劉永春，王 強(qiáng)，彭豐斌

(安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，Hermite插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時(shí)還會(huì)破壞原函數(shù)的單調(diào)性[1－2］。所以本文詳細(xì)敘述構(gòu)造一個(gè)分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)(即2/2型)的過程，它具有非常好的保單調(diào)性并得以驗(yàn)證，而且是含有可調(diào)參數(shù)的。因?yàn)橥ǔ５挠欣聿逯禈訔l，初始條件一旦確定，曲線的形狀也就隨之固定了。帶有可調(diào)參數(shù)的有理插值樣條，可以通過調(diào)整相應(yīng)子區(qū)間上的可調(diào)參數(shù)，從而對(duì)曲線進(jìn)行局部的調(diào)整。用含參數(shù)分段有理函數(shù)進(jìn)行插值可解決穩(wěn)定性和保單調(diào)性問題。

1 有理插值函數(shù)的構(gòu)造

1.1 有理插值函數(shù)的構(gòu)造基礎(chǔ)

對(duì)于f(x)∈C[a，b］，記f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=d，令b－a=h，作函數(shù)

可以驗(yàn)證g(a)=fa，g(b)=fb，g'(a)=d，上述插值函數(shù)中的u，v是可調(diào)參數(shù)，一般地，取u＞0，v＞0。

用給定區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值以及其中一個(gè)端點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造了一個(gè)分子分母都是二次的有理插值函數(shù)。則對(duì)給定區(qū)間[a，b］的任意分劃a=x0＜x1＜…＜xn=b。若利用上述有理插值函數(shù)構(gòu)造[6］有理插值樣條時(shí)，只能在兩個(gè)相鄰小區(qū)間[xi，xi+1］上以f(xi1)，f(xi)，f(xi+1)，f'(xi－1)，f'(xi+1)插值構(gòu)造樣條函數(shù)s(x)，這樣就使得s(x)∈C1[a，b］，f(x)∈C1[a，b］，f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=da，f'(b)=db，b－a=h。若利用上述有理插值函數(shù)構(gòu)造有理插值樣條時(shí)，只能在兩個(gè)相鄰小區(qū)間[xi－1，xi+1］上以f(xi1)，f(xi)，f(xi+1)，f'(xi－1)，f'(xi+1)插值構(gòu)造樣條函數(shù)s(x)，這樣就使得s(x)在整個(gè)區(qū)間[a，b］上達(dá)不到C1連續(xù)。所以，利用區(qū)間端點(diǎn)的兩個(gè)函數(shù)值和兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值插值，構(gòu)造分子分母都是二次并且含有可調(diào)參數(shù)的有理插值函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)f(x)∈C1[a，b］，f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=da，f'(b)=db，b－a=h，仿照式(1)，可將g(x)寫成下述形式:

其中Δ1，Δ2是待定的不含x的多項(xiàng)式，由g'(a)=da，g'(b)=db，可得方程組

當(dāng)fa≠fb，即Δ≠0時(shí)則得到:

g(x)滿足g(a)=fa，g(b)=fb，g'(a)=da，g'(b)=db。因?yàn)橐呀?jīng)給定了四個(gè)插值條件，所以u(píng)，v中只有一個(gè)是獨(dú)立的，所以不妨令v=1，得二次有理插值多項(xiàng)式為

其中u是可調(diào)參數(shù)，u＞0。

1.2 二次有理插值樣條的構(gòu)造

在區(qū)間[a，b］上作分劃a=x1＜x2＜…＜xn=b，以f(xt)=fi，f'(xi)=di(i=0，…，n)為插值條件構(gòu)造有理插值樣條s(x)，它在子區(qū)間[xi，xi+1］上的表達(dá)式為si(x)(i=0，…，n)。si(x)按照式(2)來構(gòu)造，即x∈[xi，xi+1］，Δi≠0時(shí)

Δi=0時(shí)

為了將式(3)簡單化，不妨令t=(x－xi)/hi，則有如下的插值格式[3－4］。

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b］上有定義，區(qū)間[a，b］剖分為a=x1＜x2＜…＜xn=b。給定數(shù)據(jù)(xi，fi)，i=1，2，…，n，其中fi為被插函數(shù)在分劃點(diǎn)xi上的函數(shù)值，用di為在給定結(jié)點(diǎn)xi處的導(dǎo)數(shù)值。記hi=xi+1－xi，Δi=(fi+1－fi)/hi;令t=(x－xi)/hi，當(dāng)x∈[xi，xi+1］時(shí)，定義:

