鞠魯峰 王群京 李國(guó)麗 胡存剛 錢 喆

（1.合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院 合肥 230009 2.安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 合肥 230601）

1 引言

可實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動(dòng)的球形電動(dòng)機(jī)對(duì)機(jī)器人、機(jī)械手等做空間多維運(yùn)動(dòng)的精密裝置意義重大，它可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的復(fù)雜程度，減小系統(tǒng)的體積，提高整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)定性和定位精度。

球形電機(jī)本體的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)球形電機(jī)磁場(chǎng)以及轉(zhuǎn)矩特性有著直接的影響，因此，對(duì)球形電機(jī)本體結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，是球形電機(jī)的研究過(guò)程中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。由于球形電機(jī)本身結(jié)構(gòu)復(fù)雜，若采用傳統(tǒng)的有限元法建立數(shù)學(xué)模型，由于球形電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算中，需要進(jìn)行非常多次迭代，因此，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。所以，筆者提出利用支持向量機(jī)進(jìn)行球形電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)的方法。

支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM） 是一種建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則盡量提高分類器的泛化能力[1]，即在由有限的訓(xùn)練樣本獲得小誤差的情況下，仍然能夠保證對(duì)獨(dú)立測(cè)試集的小誤差[2]。SVM在使用過(guò)程中一個(gè)突出問(wèn)題是模型參數(shù)的選擇。對(duì)于不同的樣本空間數(shù)據(jù)，不同的參數(shù)選取，將會(huì)對(duì)最終的分類及回歸結(jié)果產(chǎn)生非常大的影響[3]。一般支持向量機(jī)的參數(shù)選擇都是憑借經(jīng)驗(yàn)法或?qū)嶒?yàn)法，這樣不僅計(jì)算量大、效率低，而且選取的參數(shù)往往不是全局最優(yōu)參數(shù)，限制了支持向量機(jī)的應(yīng)用。為了克服這些缺陷，目前比較常用的 SVM 參數(shù)尋優(yōu)方法包括：網(wǎng)格尋優(yōu)算法[4]、基于遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）的尋優(yōu)算法[5]、基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的尋優(yōu)算法[6,7]等。

本文針對(duì)球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與轉(zhuǎn)矩的樣本數(shù)據(jù)，分別利用網(wǎng)格尋優(yōu)算法、GA尋優(yōu)算法、PSO尋優(yōu)算法來(lái)計(jì)算球形電機(jī) SVM 模型的最優(yōu)參數(shù)，分別比較三種算法得到的參數(shù)，從而獲得最佳方案。

2 球形電機(jī)有限元分析

在對(duì)永磁球形電機(jī)建立 SVM 模型之前，首先需要建立訓(xùn)練集，即樣本空間。本文研究的球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。轉(zhuǎn)子由平行于赤道面的4層圓柱形磁極組成，24個(gè)定子線圈等緯度間隔分布在赤道面兩側(cè)。轉(zhuǎn)子輸出軸末端用于電機(jī)三自由度轉(zhuǎn)矩的輸出。

圖1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Model of the permanent magnet stepper motor

由于永磁球形電動(dòng)機(jī)本體復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，以及定轉(zhuǎn)子磁極不對(duì)稱等，所以對(duì)球形電機(jī)整體轉(zhuǎn)矩的分析還缺少系統(tǒng)有效的分析方法。目前主要的方法是首先用積分方程法對(duì)電機(jī)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上利用麥克斯韋張量法對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算[8]。因?yàn)橛来徘蛐坞妱?dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子沒(méi)有導(dǎo)磁性能材料，所以整個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩模型可用單個(gè)定轉(zhuǎn)子磁極對(duì)相互作用模型來(lái)疊加。圖2所示為單個(gè)定轉(zhuǎn)子磁極對(duì)模型示意圖。圖3為計(jì)算得到的單個(gè)定轉(zhuǎn)子磁極對(duì)的轉(zhuǎn)矩特性曲線。

圖2 單個(gè)定轉(zhuǎn)子磁極對(duì)示意圖Fig.2 Schematic diagram of one pair of stator-rotor poles

圖3 單個(gè)定轉(zhuǎn)子磁極對(duì)轉(zhuǎn)矩特性曲線Fig.3 The torque characteristic curve of one pair of stator-rotor poles

