封普文,黃長(zhǎng)強(qiáng),曹林平,相猛,任洋

(1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院,陜西西安 710038;2.西安飛行學(xué)院,陜西戶縣 710306)

基于自適應(yīng)馬爾可夫參數(shù)交互多模型算法的彈道導(dǎo)彈跟蹤研究

封普文1,黃長(zhǎng)強(qiáng)1,曹林平1,相猛2,任洋1

(1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院,陜西西安 710038;2.西安飛行學(xué)院,陜西戶縣 710306)

對(duì)彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段和自由段進(jìn)行連續(xù)跟蹤已成為彈道導(dǎo)彈防御亟待解決的問(wèn)題。采用多模型交互算法,是解決該問(wèn)題一條可行途徑,但傳統(tǒng)交互多模型馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣參數(shù)固定,切換過(guò)程模型概率滯后。文中基于后驗(yàn)信息修正,提出了一種馬爾可夫參數(shù)值自適應(yīng)調(diào)整算法,根據(jù)不匹配模型誤差壓縮率的變化,自適應(yīng)調(diào)整先驗(yàn)的馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣參數(shù),切換過(guò)程中較多地壓縮不匹配模型的信息,放大匹配模型的信息,提高系統(tǒng)的收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)表明:馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整算法對(duì)彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段與自由段交替處的跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)多模型交互算法。

兵器科學(xué)與技術(shù)；彈道導(dǎo)彈；擴(kuò)展卡爾曼濾波；交互多模型；馬爾可夫矩陣；后驗(yàn)信息

0 引言

彈道導(dǎo)彈防御已成為各軍事大國(guó)重點(diǎn)研究課題之一,成為信息化條件下局部戰(zhàn)爭(zhēng)竟相爭(zhēng)奪的戰(zhàn)略熱點(diǎn)。眾所周之,彈道導(dǎo)彈飛行過(guò)程主要有3個(gè)部分:主動(dòng)段、自由段和再入段。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多是對(duì)彈道導(dǎo)彈某一階段進(jìn)行具體研究[1-4],而對(duì)兩個(gè)階段或整個(gè)彈道進(jìn)行連續(xù)跟蹤還未有有效算法提出。對(duì)處于主動(dòng)段和自由段初期的彈道導(dǎo)彈進(jìn)行攔截稱為彈道導(dǎo)彈的早期防御。因?yàn)閺椀乐鲃?dòng)段和自由段受力差異很大,用單個(gè)數(shù)學(xué)模型同時(shí)描述主動(dòng)段和自由段導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)特征比較困難,且采用普通跟蹤方法在主動(dòng)段和自由段交替處進(jìn)行跟蹤,誤差明顯增大,容易造成目標(biāo)丟失的情況出現(xiàn),所以連續(xù)性跟蹤一直未能得到很好的解決。美軍曾用過(guò)α-βγ、自適應(yīng)卡爾曼和可變維3種濾波算法來(lái)解決彈道導(dǎo)彈的連續(xù)跟蹤問(wèn)題[5-7],然而因?yàn)棣?β-γ濾波器在模型轉(zhuǎn)換時(shí),狀態(tài)估計(jì)誤差大,自適應(yīng)卡爾曼濾波器隨彈道變化必須進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié),可變維濾波器轉(zhuǎn)換邏輯算法過(guò)于復(fù)雜,3種濾波器在彈道導(dǎo)彈連續(xù)性跟蹤方面未能獲得滿意的效果。

近年來(lái),一些學(xué)者提出運(yùn)用交互多模型(IMM)進(jìn)行彈道導(dǎo)彈的跟蹤,提高了彈道導(dǎo)彈跟蹤的濾波精度[8-11]。本文根據(jù)彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段和自由段受力情況不同的特點(diǎn),以運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為基礎(chǔ),分別建立了主動(dòng)段和自由段2個(gè)卡爾曼濾波模型,并進(jìn)行多模交互。主動(dòng)段采用3階常加速度運(yùn)動(dòng)模型(CA),自由段采用2階常速度運(yùn)動(dòng)模型(CV)。此外,IMM的估計(jì)效果在很大程度上依賴模型切換速度,因?yàn)槟Ｐ透怕实臏笮砸约傲繙y(cè)噪聲的存在,影響了模型切換速度及濾波精度。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,本文在IMM的基礎(chǔ)上進(jìn)行馬爾可夫矩陣自適應(yīng)調(diào)整,利用后驗(yàn)信息修正先驗(yàn)信息,使模型之間切換轉(zhuǎn)移概率更接近真實(shí)情況。在模型切換時(shí),較多地遺忘非匹配模型信息,同時(shí)放大匹配模型信息,提高了模型切換速度。該算法有效解決了兩模型估計(jì)過(guò)程中切換速度與濾波精度不可兼得的問(wèn)題,并在彈道導(dǎo)彈早期防御連續(xù)性跟蹤問(wèn)題上,進(jìn)行了運(yùn)用,改善了彈道導(dǎo)彈防御先驗(yàn)信息不足帶來(lái)的不確定性問(wèn)題,在彈道導(dǎo)彈連續(xù)性跟蹤問(wèn)題上具有一定實(shí)踐意義。

