沈建偉

1 預備知識

ρ～混合序列是一類極為廣泛的相依混合序列。對于混合序列的研究已取得了不少成果。Bradley［1］研究了其極限定理；Peligrad等［2］討論了混合序列的幾乎處處收斂性；吳群英［3－5］得到了混合序列的若干收斂性質及其加權和的完全收斂性和強收斂性，并研究了ρ～混合序列的線性模型M估計的強相合性；韋靜等［6］得到了混合序列加權和最大值的幾乎處處收斂性；胡學平等［7］得到了混合序列部分和的若干收斂性質，推廣了文獻［3］中的結論；Guo等［8］研究了行混合陣列加權和的矩完全收斂性；沈建偉［9］給出了混合序列部分和的一個強大數律。

下面給出ρ～混合序列的定義及與本研究相關的一些引理。為行文方便，總是假設c代表正常數，在不

同的地方可以代表不同的值；用“?”代表通常意義下的“O”。記代表集A的示性函數。

設｛Xn，n≥1｝是定義在概率空間（Ω，A，P）上的隨機變量序列，FS＝σ（Xi，i∈S??）；Fn1＝σ（Xi，i≤n），F∞n＋k＝σ（Xi，i≥n＋k）為σ－域。在A中給定σ－域F和R。令

對k≥0，令

定義1 對隨機序列｛Xn，n≥1｝，若存在k∈?，使得（k）＜1，則稱｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列。

引理1［10］設｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，EXn＝0，E｜Xn｜p＜∞，對某些p≥2和任意n≥1，則存在與n無關的正常數D使得

引理2［11］設｛an，n≥1｝是非降的正常數列，且對某個常數c有c＜∞。若對?ε＞0，有，則

2 主要結果

定理1 設｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，｛an，n≥1｝是常數列且滿足0＜an↑∞，且對某個常數c有1≤。g（x）是定義在R R上的偶函數，且在區(qū)間x＞0中取正值、不減；函數g（x）滿足下列條件之一：

假定

在定理1中，令g（x）＝｜x｜p，p＞0，可得

推論1 設｛Xn，n≥1｝為混合序列，｛an，n≥1｝是常數列，滿足0＜an↑∞，且對某個常數c有＜p≤2，且1＜p≤2時EXn＝0。假定則→0，a.s.。

在推論1中，取an＝［n（log n）1＋δ］1／p，δ＞0，有

推論2 設｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，0＜p≤2，且1＜p≤2時EXn＝0。假定E｜Xn｜p＜∞，則對于

注：此結果直接推廣了文獻［3］中推論3的結果。

在定理1中，令g（x）＝x2，取an＝nα（log n）β，α＞0，β≥0，有

推論3 設｛Xn，n≥1｝是均值為零的ρ～混合序列，假定

定理1的證明 記Xann ＝XnI（｜Xn｜≤an）

假設g（x）滿足條件1），可得

假設g（x）滿足條件2），注意到EXn＝0可得

故無論g（x）滿足條件1）或2），都有

從而由式（1）、式（2）可得

由Kronecker引理得

由Chebyshev不等式及式（1）可知

由式（3）、式（4）及Borel－Cantelli引理可知，要證明定理成立，只需證明

假設g（x）滿足條件1），則在區(qū)間｜x｜≤an中，可得

假設g（x）滿足條件2），則在區(qū)間｜x｜≤an中，可得

因此，無論g（x）滿足條件1）或條件2），在區(qū)間｜x｜≤an中，都有

結合式（6），｛an，n≥1｝為一非降、趨于無窮的正常數列可知

由 Mar kov不等式、引理1、式（6）、式（7）和式（1）可得

由引理2可得定理1結論成立。

從定理的證明過程可知，該結果主要是利用了文獻［11］中關于證明強大數律的一般方法并結合ρ～混合序列的矩不等式得到的。利用該方法，也可得到其他一些相依序列關于強大數律的結論。

［1］ Bradley R C.On the spectral density and asy mptotic nor mality of weakly dependent random fields［J］.Journal of Theoretical Probability，1992，5（2）：355－373.

［2］ Peligrad M，Gut A.Al most－sure results for a class of dependent random variables［J］.Journal of Theoretical Probability，1999，12（1）：87－104.

［3］ 吳群英.ρ混合序列的若干收斂性質［J］.工程數學學報，2001，18（3）：58－64，50.

［4］ 吳群英.ρ混合序列加權和的完全收斂性和強收斂性［J］.應用數學，2002，15（1）：1－4.

［5］ 吳群英.ρ～混合線性模型 M 估計的強相合性［J］.數學物理學報，2005，25（1）：41－46.

［6］ 韋靜，唐國強.ρ～混合隨機變量序列加權和最大值的幾乎處處收斂性［J］.桂林理工大學學報，2011，31（4）：633－636.

［7］ 胡學平，桂春燕.ρ～混合序列部分和的若干收斂性質［J］.數學雜志，2012，32（3）：521－528.

［8］ Guo M L，Dong J，Ren Y.Complete mo ment conver gence of weighted su ms for arrays of rowwiseρ＊－mixing rando m variables［J］.應用數學，2013，26（1）：18－27.

［9］ 沈建偉.ρ～混合序列的一個強大數律［J］.浙江科技學院學報，2013，25（5）：325－328.

［10］ Utev S，Peligrad M.Maxi mal inequalities and an invariance principle f or a class of weakly dependent random variables［J］.Jour nal of Theoretical Probability，2003，16（1）：101－115.

［11］ Yang S C，Su C，Yu K M.A general method to the strong law of large numbers and its applications［J］.Statistics ＆Probability Letters，2008，78（6）：794－803.