永磁球形步進(jìn)電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)包括：定轉(zhuǎn)子極之間的夾角（失調(diào)角）θ、轉(zhuǎn)子半徑R、轉(zhuǎn)子磁極半徑r、轉(zhuǎn)子磁極高h(yuǎn)、電機(jī)氣隙g、線圈總安匝數(shù)NI、定子線圈長(zhǎng)度 L、線圈孔徑d、線圈外徑D等。從圖3可知，轉(zhuǎn)矩隨失調(diào)角θ基本呈線性變化。所以，固定失調(diào)角θ=10°，分別以轉(zhuǎn)子磁極半徑r、轉(zhuǎn)子磁極高h(yuǎn)、電機(jī)氣隙g、轉(zhuǎn)子半徑R、線圈總安匝數(shù)NI、定子線圈長(zhǎng)度L、線圈孔徑d和線圈外徑D作為特征屬性，建立樣本空間。表1所示為特征屬性的取值分布。理論上，一共可以獲得48個(gè)樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[9]，選取 150個(gè)樣本數(shù)據(jù)。其中，100個(gè)用來(lái)作為訓(xùn)練集，50個(gè)作為測(cè)試集。

表1 樣本空間數(shù)據(jù)分布Tab.1 Distribution of the sample space（單位: mm）

3 SVM回歸原理

SVM 回歸算法的基本思想是將一個(gè)非線性的特征空間通過(guò)映射 Φ映射到更高維的線性特征空間，然后進(jìn)行線性回歸。因此，對(duì)于數(shù)據(jù)集Y={(xi,yi)}，可以用下式進(jìn)行回歸估計(jì)

那么回歸問(wèn)題就變成如下的最優(yōu)化問(wèn)題

subject to

式中，C為懲罰系數(shù)；ξi為損失函數(shù)，即通常所稱的離群點(diǎn)。

式（2）是一個(gè)不等式優(yōu)化問(wèn)題，解起來(lái)是非常困難的。因此，通過(guò)Lagrange變換得到其對(duì)偶形式為

subject to

式中，α和α*為L(zhǎng)agrange乘子。

此時(shí)w的值為

由此，從式（2）的求解帶不等式約束的 w變成了求解α和α*。將式（4）代入式（1）中，回歸估計(jì)表達(dá)式變成

式中，(xi﹒x)是指高維空間的數(shù)據(jù)向量的內(nèi)積，樣本空間中的數(shù)據(jù)是屬于低維空間的數(shù)據(jù)。

因此，將式（5）做如下變形

式中，K(xi′,x′)為核函數(shù)，其作用就是接受低維空間的數(shù)據(jù)向量得到高維空間的數(shù)據(jù)向量的內(nèi)積。對(duì)于回歸問(wèn)題，一般都采用徑向基（RBF）核函數(shù)。

4 SVM模型的參數(shù)尋優(yōu)算法

在支持向量回歸估計(jì)算法中，RBF核函數(shù)的參數(shù)g以及懲罰系數(shù)C都是很重要的參數(shù)。其中，核函數(shù)參數(shù)g的選取決定了輸入空間到特征空間映射的方式，懲罰系數(shù)C用于平衡訓(xùn)練誤差和模型復(fù)雜度。因此必須通過(guò)計(jì)算得到最優(yōu)的參數(shù)C和g。對(duì)于 SVM 回歸模型的參數(shù)尋優(yōu)，主要是通過(guò)最小化均方根誤差（MSE）來(lái)得到最優(yōu)參數(shù)。

4.1 網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)算法

網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)算法的基本思想是按照設(shè)定好的步長(zhǎng)，將C和g在各自空間劃分成若干網(wǎng)格，然后在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上逐一計(jì)算以確定最優(yōu)參數(shù)。在網(wǎng)格尋優(yōu)算法計(jì)算過(guò)程中，通常采用V折交叉驗(yàn)證法：將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分成n個(gè)大小相同的子集，首先用其中n-1個(gè)子集作為訓(xùn)練集得到一個(gè)決策函數(shù)，用它預(yù)測(cè)測(cè)試集，得到該次循環(huán)在測(cè)試集上的分類準(zhǔn)確率。這樣循環(huán)進(jìn)行 n次，直到所有的子集都作為測(cè)試樣本被預(yù)測(cè)一遍，取n次預(yù)測(cè)所得準(zhǔn)確率的平均值作為最終的準(zhǔn)確率值，從而有效的避免了過(guò)擬合的問(wèn)題。網(wǎng)格尋優(yōu)算法的流程圖如圖4所示。圖5給出了參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果的等高線圖和三維圖。最優(yōu)參數(shù)解為：C=3.031 4，g=0.062 5，最小MSE=0.021 876。

