董 勝，翟金金，陶山山

（中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島266100）

基于Archimedean Copula函數(shù)的風(fēng)浪聯(lián)合統(tǒng)計分析?

董 勝，翟金金，陶山山

（中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島266100）

選取渤海海域某導(dǎo)管架平臺24年的年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速，基于Gumbel分布對2個邊緣分布的擬合優(yōu)度檢驗，采用Archimedean Copula函數(shù)族中的4種函數(shù)構(gòu)建兩變量聯(lián)合概率分布模型，并進行了擬合優(yōu)度評價。利用優(yōu)選出的Clayton Copula函數(shù)，計算風(fēng)浪聯(lián)合分布的聯(lián)合重現(xiàn)值。以海洋平臺響應(yīng)作為約束條件，進行了二維Clayton Copula函數(shù)的風(fēng)浪聯(lián)合統(tǒng)計分析。研究結(jié)果表明：基于Copula函數(shù)構(gòu)造的二維分布，考慮了風(fēng)浪之間的相關(guān)性，在相同重現(xiàn)值設(shè)計參數(shù)下，可以降低導(dǎo)管架平臺的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而可以降低海洋平臺的環(huán)境條件設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。

年極值波高；相應(yīng)風(fēng)速；邊緣分布；聯(lián)合分布；Archimedean Copula

風(fēng)浪主要是指在風(fēng)直接作用下產(chǎn)生的波浪［1］，它的形成與風(fēng)速有著密切的關(guān)系。風(fēng)浪具有巨大能量，對海岸或海洋建筑物產(chǎn)生巨大的沖擊力，從而威脅海洋建筑物的安全。因此，深入分析波高和風(fēng)速的聯(lián)合概率分布對海洋工程的安全防護以及風(fēng)險控制都十分重要。

目前，已經(jīng)有一些多變量聯(lián)合概率分布應(yīng)用于海洋水文環(huán)境要素的研究。例如，段忠東基于多變量極值理論建立了風(fēng)速和有效波高的聯(lián)合概率分布［2］。周道成和段忠東采用Gumbel邏輯模型描述了年極值風(fēng)速和有效波高的聯(lián)合分布［3］。Yue等將二維Gumbel分布用于水文的概率分析中［4］。董勝等采用泊松二維邏輯分布［5］、二維皮爾遜Ⅲ型聯(lián)合分布［6］和二維邏輯Gumbel分布［7］分別對極值風(fēng)速與波高的聯(lián)合概率分布、年極值有效波高與風(fēng)速的聯(lián)合概率分布和波高與風(fēng)速的聯(lián)合重現(xiàn)期進行了分析計算。Dong等采用二維對數(shù)正態(tài)分布模擬了風(fēng)浪的聯(lián)合重現(xiàn)期［8］。但這些傳統(tǒng)的多變量頻率分析模型都要求各變量服從相同類型的邊緣分布，從而限制了其適用范圍。Copula函數(shù)的出現(xiàn)解決了這類問題，它不要求變量的邊緣分布必須為同一類型的分布，因而可以構(gòu)造任意邊緣分布組合的聯(lián)合分布；同時能夠把邊緣分布和變量間的相依關(guān)系分開考慮，從而可以選擇擬合更優(yōu)的邊緣分布，具有極強的靈活性和適應(yīng)性，是描述隨機變量間相關(guān)性的一種重要工具。

Copula函數(shù)雖早在1959年已被Sklar［9］提出，至1990年代才得以迅速發(fā)展，目前仍處于發(fā)展階段。Copula函數(shù)最初被應(yīng)用于金融、保險、生物建模等領(lǐng)域，近年來Copula函數(shù)在海岸與海洋工程的聯(lián)合概率分布分析中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。Wist等利用二元正態(tài)Copula函數(shù)建立了波高和波周期的聯(lián)合分布，并成功應(yīng)用于日本海域的海洋工程［10］。秦振江等利用Copula函數(shù)建立了最大有效波高和最大風(fēng)速的聯(lián)合概率分布，并進行了模型檢驗，結(jié)果表明Copula函數(shù)能夠較好地模擬實際的數(shù)據(jù)［11］。董勝等基于Clayton Copula函數(shù)建立了年最大波高和風(fēng)速的二維聯(lián)合分布模型，并將其應(yīng)用在海洋平臺環(huán)境荷載的聯(lián)合設(shè)計中，合理降低了荷載設(shè)計參數(shù)，從而減少海洋工程的投資［12］。陳子燊基于4種Archimedean Copula函數(shù)建立極值波高與相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合概率分布模型，并與單變量分布進行比較分析，研究表明，兩變量聯(lián)合分布比單變量分布更能全面地反映極端海況條件下的重現(xiàn)水平［13］。Tao等基于二維Gaussian Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)分別建立波高和風(fēng)速的聯(lián)合概率分布，從而為海洋工程設(shè)計提供安全可靠的設(shè)計參數(shù)［14］。徐龍軍等將基于Archimedean Copula函數(shù)C-測度的第二重現(xiàn)期應(yīng)用于風(fēng)浪聯(lián)合分布的重現(xiàn)期分析中，經(jīng)實際數(shù)據(jù)驗證，此方法的計算結(jié)果更接近荷載效應(yīng)實際重現(xiàn)期［15］。Yang和Zhang在渤海區(qū)域風(fēng)浪后報的基礎(chǔ)上，基于Copula函數(shù)建立了波高和風(fēng)速的聯(lián)合分布，并進行了頻率分析［16］。上述研究成果反映了Copula函數(shù)是一個相對簡單、靈活的聯(lián)合分布模型，可以較好地模擬海洋工程極值事件，為確定海洋工程環(huán)境設(shè)計參數(shù)提供了一種新方法。

