孫明瑋,張利民,陳增強

(1.南開大學計算機與控制工程學院,天津 300071;2.遼寧工程技術大學機械工程學院,遼寧阜新 123000)

導彈三回路過載駕駛儀設計頻帶的靈敏度分析方法

孫明瑋1,張利民2,陳增強1

(1.南開大學計算機與控制工程學院,天津 300071;2.遼寧工程技術大學機械工程學院,遼寧阜新 123000)

對于工程上常用的導彈三回路過載控制,由于氣動力的不確定性分離在耦合的對象環(huán)節(jié)中,使得傳統(tǒng)穩(wěn)定裕度的物理意義無法直接體現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)對于特征參數不確定性的魯棒適用范圍。通過將過載控制設計進行帶寬參數化處理,然后采用D-分解方法通過圖形的方式顯示操縱力矩和恢復力矩系數對于閉環(huán)設計帶寬的靈敏度,從整體上刻畫系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。數值仿真結果表明,所提分析方法可以準確給出閉環(huán)系統(tǒng)對于主要不確定性因素的適用范圍,同時揭示了設計帶寬對于靜不穩(wěn)定與靜穩(wěn)定導彈的不同靈敏度變化規(guī)律,說明操縱力矩系數是重要的角速度反饋增益的決定因素。

飛行器控制、導航技術；三回路駕駛儀；魯棒性；靈敏度；頻帶

0 引言

目前,高性能空空以及防空導彈的末制導階段普遍采用三回路過載控制,在提高導彈機動性的同時,保證了姿態(tài)的穩(wěn)定[1-2]。三回路過載控制自從美國雷神公司首次在麻雀導彈上應用以來,目前已經在全球范圍內得到普遍推廣,國內外學者在性能分析[3-7]、設計方法[8-11]以及算法改進[12-13]等方面開展了一些針對性的研究。

三回路過載控制同時使用角速度、姿態(tài)與過載信息,給魯棒穩(wěn)定性分析帶來了一定困難。傳統(tǒng)的回路穩(wěn)定裕度分析可以得到綜合的魯棒性邊界,包括對象幅值和相位攝動范圍,是控制工程中常用的概念。在飛行器控制中,小擾動分析所得到的氣動力或者力矩導數信息近似刻畫了飛行器的動力學特性。因此,分析線性控制方法作用下不同氣動導數的穩(wěn)定邊界就具有十分明確的物理意義,這也就相當于工程設計中對于氣動系數的“拉偏”。穩(wěn)定裕度是一種非結構攝動,而氣動參數的攝動是一種結構化參數不確定性,二者不完全對應[14]。工程技術人員往往進行大量的試驗來摸索氣動系數等具有特定物理意義參數的穩(wěn)定邊界,比較耗時費力。對于過載控制,由于氣動參數的不確定性分布在以角速度和過載為輸出的兩個對象環(huán)節(jié)中,除了相位裕度在一定程度上體現(xiàn)動態(tài)品質的特征外,傳統(tǒng)的穩(wěn)定裕度不再具有明確的物理意義,更需要摸索氣動系數等對于閉環(huán)系統(tǒng)設計參數的靈敏度變化趨勢,從而為工程設計提供指導。特別需要指出的是,靜不穩(wěn)定導彈使用三回路過載控制時,閉環(huán)系統(tǒng)對于靜不穩(wěn)定性邊界的魯棒性研究已經引起關注[15-16],但是目前的結果更多的是經驗和近似,精確性比較欠缺。

本文重點研究標準三回路過載控制中的主要設計參數——閉環(huán)帶寬對于導彈氣動參數魯棒性邊界和重要反饋系數的影響。利用D-分割算法得到了閉環(huán)系統(tǒng)對于主導力矩系數魯棒穩(wěn)定區(qū)域的圖解求法。在數值仿真部分,通過具體例子說明了導彈不同特征參數對于閉環(huán)設計帶寬的靈敏度變化情況,確定了重要反饋系數的主導影響因素。

1 導彈主要特征參數的確定

傳統(tǒng)的導彈俯仰通道小擾動模型為

式中:?是俯仰角;θ是彈道傾角;α是攻角;ωz是俯仰角速度;δz是升降舵偏;vm是導彈速度;ay是過載;aα、aδ和aω分別是恢復、操縱與阻尼力矩系數; bα和bδ分別為升力對α和δz的導數;舵控電壓δu驅動舵機偏轉產生δz,可以近似描述為