圖4 網(wǎng)格尋優(yōu)算法流程圖Fig.4 The flow chart of grid parameter optimization algorithm

圖5 網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)算法結(jié)果Fig.5 The results of grid parameter optimization algorithm

4.2 GA參數(shù)尋優(yōu)算法

遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）根據(jù)適者生存、優(yōu)勝劣汰等自然進(jìn)化規(guī)則來(lái)進(jìn)行搜索計(jì)算和問(wèn)題求解。

標(biāo)準(zhǔn)GA算法雖然在理論上形成了一套完整的體系，但是由于存在早熟問(wèn)題，經(jīng)常使其得不到真正的最優(yōu)解。因此對(duì)GA算法做如下改進(jìn)：遺傳算法初期個(gè)體之間的差異性比較大，采用較大的交叉概率和較小的變異概率，有利于保存有用的遺傳信息；而在遺傳算法后期，個(gè)體之間適應(yīng)度的差別很小，采用較小的交叉概率和較大的變異概率，能夠增加個(gè)體的多樣性，有利于進(jìn)行全局搜索和克服早熟現(xiàn)象[10]。其算法流程圖如圖6所示。圖7給出了GA尋優(yōu)算法的結(jié)果。最優(yōu)參數(shù)解為：C=3.277 8，g=59.769 7，最小 MSE=0.032 364（種群數(shù)量pop=20）。

圖6 GA算法流程圖Fig.6 The flow chart of GA

圖7 GA參數(shù)尋優(yōu)算法結(jié)果Fig.7 The result of GA

4.3 PSO參數(shù)尋優(yōu)算法

粒子群優(yōu)化算法模擬鳥(niǎo)群覓食過(guò)程中的遷徙和群集行為，是一種基于群體智能的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)[11]。

在PSO 算法中，群體的每個(gè)成員被稱為粒子，每個(gè)粒子在多維搜索空間中以一定的速度飛行，根據(jù)粒子本身的飛行經(jīng)驗(yàn)以及同伴的飛行經(jīng)驗(yàn)對(duì)自己的飛行速度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，即每個(gè)粒子通過(guò)統(tǒng)計(jì)迭代過(guò)程中自身的最優(yōu)值和群體的最優(yōu)值來(lái)不斷地修正自己的前進(jìn)方向和速度大小，從而形成群體尋優(yōu)的正反饋機(jī)制。從而依據(jù)每個(gè)粒子對(duì)環(huán)境的適應(yīng)度將個(gè)體逐步移到較優(yōu)的區(qū)域，并最終搜索、尋找到問(wèn)題的最優(yōu)解。算法流程圖如圖8所示，圖9給出了PSO尋優(yōu)算法的結(jié)果。最優(yōu)參數(shù)解為：C=22.012 6，g=0.01，最小 MSE=0.021 697（參數(shù) c1=1.5,c2=1.7,種群數(shù)量pop=20）。

圖8 PSO算法流程圖Fig.8 The flow chart of PSO

圖9 PSO參數(shù)尋優(yōu)算法結(jié)果Fig.9 The result of PSO

4.4 三種算法結(jié)果的驗(yàn)證

分別利用上述三種算法得到的C和g參數(shù)建立SVM模型，利用樣本空間的訓(xùn)練集和測(cè)試集對(duì)三種模型進(jìn)行驗(yàn)證。圖10、圖11、圖12分別為網(wǎng)格尋優(yōu)算法、GA尋優(yōu)算法和PSO尋優(yōu)算法的驗(yàn)證結(jié)果。

由三種算法的結(jié)果圖看以看出，網(wǎng)格尋優(yōu)算法和 PSO尋優(yōu)算法雖然得到的C和 g的參數(shù)差別較大，但是計(jì)算得到的最小MSE值比較接近，并且通過(guò)測(cè)試集驗(yàn)證得到了比較好的回歸結(jié)果?？梢哉f(shuō)明SVM模型的最優(yōu)參數(shù)并不是唯一確定的。而GA尋優(yōu)算法相比較其他兩種算法來(lái)說(shuō)，計(jì)算得到的最小MSE值要大一些，而且從圖11的結(jié)果圖看出，GA尋優(yōu)算法得到 SVM 模型在訓(xùn)練集上能得到幾乎完美的回歸效果，然而在測(cè)試集上的回歸效果卻非常差，說(shuō)明GA尋優(yōu)算法得到的參數(shù)具有很差的推廣性，即泛化能力。