其中ui＞0為區(qū)間[xi，xi+1］上的可調(diào)參數(shù)。

2 插值函數(shù)的保單調(diào)性

定 理 (保單調(diào)性):f(x)∈C[a，b］，s(x)是上述構(gòu)造的2/2型有理樣條插值函數(shù)，其中不妨令ui=1，如果f(x)是單調(diào)的，則s(x)也是單調(diào)的，并且與f(x)的單調(diào)性一致。

證明對(duì)于x∈[xi，xi+1］，Δi≠0，

s(x)對(duì)x求導(dǎo)得:

而其中P'i(t)Qi(t)－Pi(t)Q'i(t)=+2Δit(1－t)+di(1－t)2］

因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)值滿足保單調(diào)的必要條件是

當(dāng)Δi=0時(shí)，di=di+1=0;當(dāng)Δi≠0時(shí)，sgn(di)=sgn(di+1)=sgn(Δi)。

因此s(x)在[a，b］上單調(diào)。

3 誤差分析

定理1若f(x)∈C1[a，b］，g(x)為由式(2)構(gòu)造的有理插值函數(shù)，則有

證明因?yàn)閙in{f(a)，f(b)}≤g(x)≤max{f(a)，f(b)}，又由 Lagrange 中值定理，?ξ1，ξ2，使得

而f(x)∈C1[a，b］，則有

所以|f(x)－g(x)|≤max{|f(x)－f(a)|，|f(x)－f(b)|}≤‖f'‖h=ch，其中c=‖f'‖。

定理2 設(shè)f(x)∈C1[a，b］，S(x)是按式(3)定義有理插值樣條函數(shù)，則

證明當(dāng)Δi≠0時(shí)，由定理1[5］有|f(x)－S(x)|=|f(x)－Si(x)|≤chi，x∈[xi，xi+1］。

當(dāng)Δi=0時(shí)，|f(x)－S(x)|=|f(x)－fi|≤‖f'‖hi=chi，于是在整個(gè)區(qū)間[a，b］上有|f(x)－S(x)|≤ch，(x∈[a，b］)h==‖f'‖。

給定區(qū)間[a，b］，令h=b－a，以f(a)，f(c)，f'(a)，f'(b)為初值按照式(3)插值得到有理樣條S0(x)，則由定理2[6－7］有|f(x)－S0(x)|≤ch。

把區(qū)間[a，b］等分為[a，c］，[c，b］，以f(a)，f(c)，f(b)，f'(a)，f'(c)，f'(b)為初值按照式(3)插值得到有理樣條S1(x)，則由定理2有|f(x)－S1(x)|≤繼續(xù)對(duì)區(qū)間[a，c］，[c，b］分別做二等分，…，如此下去，經(jīng)過n次等分之后，以每個(gè)分點(diǎn)處的函數(shù)值及一階導(dǎo)數(shù)值為初值，按照式(3)插值得到有理樣條Sn(x)，則由定理2有|f(x)－S(x)|≤，可以看到S(x)的逼近階達(dá)到了nn

4 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

下面通過一組單調(diào)遞減的數(shù)據(jù)(見表1)和一組單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)(見表2)分別對(duì)2/2型的分段有理插值曲線與二次多項(xiàng)式插值曲線進(jìn)行了比較[8］，在表1數(shù)據(jù)下的曲線的比較如圖1所示，圖2則是在表2數(shù)據(jù)下的曲線比較。

表1 單調(diào)遞減的數(shù)據(jù)

圖1 數(shù)據(jù)一下兩種插值曲線的比較

表2 單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)

圖2 數(shù)據(jù)二下兩種插值曲線的比較

通過圖1～圖2可知，能明顯看出來二次多項(xiàng)式插值曲線雖然有良好的光滑性，但是破壞了原數(shù)據(jù)單調(diào)的性質(zhì)，并且圖1中二次多項(xiàng)式插值曲線有明顯的震蕩，不穩(wěn)定。而本文所構(gòu)造的2/2型的分段有理插值曲線則同原數(shù)據(jù)有著一致的單調(diào)性，并且曲線變化穩(wěn)定，因此通過數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)更有力地說明了其穩(wěn)定性和保單調(diào)性的特點(diǎn)。

5 小結(jié)

針對(duì)Hermite插值的不穩(wěn)定性，構(gòu)造了分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)(即2/2型)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此有理插值的保單調(diào)性，而且適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以達(dá)到曲線的保形性。不過此插值卻不能達(dá)到C1連續(xù)，若為了解決此問題，可以在Δi=0的區(qū)間上，按照Hermite插值供述構(gòu)造Si(x)，但是后者所定義的S(x)卻會(huì)失去了保單調(diào)性。所以，本文所構(gòu)造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進(jìn)。

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