本文采用Archimedean Copula函數(shù)開展渤海海域風(fēng)浪聯(lián)合概率分析的研究。第一部分簡要介紹Archimedean Copula函數(shù)的定義和幾種常用的Archimedean Copula函數(shù)；第二部分采用Archimedean Copula函數(shù)構(gòu)建年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合分布函數(shù)；第三部分進行擬合優(yōu)度的評價，選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型；第四部分對渤海海域某導(dǎo)管架平臺的年最大波高與相應(yīng)風(fēng)速進行風(fēng)浪聯(lián)合分布的聯(lián)合重現(xiàn)值計算，并通過海洋平臺的響應(yīng)計算，進行二維Clayton Copula函數(shù)的風(fēng)浪聯(lián)合統(tǒng)計計算，得出結(jié)論。

1 Archimedean Copula函數(shù)

二維Archimedean Copula函數(shù)可以定義為

式中：φ（·）稱為Archimedean Copula的生成元，φ（·）是［0，1］→［0，∞］的連續(xù)嚴(yán)格遞減函數(shù)，且φ（1）=0，φ（0）=∞；φ-1為φ的逆函數(shù)，其在［0，+∞］上單調(diào)，除了φ-1（0）=1和φ-1（∞）=0外，有

Archimedean Copula由其生成元確定的單參數(shù)函數(shù)，是目前運用較為廣泛的一類Copula函數(shù)。其中，海洋工程領(lǐng)域中最常用的二維Archimedean Copula主要有以下幾種：

（1）Clayton Copula：

（2）Frank Copula：

（3）Ali-Mikhail-Haq（AMH）Copula：

式中：C（·，·）為二維Copula的分布函數(shù)；u1和u2分別表示邊緣分布函數(shù)，即u1=F1（x1），u2=F2（x2）；θ為Copula函數(shù)的參數(shù)。

2 邊緣分布函數(shù)

2.1邊緣分布函數(shù)選取

采用不同的概率分布對單變量樣本進行擬合時，其設(shè)計重現(xiàn)值會有較大差別，而Gumbel分布擬合時較為保守，為了保證結(jié)構(gòu)安全，本文年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的邊緣分布均選取Gumbel分布。Gumbel分布又稱極值Ⅰ型分布，首先由Fisher導(dǎo)出，E J Gumbel于1941年應(yīng)用在水文洪水頻率分析中。Gumbel分布的基本理論是已知隨機變量的原始分布為指數(shù)型分布，在同一條件下做多次試驗，得到n組隨機變量，取各組的極大值或最小值（稱為極值）組成極值系列，此極值分布漸近于Gumbel分布［17］。其分布函數(shù)為

其密度函數(shù)為

式中：α為尺度參數(shù)；μ為位置參數(shù)。該分布函數(shù)與其概率的關(guān)系為

而概率P與重現(xiàn)期T的關(guān)系為

聯(lián)立式（7）、（9）、（10），可得

根據(jù)式（11）和觀測序列進行擬合可求得Gumbel分布的參數(shù)α和μ。重現(xiàn)期為T的風(fēng)浪極值為

2.2邊緣分布擬合檢驗

由樣本判斷總體分布類型，這種檢驗稱為擬合優(yōu)度檢驗，也稱分布擬合檢驗。常用的檢驗方法有：χ2檢驗、Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗、Cramer-von Mises（C-M）檢驗、Aderson-Darling（A-D）檢驗、修正Watson檢驗和Liao-Shimokawa檢驗等。

本文采用K-S檢驗，設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），F(xiàn)0（x）為已知理論分布。令原假設(shè)：H0：F（x）=；備選假設(shè)：H1： F（x）≠F （x）。采用K-S檢驗，選取統(tǒng)計量D：