對于(1)式所描述的導彈模型,存在5個不確定性氣動參數,但它們的不確定性范圍存在明顯差異,而且影響也不一樣:盡管動導數aω的不確定性范圍最大,但閉環(huán)阻尼主要由人工阻尼提供,因此aω的影響基本可以忽略;而兩個氣動力系數bα和bδ的準確度要遠高于氣動力矩系數aα和aδ,而后者也是工程上進行數值拉偏考核控制系統(tǒng)性能的主要因素。在工程實踐中,前者的攝動范圍在±10%以內,而后者則可以達到±30%.如果把所有的氣動系數不確定性都統(tǒng)一考慮,則會導致主要因素的穩(wěn)定邊界估計過于保守,而且計算過程過于繁瑣,所得結果實際參考價值低。因此本文結合工程實際,只考慮aα和aδ存在不確定性時的穩(wěn)定邊界,而忽略其他系數的不確定性。這為下面實施精確的靈敏度分析奠定了基礎。μ分析方法可以給出不確定參數的魯棒穩(wěn)定范圍[17-22],但由于結果是以標稱點為中心的最大魯棒穩(wěn)定正方形,此時aα和aδ二者作用是完全均等的,邊界估計趨于保守。因此需要尋求更精細的魯棒穩(wěn)定性邊界,為工程設計人員提供全面準確的系統(tǒng)評價手段。

2 三回路過載控制的參數化設計

經典的三回路過載控制如圖1所示。工程設計時忽略舵機的動態(tài)特性,采用極點配置方式:一個極點配置為實根,另一對極點配置為共軛根。為了使得系統(tǒng)調節(jié)時間最短,將3個極點配置在圓心為原點的圓周上[16],閉環(huán)共軛極點的阻尼一般選取在0.9左右,使得3個極點的位置極近。為了研究方便起見,對于駕駛儀設計進行參數化處理,以便于得到工程設計指導原則,不妨假設3個極點配置為重實根,通過ωc來描述,即閉環(huán)系統(tǒng)設計帶寬。

圖1 三回路過載控制框圖Fig.1 Block diagram of three-loop acceleration control

采用配平系數法,可以得到控制增益滿足的條件為

對于確定的導彈力學模型,三回路控制律與設計帶寬ωc一一對應。通過這種控制系統(tǒng)的參數化,可以極大簡化靈敏度分析過程,給出更加直觀的設計準則,并不失一般性。

3 基于D-分割法的三回路控制靈敏度分析

為了分析三回路過載控制對于導彈主要特征參數的靈敏度,這里采用二維的D-分割法,并遵循由一般到具體的原則。

設待研究的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為

3.1 線性系統(tǒng)一維不確定性參數的魯棒穩(wěn)定性分析

假設(7)式的系數都是某不確定參數d的線性函數,則

式中:p(s)和q(s)是兩個互質多項式。假設當d=0時,(8)式也就是標稱多項式q(s)是穩(wěn)定的。下面需要計算不確定參數d的魯棒穩(wěn)定性邊界,使得Pc(s)依然保持穩(wěn)定。顯然,這是一個經典的根軌跡求解問題,可以采用圖解法;但是為了提高求解精度和便于算法程序實現(xiàn),這里采用D-分割法。

基于D-分割法可以得到在臨界穩(wěn)定狀態(tài),有

式中:f、e、g和h都是關于ω的實數多項式。由Pc(jω)=0可得

消去(10)式中的d,可得

求得方程(11)式的正實根是ωi,即ωi∈(0,∞),表示系統(tǒng)的截止頻率。將ωi代入(10)式可得

式中:d+、d-分別為滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定條件下不確定參數d的正負攝動邊界。這些運算都可以直接通過Matlab中的求根函數roots和實數判斷函數isreal來實現(xiàn)。

3.2 線性系統(tǒng)二維不確定性參數的魯棒穩(wěn)定性分析

圖2 不確定參數魯棒穩(wěn)定區(qū)域Fig.2 Robust stability area with two uncertain parameters

3.3 三回路控制的靈敏度分析

當具體研究三回路過載控制的閉環(huán)系統(tǒng)對于aα和aδ的靈敏度時,假設

首先固定Δα=0,確定Δδ的魯棒穩(wěn)定區(qū)間。此時,閉環(huán)多項式是

式中:nr(s)和dr(s)分別是舵機的分子和分母。按照3.1節(jié)中的方法求取Δδ的魯棒穩(wěn)定區(qū)間。而當固定該區(qū)間上的特定Δδ時,對應的閉環(huán)多項式則是

按照3.1節(jié)中的方法求取對應Δα的魯棒穩(wěn)定區(qū)間。然后再采用3.2節(jié)中的方法,得到對應于特定設計帶寬ωc的二維不確定參數魯棒穩(wěn)定區(qū)域。隨著ωc的不同,該區(qū)域的變化趨勢就反映了閉環(huán)系統(tǒng)對于不同氣動參數的靈敏度特性。