1 彈道導(dǎo)彈濾波模型

彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段和自由段受力不同且動(dòng)力學(xué)學(xué)模型不同,難以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述。根據(jù)彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段和自由段受力情況不同的特點(diǎn)提出了兩個(gè)濾波模型與之匹配。

1.1 主動(dòng)段模型濾波器

在雷達(dá)站天東北坐標(biāo)系下建立主動(dòng)段擴(kuò)展卡爾曼濾波器的狀態(tài)模型,此模型為線性模型;量測(cè)模型在球面坐標(biāo)系下建立,為非線性模型,需進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換[12]。

1.1.1 狀態(tài)模型的建立

對(duì)于主動(dòng)段的彈道導(dǎo)彈,除了受到大氣阻力和重力的作用外還受到火箭推力的作用,推力、大氣阻力與導(dǎo)彈速度幾乎在同一條直線上,因此可以將除重力外的外力合成一個(gè)軸向力,為了方便建模,假設(shè)此軸向力大小不變,所以在雷達(dá)天東北坐標(biāo)系下可用CA對(duì)主動(dòng)段進(jìn)行建模,有

式中:k為離散化后的時(shí)刻;X(k)為狀態(tài)向量; F(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;G為外力輸入矩陣; f(X(k))為作用在導(dǎo)彈上的空氣動(dòng)力;ω(k)為高斯白噪聲。

狀態(tài)向量X(k)可表示為

式中:xk、yk、zk為k時(shí)刻目標(biāo)在雷達(dá)天東北坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F(k)可表示為

式中:T為采樣時(shí)間。

外力輸入矩陣G可表示為

1.1.2 量測(cè)模型的建立

雷達(dá)對(duì)彈道導(dǎo)彈的測(cè)量信息包括距離、方位角和俯仰角,所以量測(cè)模型為非線性,如(7)式:

v(k)為k時(shí)刻量測(cè)誤差,其值取決于雷達(dá)性能,并且與目標(biāo)到雷達(dá)距離相關(guān),這里為方便濾波計(jì)算假設(shè)其為零均值高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣R(k)為

1.2 自由段模型濾波器

自由段擴(kuò)展卡爾曼濾波器的狀態(tài)模型也是在天東北坐標(biāo)系下建立的一個(gè)線性模型;量測(cè)模型是在球面坐標(biāo)系下建立的非線性模型,需對(duì)其進(jìn)行線性化。

1.2.1 狀態(tài)模型的建立

彈道導(dǎo)彈在自由段時(shí),可以認(rèn)為其只受重力作用[14-15],設(shè)重力大小不變,方向垂直地面向下,在雷達(dá)天東北坐標(biāo)系下用CV對(duì)其建模:

式中:q為過(guò)程噪聲的強(qiáng)度參數(shù)。

1.2.2 量測(cè)模型的建立

雷達(dá)的測(cè)量結(jié)果為距離、方位角和俯仰角,是在雷達(dá)站地球坐標(biāo)系中對(duì)彈道導(dǎo)彈測(cè)量獲得的。所以得到的量測(cè)模型是非線性的,線性化處理后,其形式與主動(dòng)段的量測(cè)模型相同。