式中：Fn（x）為經(jīng)驗概率分布函數(shù)。令

則統(tǒng)計量Dn的觀測值為

取顯著水平α=0.05，對不同的樣本容量n，通過查表可得K-S檢驗的臨界值Dn（0.05）。如果＾D(zhuǎn)n＜Dn（0.05），則不拒絕原假設(shè)H0，也即認(rèn)為樣本所得的概率分布符合參數(shù)為α與μ的Gumbel分布；否則拒絕原假設(shè)H0，也即認(rèn)為樣本所得的概率分布不符合參數(shù)為α與μ的Gumbel分布。

3 Copula函數(shù)參數(shù)估計與擬合優(yōu)度評價

3.1 Copula函數(shù)參數(shù)估計

Copula函數(shù)的參數(shù)估計方法主要有極大似然法［18-19］、邊際函數(shù)推斷法［19］、非參數(shù)核密度估計［20］、矩估計法［21］、相關(guān)性指標(biāo)法［22］等。其中，相關(guān)性指標(biāo)法主要是根據(jù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ與Copula函數(shù)的參數(shù)θ的關(guān)系（見表1）來計算參數(shù)θ。

表1 對稱Archimedean Copula函數(shù)的τ與θ的關(guān)系Table 1 Relation ofτandθin symmetric Archimedean Copula function

3.2 Copula函數(shù)擬合優(yōu)度評價

Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度評價是選擇Copula模型的重要原則。常用的評價方法有：直觀的圖形分析法、均方根誤差法（RMSE）、AIC信息準(zhǔn)則法、BIC信息準(zhǔn)則。

（1）直觀的圖形分析法

該方法將經(jīng)驗聯(lián)合概率值點和理論聯(lián)合概率值繪成散點圖，如果點距較均勻地分布在45°線附近，則說明建立的聯(lián)合概率分布模型是合理的。此方法可以直觀描述擬合的優(yōu)劣程度。

（2）均方根誤差法（RMSE）

式中：n為樣本容量；Pc為Copula多元聯(lián)合分布理論頻率值；P0為多元聯(lián)合分布經(jīng)驗頻率值，計算公式為

式中，ng，k為同時滿足X1≤xi1，X2≤xi2的聯(lián)合觀測數(shù)值個數(shù)。RMSE值越小，Copula函數(shù)擬合的效果越好。（3）AIC信息準(zhǔn)則法

m為Copula參數(shù)估算數(shù)。AIC值越小，Copula函數(shù)擬合的效果越好。

（4）BIC信息準(zhǔn)則法

式中參數(shù)同上，BIC值越小，Copula函數(shù)擬合的效果越好。

4 工程實例

4.1算例數(shù)據(jù)

本文選取渤海海域某導(dǎo)管架平臺1970—1993年年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速（見圖1）的觀測值，并根據(jù)該二維統(tǒng)計序列進行研究。

圖1 數(shù)據(jù)散點圖Fig.1 Scatter plot

4.2邊緣分布函數(shù)參數(shù)及分布擬合檢驗

采用Gumbel分布作為年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的單變量邊緣分布，根據(jù)式（11）利用最小二乘法求Gumbel分布的參數(shù)。計算得年最大波高的尺度參數(shù)和位置參數(shù)分別為α=1.886 0、μ=2.814 0；相應(yīng)風(fēng)速的尺度參數(shù)和位置參數(shù)分別為α=0.382 1、μ=14.521 6。

通過計算，年最大波高及其相應(yīng)風(fēng)速的K-S統(tǒng)計量分別為DH=0.102 3，DV=0.120 5，均小于顯著水平D24（0.05）=0.27，從而說明都符合Gumbel分布，其擬合結(jié)果見圖2。

圖2 單變量邊緣分布擬合Fig.2 Marginal distribution of statistical variables

4.3 Copula函數(shù)參數(shù)的確定

根據(jù)相關(guān)系數(shù)指標(biāo)法，可以求得4種Archimedean Copula函數(shù)的參數(shù)值（見表2）。

表2 4種Copula函數(shù)參數(shù)估計值Table 2 Parameter estimated values of 4 kinds of Copula functions

4.4 Copula函數(shù)的選取

將4種Copula函數(shù)計算得到的理論聯(lián)合概率分布和經(jīng)驗聯(lián)合聯(lián)合概率分別點繪在圖中（見圖3）。從圖中可以看出，數(shù)據(jù)點均分布在45°直線附近，可以直觀的看出4種Copula函數(shù)擬合效果都比較好。

為了獲得最優(yōu)的擬合分布函數(shù)，根據(jù)擬合優(yōu)度評價指標(biāo)，計算RMSE值和AIC值（見表3），選取兩樣本中RMSE和AIC最小的Clayton Copula函數(shù)作為聯(lián)合概率分布的連接函數(shù)。