4 數值實例與分析

本節(jié)分別針對靜不穩(wěn)定和靜穩(wěn)定導彈的具體例子,利用本文提出的算法,分析研究三回路過載控制設計帶寬對于主要氣動參數的靈敏度影響情況。

首先給出一個靜不穩(wěn)定導彈的例子:標稱氣動參數為aα=-149,aω=0.028,aδ=701,bα=3.029和bδ=0.778 5,舵機的阻尼系數為ξ=0.9,角頻率為ωn=70 rad/s,而vm=460m/s[23].當閉環(huán)帶寬ωc分別為5 rad/s、10 rad/s和15 rad/s時,其對應的魯棒穩(wěn)定區(qū)域分別如圖3所示,其中星號(1,1)代表標稱模型?？梢?隨著ωc的提高:閉環(huán)系統(tǒng)對于aα也就是靜不穩(wěn)定度的魯棒性提高,靈敏度下降;對于aδ的增大更加靈敏,而對于aδ的下降則更加魯棒。這也與我們的經驗知識一致:對于靜不穩(wěn)定導彈,高控制增益能對付的靜不穩(wěn)定度越大,但代價是犧牲對于舵效率增大的魯棒性。魯棒控制中的μ分析方法給出的是上述魯棒穩(wěn)定區(qū)域中最大內嵌正方形的邊長信息,而本文方法則給出了全局而且直觀的魯棒穩(wěn)定對應關系。需要注意的是,在Δδ方向上,最大負向攝動不能超過-1,否則會出現(xiàn)控制極性反向的問題;但是對于Δα,根據靜不穩(wěn)定特性設計的閉環(huán)控制系統(tǒng)對于靜穩(wěn)定特性(aα反向)依然具有很充足的魯棒性。對于本例,當ωc=5 rad/s時,閉環(huán)系統(tǒng)對于aα很靈敏;而當ωc=15 rad/s時,閉環(huán)系統(tǒng)對于aδ很靈敏。這說明,對于靜不穩(wěn)定導彈,閉環(huán)設計帶寬必須要適中,以平衡對于aα和aδ的靈敏度。為了驗證所得魯棒穩(wěn)定邊界的準確性,下面考慮ωc=10 rad/s時的邊界點(1.351,3.8),分別考慮邊界內點(1.351,3.75)和外點(1.351,3.85),二者的單位階躍分別如圖4和圖5所示,可見魯棒穩(wěn)定邊界計算的精確性。

圖3 對應不同設計頻帶的參數魯棒穩(wěn)定區(qū)域:靜不穩(wěn)定情形Fig.3 Robust stability areaswith respect to different design bandwidths:statically unstable case

圖4 魯棒穩(wěn)定區(qū)域邊界臨近內點對應階躍響應Fig.4 Step response corresponding to the inner point closing to the boundary of the robust stability area

三回路過載控制綜合使用了角速度、角度和過載信息,其中角速度信息往往含有大量的振動信號等測量噪聲,使得角速度反饋增益一般不能取得過大,否則會造成舵機的疲勞,嚴重時導致過熱損傷。因此,研究角速度反饋增益與設計帶寬的關系也十分重要,這直接涉及到工程可實現(xiàn)性問題。對于本例,當aα和aδ取標稱值以及分別上下攝動±50%時,其對應的kd分別如圖6和圖7所示。圖6顯示,恢復力矩的變化對于kd影響很小,基本可以忽略;而圖7顯示,操縱力矩對于kd的影響近似呈現(xiàn)出一種反比關系:aδ越大,kd越小。

圖5 魯棒穩(wěn)定區(qū)域邊界臨近外點對應階躍響應Fig.5 Step response corresponding to the outer point closing to the boundary of the robust stability area

