張領科,趙峰,余永剛

(1.南京理工大學能源與動力工程學院,江蘇南京 210094;2.中國人民解放軍63870部隊,陜西華陰 714200)

一種小子樣情況下的彈道一致性評定方法

張領科1,趙峰2,余永剛1

(1.南京理工大學能源與動力工程學院,江蘇南京 210094;2.中國人民解放軍63870部隊,陜西華陰 714200)

為在小樣本情況下進行彈道一致性的評定,基于正態(tài)分布小樣本相容性理論給出一種彈道一致性評定方法。該方法主要通過將計算的順序統(tǒng)計量與計算機模擬的臨界值進行比較判定。主要優(yōu)點是不需計算位置-尺度估計值,從而減小由于樣本容量小而帶來的計算誤差。通過算例分析表明:在樣本數量較少(n≤5)的情況下,該方法與常規(guī)的配對t檢驗法和概率圓序貫檢驗法相比,都具有一定的優(yōu)勢。

兵器科學與技術；彈道試驗；彈道一致性；小樣本；相容性；評定方法

0 引言

隨著新型彈箭的不斷涌現,同一門火炮配備幾種彈是常見的;為便于作戰(zhàn),希望多彈能通用射表,故要求其彈道基本一致。嚴格意義上的彈道一致是不存在的,為此,通常采用數量統(tǒng)計的方法檢驗其平均彈道的一致性[1-2]。彈道一致性評定通常采用配對t檢驗法,文獻[3]從工程應用出發(fā),指出該檢驗法的檢驗結果受樣本容量的影響較大,隨著樣本容量的增加,檢驗界限縮小。文獻[4]從假設檢驗的角度指出,增大樣本容量,有利于減小存?zhèn)胃怕?提高檢驗質量,并借鑒美國陸軍試驗操作規(guī)程給出了一種調和接受界的彈道一致性界定方法,該方法是基于每組10發(fā)且均方差需通過F檢驗為基本一致。文獻[1]從保證一定的棄真概率且減小存?zhèn)胃怕式嵌戎赋?兩種彈至少試驗3組各7發(fā),這也是GJB349.17—1989中規(guī)定單個射距的最小試驗用彈量。通用射表要求全射程范圍通用,因此,即便是只對遠、中、近3個射距進行彈道一致性試驗,用彈量至少126發(fā),耗費巨大。自助法與隨機加權法是目前廣泛采用的小子樣數據處理方法,不必對未知分布做任何假設,采用計算機再抽樣的方法將小樣本變成大樣本再進行統(tǒng)計分析[5-6],但與真實分布存在的偏差不容忽略,且與現場試驗數據有很強的依賴性[7]。文獻[8]給出了一種基于圓概率序貫法的彈道一致性檢驗方法,在一定程度上能夠減小被檢驗彈的用彈量,但需給出對比彈的概率圓半徑。本文基于來自正態(tài)分布小樣本的相容性理論,從“相容性”反映“一致性”的角度出發(fā),提出了一種小樣本情況下的彈道一致性評定方法。

1 彈道一致與通用射表的含義

平均彈道一致是在某種意義上的一致,如兩彈在同一射角上平均射程只要在允許的范圍內;兩彈同一射角和同一方位角對空中同一點射擊的坐標與飛行時間差在允許的范圍;兩彈對目標的命中概率大致相同等[1-2]。所謂的“允許范圍”就是某一檢驗接受界,因此,彈道一致性的檢驗就轉變成了兩樣本均值差值為0的假設檢驗問題,通常采用配對樣本t檢驗。

通用射表強調彈道關鍵諸元相差不大,即是說可以存在略微差異,只要對射擊效果影響不大。因此,假如兩種彈在相同的射擊條件下射擊,落點坐標或炸點坐標認為“基本”來自同一正態(tài)分布,就可認為兩彈滿足彈道一致性,從而可以通用射表。故從判定樣本相容性的角度出發(fā),可以對小樣本的彈道一致性進行判定。

2 小樣本相容性檢驗理論

2.1 小樣本相容性非參數檢驗分析

小樣本數據的相容性檢驗問題是已知數據的分布類型,檢驗其是否服從同一總體分布,比如武器系統(tǒng)試驗中的驗前與驗后樣本的相容性檢驗。采用小樣本對總體進行推斷,通常犯錯誤的概率較大。盡管Kolmogorov的非參數檢驗理論可用于小樣本總體檢驗,但存在很大的局限性,甚至導致檢驗失效。文獻[9]采用計算機仿真的方法針對t檢驗法、K-S法與Wilcoxon秩和檢驗法的檢驗功效進行了比較分析,結果表明,在總體基本服從正態(tài)分布的情況下,t檢驗功效最好,后兩種非參數檢驗法最差。即便如此,要保證存?zhèn)胃怕市∮?0%,抽樣樣本容量應大于10,因此,對于小樣本(t≤10)的情況,都是不適用的。

2.2 正態(tài)分布小樣本相容性檢驗基本思路

目前,對于服從正態(tài)分布的小子樣相容性檢驗的基本思路是:1)對兩組樣本按照從小到大的次序排列,產生順序樣本;2)構造變尺度順序統(tǒng)計量K; 3)通過計算機仿真、確定顯著水平α下的臨界值; 4)將順序統(tǒng)計量計算值與臨界值比較,做出推斷。

設總體X:N(μ,σ2),x1,x2,…,xn是X的一個樣本,將x1,x2,…,xn按從小到大的順序排列,得到次序統(tǒng)計量x(1),x(2),…,x(n).計算次序統(tǒng)計量

式中:1≤i＜j＜k≤n.