圖10 網(wǎng)格尋優(yōu)算法驗(yàn)證結(jié)果Fig.10 The validation results of grid parameter optimization algorithm

圖11 GA尋優(yōu)算法結(jié)果Fig.11 The validation results of GA

圖12 PSO尋優(yōu)算法結(jié)果Fig.12 The validation results of PSO

5 結(jié)論

對(duì)于永磁球形電機(jī)的 SVM 回歸模型的參數(shù)尋優(yōu)，GA參數(shù)尋優(yōu)算法計(jì)算得到的參數(shù)其SVM模型的回歸效果具有很差的泛化能力，說(shuō)明GA尋優(yōu)算法并不適用于球形電機(jī)SVM回歸模型的參數(shù)尋優(yōu)。而網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)算法和 PSO參數(shù)尋優(yōu)算法雖然計(jì)算得到的參數(shù) C和 g并不相同，但是各自的 SVM模型的回歸效果基本相同。這也說(shuō)明了 SVM 模型最優(yōu)參數(shù)并不是唯一確定的。另外，本文所用的樣本空間比較小，所以兩種算法的計(jì)算時(shí)間差別不大。如果是大樣本空間的話，網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)算法比PSO尋優(yōu)算法的時(shí)間代價(jià)要大的多。

[1] Vladimir Vapnik,Esther Levin,Yann Le Cun.Measuring the VC-dimension of learning machines[J],Neural Computation,1994,6(5): 851-867.

[2] Nello Cristianini,John Shawe Taylor.支持向量機(jī)導(dǎo)論[M].李國(guó)正等譯.北京: 北京電子工業(yè)出版社,2004.

[3] Olivier Chapelle,Vladimir Vapnik,Olivier Bousquet,et al.Choosing multiple parameters for support vector machines[J].Machine Learning,2002,46(1): 131-159.

[4] 李兵,姚全珠,羅作民,等.基于網(wǎng)格模式搜索的支持向量機(jī)模型選擇[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(15): 136-138.Li Bing,Yao Quanzhu,Lou Zuomin,et al.Gird-pattern method for model selection of support vector machines[J].Computer Engineering and Applications,2008,44(15): 136-138.

[5] Chen P W,Jungying W,Hahnming L.Model selection of SVMs using GA approach[C].Proceedings of IEEE International Joint Conference on Neural Networks,Piscataway,2004: 2035-2040.

[6] Wang Cunrui,Duan Xiaodong,Liu Xiangdong,et al.A modified basic particle swarm optimization algorithm[J].Computer Engineering,2004,30(21):35-37.

[7] 任洪娥,霍滿冬.基于PSO 優(yōu)化的SVM 預(yù)測(cè)應(yīng)用研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2009,26(3): 867-869.Ren Honge,Huo Dongman.Support vector machine optimized by particle swarm optimization algorithm for holding nail force forecasting[J].Application Research of Computers,2009,26(3): 867-869.

[8] 李爭(zhēng).仿人機(jī)器人關(guān)節(jié)用永磁球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的基礎(chǔ)研究[D].合肥: 合肥工業(yè)大學(xué),2006.

[9] 茆詩(shī)松,王金玉,周紀(jì)薌.參數(shù)設(shè)計(jì)思想與方法的研究[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1993,9(4): 438- 448.Mao Shisong,Wang Jinyu,Zhou Jixiang,et al.Research of idea and mebod of parameter design[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,1993,9(4): 438-448.

[10] 劉東平,單甘霖,張岐龍.基于改進(jìn)遺傳算法的支持向量機(jī)參數(shù)優(yōu)化[J].微計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2010,31(5):11-15.Liu Dongping,Shan Ganlin,Zhang Qilong.Parameters optimization of support vector machine based on improved genetic algorithm[J].Microcomputer Applications,2010,31(5): 11-15.

[11] Kennedy J,Eberhart R.Particle swarm optimization[C].Proc.IEEE International Conf.on Neural Networks,1995: 1942-1948.