圖6 對應于恢復力矩系數變化的kd與ωc關系Fig.6 Relationship between kdandωcin terms of varying aα

圖7 對應于操縱力矩系數變化的kd與ωc關系Fig.7 Relationship between kdandωcin terms of varying aδ

對于靜穩(wěn)定導彈,采用同樣方法進行分析。設標稱氣動參數為aα=250,aω=1.5,aδ=280,bα= 1.6和bδ=0.23,舵機的參數與前面靜不穩(wěn)定例子相同,而vm=914.4m/s[15].按照同樣的步驟,可以繪制出對應于ωc為5 rad/s、10 rad/s和15 rad/s時的魯棒穩(wěn)定區(qū)域分別如圖8所示。由圖8可見,對于靜穩(wěn)定導彈,設計帶寬對于不同氣動參數的靈敏度影響不再具有特定的趨勢,需要具體情況具體分析。通過對比圖3可見,靜穩(wěn)定導彈對于恢復力矩系數aα的適應范圍小于相應閉環(huán)帶寬的靜不穩(wěn)定導彈,特別是對于靜不穩(wěn)定特性(aα反向)的鎮(zhèn)定范圍比較小。隨著閉環(huán)帶寬的提高,能夠適應的靜不穩(wěn)定特性范圍增大,這也與經驗知識相吻合:閉環(huán)帶寬提高則對應的反饋系數也增加,對于開環(huán)靜不穩(wěn)定具有更強的鎮(zhèn)定作用。對于操縱力矩aδ的不確定性適用范圍,通過圖8可以看出并不像圖3的靜不穩(wěn)定導彈那樣具有一定的單調性。但是從整體而言,閉環(huán)帶寬比較低的時候,無論是對于恢復力矩還是操縱力矩系數,魯棒性范圍都比較小。因此,在工程實踐中,對于靜穩(wěn)定導彈,三回路過載駕駛儀閉環(huán)帶寬選得太低并不能以犧牲動態(tài)品質為代價換取魯棒性的提高。

圖8 對應不同設計頻帶的參數魯棒穩(wěn)定區(qū)域:靜穩(wěn)定情形Fig.8 Robust stability areas with respect to different design bandwidths:statically stable case

與靜不穩(wěn)定導彈的例子對應,進一步研究靜穩(wěn)定導彈角速度反饋增益與設計帶寬的關系。對于本文的例子,當aα和aδ取標稱值以及上下攝動±50%時,其對應的kd分別如圖9和圖10所示。從中可見,與靜不穩(wěn)定情形一樣,恢復力矩的變化對于kd的影響很小,而操縱力矩對于kd的影響近似呈現(xiàn)出一種反比關系。這充分說明,無論導彈靜穩(wěn)定與否,當操縱效率越低時,實施控制的難度都越大。為了保證制導精度,需要閉環(huán)帶寬比較高;但是反饋增益的限制使得過高的帶寬難以實現(xiàn)。因此,這些性能需要進行折中。

圖9 對應于恢復力矩系數變化的kd與ωc關系:靜穩(wěn)定情形Fig.9 Relationship between kdandωcin terms of varying aα:statically stable case

圖10 對應于操縱力矩系數變化的kd與ωc關系:靜穩(wěn)定情形Fig.10 Relationship between kdandωcin terms of varyingαδ:statically stable case

5 結論

對導彈三回路過載控制進行了帶寬參數化處理,采用D-分割算法通過圖形化的方式,給出了主導力矩系數(恢復力矩系數和操縱力矩系數)的靈敏度分析方法。所得結果全面準確地描述了閉環(huán)系統(tǒng)對于二維不確定參數的魯棒穩(wěn)定區(qū)域,不再具有保守性。分別結合靜不穩(wěn)定和靜穩(wěn)定導彈的具體實例分析,得到了閉環(huán)設計帶寬對于不同氣動參數靈敏度的影響規(guī)律,明確了設計中的相互制約因素,特別指出影響重要的角速度反饋系數直接與操縱力矩系數相關。這些方法和結果為工程實際中應用三回路過載控制提供了一個有益參考,彌補了實用化魯棒性分析方法的欠缺。

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Sensitivity Analysis of Design Bandw idth of M issile Three-loop Acceleration Control

SUN Ming-wei1,ZHANG Li-min2,CHEN Zeng-qiang1
(1.College of Computer and Control Engineering,Nankai University,Tianjin 300071,China;
2.School of Mechanical Engineering,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,Liaoning,China)

Because the aerodynamic uncertainties of amissile are distributed in the coupling subsystems for the popularly used three-loop acceleration autopilot,the traditional stability margins are unable to illustrate the robust range of the closed-loop system in relative to the uncertain characteristic parameters. The acceleration control is parameterized by using a design bandwidth,and then the closed-loop sensitivity of the restoring and manipulation moment coefficientswith regard to this bandwidth is investigated in a unified manner bymeans of the D-decompositionmethod.The robust stability of the closed-loop system is described.The numerical examples demonstrate that the proposedmethod can provide the accurate robust stability boundary of the closed-loop system to the primary uncertain factors,revealing the variation rule of the sensitivity of the bandwidth to statically unstable and stablemissiles.The key factor in determining the crucial angular velocity gain is also specified as themanipulation moment coefficient.

control and navigation technology of aerocraft;three-loop autopilot;robustness;sensitivity; frequency bandwidth

V448

A

1000-1093(2014)12-2023-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.014

2014-01-09

國家自然科學基金項目(61174094、61273138);天津市自然科學基金項目(13JCYBJC17400)

孫明瑋(1972—),男,副教授,碩士生導師。E-mail:smw_sunmingwei@163.com