文獻[10]給出了一種針對n=3,n=4與n≥5時的判定準則。文獻[11]對統(tǒng)計量Kijk進行了重新的證明,并指出了文獻[10]中存在的缺陷,針對n= 3給出了概率密度函數,對于n≥4的情況,建議采用計算機模擬的方法計算臨界值。文獻[12]試圖不通過求解臨界值,采用相關函數的方法對小樣本數據的融合性進行判斷,但建議采用Bootsrap方法對數據進行再抽樣,這樣就會可能出現文獻[7]中提到數據依賴情況。文獻[13]把對全體順序樣本統(tǒng)計量的檢驗簡化為只對最小與最大兩端數據的相容性判定,類似于“極差法”異常值剔除,操作方便,但對數據的“同分布”檢驗,本文認為證據不足。文獻[14]將3樣本統(tǒng)計量Kijk擴充到4樣本統(tǒng)計量Zr,p,q,s,

式中:1≤r＜p＜q＜s≤n,采用計算機模擬的方法給出了顯著水平為α時的上下α/2的分位數。文獻[11]與文獻[13]的基本思路是一致的,計算機模擬統(tǒng)計量臨界分位數是可行的[15-16]。

3 小樣本彈道一致性評定方法

3.1 問題的提出

假如檢驗彈在某射距上的落點坐標為(x1i, z1i),1≤i≤m;被檢驗彈在該射距上的落點坐標為(x2j,z2j),1≤j≤n;為體現被檢驗彈的小子樣特性,取n≤m≤10,檢驗兩種彈是否滿足彈道一致性。

3.2 評定方法

以坐標x進行說明。將x1i與x2j按從小到大的順序進行排列,得到順序統(tǒng)計量x(1),x(2),…,x(M), M=m+n,取3樣本Kijk作為檢驗統(tǒng)計量,計算方法如(1)式。給定顯著水平α,確定臨界值z,對于M個樣本,將有C個統(tǒng)計量,對應C個臨界值z.

評定方法:若Kijk(1≤i＜j＜k≤M)均滿足Kijk≤z,則有理由認為兩彈滿足彈道一致性;若出現任一Kijk滿足Kijk＞z,則有理由認為兩彈不滿足彈道一致性。

3.3 臨界值的確定

3.3.1 樣本容量n=3

設總體X～N(μ,σ2),X(1),X(2),X(3)是來自總體X的樣本順序統(tǒng)計量,則順序比率統(tǒng)計量K123= (X(2)-X(1))/(X(3)-X(1)),0≤K123≤1.K123的概率累積分布函數

基于F1(z),可以反求出置信水平為α時的臨界值,當α=0.05時,下分位數z0.05=0.058 7,上分位數z0.95=0.941 3.

3.3.2 樣本容量n=4,5

設總體X～N(μ,σ2),X(1),X(2),X(3),…,X(n)是來自總體X的樣本順序統(tǒng)計量,則順序比率統(tǒng)計量Kijl=(x(j)-x(i))/x(l)-x(i),1≤i＜j＜l≤n,0≤Kijl≤1.因此,當n=4時,共有=4個統(tǒng)計量,分別為K123、K124、K134與K234;當n=5時,這種情況下,共有=10個統(tǒng)計量,分別為K123、K124、K125、K134、K135、K145、K234、K235、K245與K345.對于上述兩種情況或樣本量更大時,是無法給出Kijl的具體理論分布解析式。這里采用數值模擬的方法,以n=4為例:1)采用同余法產生N組X=(x1,x2,x3,x4)～N(0,1)的樣本;2)對X的樣本值按由小到大進行排序,獲得其順序統(tǒng)計量x(1),x(2),x(3),x(4),對每組分別計算K123、K124、K134與K234;3)以K123為例,將區(qū)間[0,1]分成M個等間距子區(qū)間,離散點值為zi(1≤i≤M),分別統(tǒng)計K123落在每個區(qū)間的頻數NPi(1≤i≤M),從而計算每個區(qū)間平均概率fN(zi),得到K123的離散概率密度fN(z);4)對fN(zi)在區(qū)間[0,1]上求和,即從而得到K123離散概率累積分布FN(z);5)分別重復1～4步驟NC次,求FN(z)的平均值,作為最后K123的累積概率密度分布。采用上述方法,可得到K124、K134與K234的概率密度函數和累積概率密度函數。同理,樣本容量n=5時可得到10個統(tǒng)計量的累積概率密度分布函數。取N=50 000 000,NC=10 000,計算得到上述兩種情況的累積概率密度分布函數分別如圖1與圖2所示。