2 IMM算法

IMM算法包含多個(gè)濾波器、一個(gè)模型概率估計(jì)器、一個(gè)交互作用器和一個(gè)估計(jì)混合器。多模型通過(guò)交互作用跟蹤一個(gè)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。設(shè):(k/k)為模型j的狀態(tài)估計(jì),j=1,2,…,N,(k/k)為基于N個(gè)模型基礎(chǔ)上的狀態(tài)估計(jì);Λ(k)為模型可能性向量;u(k)為模型概率向量;(k-1/k-1)為k-1時(shí)刻第j個(gè)濾波器的輸出;Pj(k-1/k-1)為相應(yīng)的狀態(tài)協(xié)方差矩陣,j=1,2,…,N;(k-1/k-1)為(k-1/k-1)交互作用的結(jié)果,j=1,2,…,N;Y (k)為k時(shí)刻的量測(cè)值。

多摸型交互遞推過(guò)程如下:

1)狀態(tài)估計(jì)的交互式作用。設(shè)從模型i轉(zhuǎn)移到模型j的轉(zhuǎn)移概率為Pij,有r個(gè)濾波器,則交互后的r個(gè)濾波器在k時(shí)刻的輸入為

3 自適應(yīng)馬爾可夫參數(shù)交互多模型算法

IMM算法中,輸入交互的作用程度取決于馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率Pij,IMM算法中對(duì)Pij取固定常數(shù)值,沒(méi)有依據(jù)后驗(yàn)信息對(duì)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行在線調(diào)整,不符合實(shí)際情況,在目標(biāo)狀態(tài)變化較大甚至突變時(shí),跟蹤精度和穩(wěn)定性顯著下降。對(duì)此本文提出了自適應(yīng)馬爾可夫參數(shù)交互多模型(AMP-IMM)算法。具體方法是,根據(jù)兩模型誤差壓縮率比值的變化,在濾波過(guò)程中調(diào)整馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣。將單模型濾波器估計(jì)與交互后的估計(jì)偏差和單模型濾波器估計(jì)與最終融合估計(jì)的偏差做比較,定義誤差壓縮率為

如果m1是匹配模型(u1＞u2),則p′12減小,p′21增大,在減小m1向m2轉(zhuǎn)移概率的同時(shí)增大m2向m1轉(zhuǎn)移概率;反之,m1不是匹配模型,則在增大m1向m2轉(zhuǎn)移概率的同時(shí),減小m2向m1轉(zhuǎn)移概率?？梢?jiàn)通過(guò)放大有效信息,減少無(wú)效信息的作用,修正后的概率轉(zhuǎn)移矩陣包含了更準(zhǔn)確的模型概率分布信息,提高了先驗(yàn)信息的準(zhǔn)確度。

新的馬爾可夫矩陣特性證明:

4 仿真與結(jié)果分析

為驗(yàn)證AMP-IMM算法跟蹤彈道導(dǎo)彈初始段和自由段彈道的性能,設(shè)計(jì)了仿真場(chǎng)景,并給出IMM和AMP-IMM模型轉(zhuǎn)移概率,同時(shí)分析兩種擴(kuò)展卡爾曼模型的概率,位置、速度的跟蹤誤差。并在同等條件下比較了IMM濾波算法和AMP-IMM濾波算法的跟蹤效果,驗(yàn)證了AMP-IMM濾波算法的優(yōu)越性。

4.1 算例1

1)仿真場(chǎng)景和模型轉(zhuǎn)移概率。彈道射程為2 035 km,導(dǎo)彈關(guān)機(jī)時(shí)間為75 s,共飛行1 354 s.雷達(dá)與彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)之間距離為1 643 km,雷達(dá)測(cè)量距離噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20m,測(cè)量仰角和方位角噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為1°,噪聲均為高斯噪聲,采樣時(shí)間T=1 s.仿真生成軌跡如圖1所示。軌跡上打點(diǎn)部分為雷達(dá)可觀測(cè)到的部分彈道,在導(dǎo)彈發(fā)射后30 s雷達(dá)開(kāi)始能夠探測(cè)到導(dǎo)彈,到第460 s以后雷達(dá)探測(cè)不到導(dǎo)彈,其中雷達(dá)能夠探測(cè)到導(dǎo)彈的時(shí)間共430 s.

