場切片圖9表明:剛開始,電流主要集中在發(fā)射源附近,這點(diǎn)和低阻模型相同,也符合電磁波的傳播規(guī)律;在100 ms時(shí),在異常體位置正上方出現(xiàn)高、低電場值,如圖中矩形所示;當(dāng)t=300 ms時(shí),異常體的位置反應(yīng)得更加明顯,而且不隨時(shí)間變化。與圖6(f)類似,圖9(f)的兩個(gè)極值對(duì)應(yīng)異常體邊界,而且高阻異常體對(duì)應(yīng)高電場值,低阻異常體對(duì)應(yīng)低電場值。因此電場值不僅能反應(yīng)低阻的存在,而且對(duì)高阻體也有較高的分辨率,這是其他裝置所不具備的優(yōu)勢在圖10中,在低阻模型的同一深度的加入高阻體后,感應(yīng)磁場時(shí)間導(dǎo)數(shù)的衰減曲線和單個(gè)低阻體的曲線基本相同,隨偏移距增加,曲線仍然變緩,只是在x=250 m、t=100 ms瞬態(tài)方向發(fā)生逆轉(zhuǎn),比后者晚了20 ms。

        以上數(shù)值計(jì)算是在雙核2.4GHz,內(nèi)存2.0 G的個(gè)人筆記本電腦上實(shí)現(xiàn)的,在精度達(dá)到0.000 1的情況下,低阻模型只需8 min,高低阻模型只需25 min。如果剖分網(wǎng)格單元變小,需要的時(shí)間更少,說明系統(tǒng)迭代法能節(jié)省時(shí)間。

        4 結(jié)論

        本次研究采用基于系統(tǒng)迭代的積分方程法計(jì)算了線源近區(qū)三維瞬變場值。通過與解析解的對(duì)比及兩個(gè)算例的模擬,得出如下結(jié)論:

        (1)系統(tǒng)迭代法求解積分方程,不僅節(jié)省了內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間,而且降低了離散矩陣的條件數(shù),提高了計(jì)算精度。

        (2)水平電場不僅對(duì)低阻體有良好的分辨力,而且對(duì)高阻也反應(yīng)靈敏。低阻異常體對(duì)應(yīng)低場值,高阻體對(duì)應(yīng)高場值,同時(shí)其極值對(duì)應(yīng)異常體的左右邊界,這為今后更好利用電場分量提供了理論基礎(chǔ)。

        (3)異常體的感應(yīng)磁場對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的方向發(fā)生逆轉(zhuǎn),而且隨偏移距的增加,曲線形態(tài)變緩。

        圖9 高低阻模型不同時(shí)間水平電場Ey(V/m)等值線圖Fig.9 Contour maps of horizontal electrical field Ey at different times(a)t=1 ms;(b)t=3 ms;(c)t=10 ms;(d)t=30 ms;(e)t=100 ms;(f)t=300 ms箭頭表示場源,長方形表示異常體的平面位置

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