圖1 n=4時的累積概率密度分布Fig.1 Cumulative probability density distribution for n=4

圖2 n=5時的累積概率密度分布Fig.2 Cumulative probability density distribution for n=5

反求臨界值并對每一個臨界值進行5 000萬次抽樣模擬,結果如表1與表2所示。

表1 z(M=4)Tab.1 z(M=4)

表1 z(M=4)Tab.1 z(M=4)

zα ijk(1≤i＜j＜k≤4),α=0.05 z123 z124 z134 z234 0.954 9 0.765 2 0.967 0 0.930 7

表2 z(M=5)Tab.2 z(M=5)

表2 z(M=5)Tab.2 z(M=5)

zα ijk(1≤i＜j＜k≤5),α=0.05 z1230.959 3 z1450.976 0 z1240.806 1 z2340.946 1 z1250.642 2 z2350.724 6 z1340.975 9 z2450.961 0 z1350.844 1 z3450.926 0

4 算例分析

取文獻[8]中檢驗彈與被檢驗彈Y坐標中的前5組數據,如表3所示,其中Y1為檢驗彈,Y2為被檢驗彈。

表3中兩彈均有5發(fā)試驗數據,為了說明第3節(jié)中小子樣彈道一致性的評定方法應用,這里僅討論3種情況。

4.1 3樣本

鑒于被檢驗彈盡量小樣本的原則,取Y1的前2個樣本與Y2的第1個樣本,構成順序樣本序列(12.451m,15.889m,17.830m),按(1)式計算得K123=0.639 2,由3.3節(jié)可知,當α=0.05,z123= 0.941 3,K123＜z123,故有理由認為兩彈滿足彈道一致性。

4.2 4樣本

取Y1的前2個樣本與Y2的前2個樣本,構成順序樣本序列(12.451 m,13.002 m,15.889 m, 17.830m),按(1)式計算的次序統(tǒng)計量Kijk(1≤i＜j＜k≤4)的值如表4所示。

表4 Kijk計算值(M=4)Tab.4 Kijkvalues(M=4)

由表2可知,當α=0.05,K123＜z123,K124＜z124, K134＜z134,K234＜z234,故有理由認為兩彈滿足彈道一致性。

4.3 5樣本

取Y1的前3個樣本與Y2的前2個樣本,構成順序樣本序列(9.976m,12.451m,13.002m,15.889m, 17.830m),按(1)式計算的次序統(tǒng)計量Kijk(1≤i＜j＜k≤5)的值如表5所示。

表2可知,當α=0.05,對于表5中所有Kijk均滿足Kijk＜zijk,故有理由認為兩彈滿足彈道一致性。

表5 Kijk計算值(M=5)Tab.5 Kijkvalues(M=5)

綜上所述,不論是3樣本、4樣本還是5樣本,檢驗結果均是滿足彈道一致性,這與文獻[8]的檢驗結果是一致的,但是,文獻[8]用到了Y1的10個數據,Y2最少要6個數據,因此,本文的檢驗方法是行之有效的,且在樣本量上是占優(yōu)勢的。對于6樣本、7樣本等可參照進行計算判定。

5 結論

通過分析彈道一致性與通用射表的含義,提出了一種基于正態(tài)分布小子樣“相容性”的彈道一致性評定方法。該方法的主要優(yōu)點:1)不需計算其位置-尺度統(tǒng)計量,降低傳統(tǒng)方法小樣本情況下的兩類誤差風險;2)只根據現場試驗數據,不依賴歷史數據;3)相對圓概率序貫法,樣本量更小。算例結果表明該方法具有一定適用性,但仍需工程驗證與風險分析。

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An Evaluation M ethod of Ballistic Consistency under Small Sam ple Circum stance

ZHANG Ling-ke1,ZHAO Feng2,YU Yong-gang1
(1.School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China; 2.Unit63870 of PLA,Huayin 714200,Shaanxi,China)

In order to evaluate ballistic consistency under small sample circumstance,an evaluation method of ballistic consistency is proposed based on the normal distribution small sample compatibility theory.Thismethod is to compare the calculated order statistics and the simulated critical value to determine the ballistic consistency.Themain advantage is not necessary to calculate the position-scale estimate value,so it could decrease the calculation error due to small sample size.The calculation shows that thismethod is better thanmatched pair t test and probability circle sequential testunder small sample circumstance(n≤5).

ordnance science and technology;ballistic test;ballistic consistency;small sample size; compatibility;evaluation method

TJ012.36

A

1000-1093(2014)12-2124-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.028

2013-05-13

國家自然科學基金項目(51106075)

張領科(1978—),男,副研究員。E-mail:nustzlk@126.com