圖1 彈道軌跡與雷達(dá)測(cè)量值Fig.1 Ballistic trajectory and radar data

圖2 模型轉(zhuǎn)移概率Fig.2 Transferring probability ofmodel

圖3 IMM算法下兩種模型對(duì)應(yīng)概率Fig.3 Probabilities of twomodels with IMM algorithm

2)兩種算法模型概率對(duì)比。圖3和圖4分別是IMM算法和AMP-IMM算法下CA模型與CV模型概率對(duì)比圖。從兩圖中均可以看出,在導(dǎo)彈關(guān)機(jī)前CA模型概率明顯大于CV模型概率,起主導(dǎo)作用,在導(dǎo)彈關(guān)機(jī)后情況恰好相反,CV模型起主導(dǎo)作用。對(duì)比圖2和圖3,可以看出,AMP-IMM算法壓縮不匹配模型信息,放大匹配模型信息,圖中表現(xiàn)為,在導(dǎo)彈關(guān)機(jī)前使得匹配的CA模型的概率更大,不匹配的CV模型的概率更小,導(dǎo)彈關(guān)機(jī)后使得匹配的CV模型的概率更大,不匹配的CA模型的概率更小。另外,模型切換過(guò)程中IMM算法過(guò)渡時(shí)間大概從75 s到140 s,共65 s;AMP-IMM算法過(guò)渡時(shí)間大概從75 s到100 s,共25 s.顯然AMP-IMM算法的模型切換速度更快,過(guò)渡時(shí)間明顯減小,這就有效地降低了不匹配模型對(duì)狀態(tài)估計(jì)的不利影響。

圖4 AMP-IMM算法下兩種模型對(duì)應(yīng)概率Fig.4 Probabilities of twomodels with AMP-IMM algorithm

3)兩種算法狀態(tài)誤差對(duì)比分析。仿真采用Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)評(píng)估兩算法的有效性。取均方根誤差(RMSE)為仿真結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo),RMSE定義為

式中:N為Monte Carlo仿真次數(shù);i為第i次仿真; xi(k|k)、^xi(k|k)為第i次仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的實(shí)際狀態(tài)及目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。采樣周期T=1 s,Monte Carlo仿真次數(shù)為50,運(yùn)行步數(shù)為430步。

圖5～圖7為算例1的位置均方根誤差圖,圖8～圖10為算例1的速度均方根誤差圖、綜合位置和速度均方根誤差可得,提出后驗(yàn)修正馬爾可夫矩陣多模交互算法很好地運(yùn)用到了彈道導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題上,和傳統(tǒng)交互多模型進(jìn)行比較可以看出,AMP-IMM算法運(yùn)動(dòng)模型之間的切換更為合理,跟蹤精度更高,可以進(jìn)一步滿足雷達(dá)航跡跟蹤要求,取得了較為理想的結(jié)果。

圖5 X向位置RMSEFig.5 RMSE of position in direction X

4.2 算例2

圖6 Y向位置RMSEFig.6 RMSE of position in direction Y

圖7 Z向位置RMSEFig.7 RMSE of position in direction Z

圖8 X向速度RMSEFig.8 RMSE of velocity in direction X

1)仿真場(chǎng)景和模型轉(zhuǎn)移概率。彈道射程為2 092 km,導(dǎo)彈關(guān)機(jī)時(shí)間為80 s,共飛行1 372 s.雷達(dá)與彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)之間距離為1 857 km,雷達(dá)測(cè)量距離噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為22m,測(cè)量仰角和方位角噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為1.1°,噪聲均為高斯噪聲,采樣時(shí)間T= 1 s.仿真生成軌跡如圖11所示。軌跡上打點(diǎn)部分為雷達(dá)可觀測(cè)到的部分彈道,在導(dǎo)彈發(fā)射后32 s雷達(dá)開(kāi)始能夠探測(cè)到導(dǎo)彈,到第447 s以后雷達(dá)探測(cè)不到導(dǎo)彈,其中雷達(dá)能夠探測(cè)到導(dǎo)彈的時(shí)間共412 s.模型轉(zhuǎn)移概率計(jì)算同算例1.

圖9 Y向速度RMSEFig.9 RMSE of velocity in direction Y

圖10 Z向速度RMSEFig.10 RMSE of velocity in direction Z

圖11 彈道軌跡與雷達(dá)測(cè)量值Fig.11 Ballistic trajectory and radar data

圖12和圖13分別是IMM算法和AMP-IMM算法下CA模型與CV模型概率對(duì)比圖。模型切換過(guò)程中IMM算法過(guò)渡時(shí)間大概從80 s到150 s,共70 s,AMP-IMM算法過(guò)渡時(shí)間大概從80 s到115 s,共35 s.

3)兩種算法狀態(tài)誤差對(duì)比分析。采樣周期T= 1 s,Monte Carlo仿真次數(shù)為50,運(yùn)行步數(shù)為416步。

圖12 IMM算法下兩種模型對(duì)應(yīng)概率Fig.12 Probabilities of twomodels with IMM algorithm

圖13 AMP-IMM算法下兩種模型對(duì)應(yīng)概率Fig.13 Probabilities of twomodelswith AMP-IMM algorithm

圖14～圖16為算例2的位置均方根誤差圖,圖17～圖19為算例2的速度均方根誤差圖,其結(jié)果再次驗(yàn)證了本文所提算法的優(yōu)越性,后驗(yàn)修正馬爾可夫矩陣多模交互算法能夠在線調(diào)整馬爾可夫矩陣參數(shù),比傳統(tǒng)交互多模型算法跟蹤精度更高,能夠及時(shí)在兩運(yùn)動(dòng)模型間進(jìn)行切換。

圖14 X向位置RMSEFig.14 RMSE of position in direction X

綜合兩算例仿真結(jié)果:本文基于一種后驗(yàn)信息修正馬爾可夫矩陣的自適應(yīng)交互多模型跟蹤算法(兩模型),通過(guò)后驗(yàn)信息的變化來(lái)在線調(diào)整馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣,成功運(yùn)用于彈道導(dǎo)彈初始段到自由段的連續(xù)性跟蹤,仿真結(jié)果表明該方法比傳統(tǒng)多模交互算法模型切換速度更快,過(guò)渡時(shí)間更短,跟蹤精度更高,在彈道導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題上具有重大意義。

圖15 Y向位置RMSEFig.15 RMSE of position in direction Y

圖16 Z向位置RMSEFig.16 RMSE of position in direction Z

圖17 X向速度誤差RMSEFig.17 RMSE of velocity in direction X

圖18 Y向速度誤差RMSEFig.18 RMSE of velocity in direction Y

圖19 Z向速度誤差RMSEFig.19 RMSE of velocity in direction Z

5 結(jié)論

本文在IMM算法基礎(chǔ)上,提出了一種兩模型馬爾可夫參數(shù)值自適應(yīng)調(diào)整算法,可在線自適應(yīng)調(diào)整馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣,并應(yīng)用于彈道導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題上。通過(guò)仿真計(jì)算可以得出:對(duì)于兩模型情況, AMP-IMM算法可以克服IMM算法中概率轉(zhuǎn)移矩陣參數(shù)固定不變的局限,利用誤差壓縮比修正模型切換概率,使得彈道跟蹤模型之間切換時(shí)間更短,模型切換更為合理準(zhǔn)確,同時(shí)提高了濾波精度,對(duì)彈道導(dǎo)彈連續(xù)性跟蹤問(wèn)題具有一定的理論參考價(jià)值。

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Research on Ballistic M issile Tracking Based on Adaptive M arkov Parameter IMM

FENG Pu-wen1,HUANG Chang-qiang1,CAO Lin-ping1,XIANG Meng2,REN Yang1
(1.College of Aeronautics and Astronautics Engineering Institute,Air Force Engineering University,Xi'an 710038,Shaanxi,China; 2.Aviation College of Xi'an,Huxian 710306,Shaanxi,China)

How to consecutively track the boost phase and coast phase transitionswithout any prior information has become a pressing issue.Solving the problem with interacting multiple model is a feasible method.Since the Markov parameter of conventional interacting multiple model is constant,the model switching slows down.An adaptive Markov parameter IMM(AMP-IMM)algorithm is developed based on themodification of posterior information.The Markov transition probabilities can bemodified adaptively in the process of filtering by omitting the information of non-matchingmodel and magnifying thematching model information simultaneously during switching.The algorithm accelerates system convergence speed. Simulation results show that the proposed algorithm can consecutively track BM from the boost phase to the coast phase and ismore effective than the conventional interactingmultiplemodel.

ordnance science and technology;ballisticmissile;extended Kalman filter;interactingmultiplemodel;Markovmatrix;posterior information

TP391

A

1000-1093(2014)12-2041-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.016

2014-05-07

航空科學(xué)基金項(xiàng)目(20105196016)

封普文(1985—),男,博士研究生。E-mail:13649231485@139.com;

黃長(zhǎng)強(qiáng)(1962—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:619312243@qq.com