4.5聯(lián)合概率分布與重現(xiàn)水平

根據(jù)Clayton Copula函數(shù)建立年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合分布。年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合概率分布和聯(lián)合概率等值線見圖4。圖中標(biāo)注的0.02、0.01和0.005等曲線分別表示波高和相應(yīng)風(fēng)速聯(lián)合重現(xiàn)期分別為50、100和200年的等值線。具體計算結(jié)果見表4，表4中波高和風(fēng)速獨立時，重現(xiàn)期為各自的重現(xiàn)期；在波高主極值條件下，重現(xiàn)期是波高的重現(xiàn)期；其它的情況下表示風(fēng)浪的聯(lián)合重現(xiàn)期。

由表4可見，單變量計算的200年一遇的波高和風(fēng)速共同發(fā)生的概率僅為0.004%，為25 000年一遇；100年一遇的波高和風(fēng)速共同發(fā)生的概率為0.02%，為5 000年一遇；25年一遇的波高和風(fēng)速共同發(fā)生的概率為0.27%，為370年一遇。在波高主極值條件下，基于兩變量聯(lián)合分布計算得到的風(fēng)速設(shè)計值小于單變量計算得到的風(fēng)速設(shè)計值，并且差值隨著重現(xiàn)期的增大而增大，重現(xiàn)期10～200年的風(fēng)速設(shè)計值相對單變量計算得到的設(shè)計值減小15.61%～43.80%。在風(fēng)浪聯(lián)合概率密度最大的條件下，基于兩變量聯(lián)合分布計算得到的波高和風(fēng)速均小于單變量計算得到的波高和風(fēng)速設(shè)計值?？梢钥吹铰?lián)合概率分析極大地降低了環(huán)境要素的設(shè)計值。

圖3 經(jīng)驗聯(lián)合概率與Copula理論聯(lián)合概率分布的擬合Fig.3 Empirical probability and Copula joint probability distribution

表3 年最大波高及其相應(yīng)風(fēng)速聯(lián)合概率分布函數(shù)的擬合優(yōu)度評價Table 3 Priority degree evaluation of joint distribution of maximum wave height and corresponding wind speed

圖4 年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合分布圖Fig.4 Joint probability distribution of maximum wave height and corresponding wind speed

表4 年最大波高和相應(yīng)風(fēng)速的不同重現(xiàn)期下的設(shè)計值Table 4 Different return design values under joint maximum wave height and corresponding wind speed

4.6風(fēng)浪聯(lián)合統(tǒng)計在海洋工程中的應(yīng)用

此海域的導(dǎo)管架平臺的基底剪力Q、傾覆力矩M和甲板的最大位移D分別按式（20）、（21）和（22）計算［23］：

式中：H和V分別表示波高和風(fēng)速；C1、C2和C3對具體的導(dǎo)管架平臺近似為常數(shù)，式（20）取C1=20.379 7和C2=0.115 3；式（21）取C1=234.249 1和C2= 0.290 8；式（22）取C1=0.000 1、C2=1.387 9×10-6和 C3=0.008 7。

式（20）、（21）、（22）計算得到的基底剪力、傾覆力矩和最大位移見圖5中的虛線，每條重現(xiàn)期的響應(yīng)值對應(yīng)著相應(yīng)的波高和風(fēng)速。圖中的切點表示該重現(xiàn)水平下海洋平臺響應(yīng)最大時所對應(yīng)的波高和風(fēng)速的組合，計算結(jié)果見表5。表5中波高和風(fēng)速獨立時，重現(xiàn)期為各自的重現(xiàn)期；在波高主極值條件下，重現(xiàn)期是波高的重現(xiàn)期；其它的情況下表示風(fēng)浪的聯(lián)合重現(xiàn)期。此外，將表4中所得波高和風(fēng)速獨立、波高主極值和風(fēng)浪聯(lián)合概率密度最大時3種條件下的波高和風(fēng)速分別代入式（20）、（21）、（22），計算結(jié)果亦見表5。

圖5 響應(yīng)等值線Fig.5 Response contours

從圖5（a）中可以看出，100年一遇的基底剪力所對應(yīng)的波高和風(fēng)速分別為5.24 m和12.32 m／s，比表4中單變量計算得到的100年一遇的波高和風(fēng)速分別減小0.19%和53.61%；從（b）中可以看出，100年一遇的傾覆力矩所對應(yīng)的波高和風(fēng)速分別為5.25 m和12.18 m／s，比表4中單變量計算得到的100年一遇的波高和風(fēng)速分別減小0%和54.14%；從（c）中可以看出，100年一遇的最大位移所對應(yīng)的波高和風(fēng)速分別為5.14 m和14.67 m／s，比表4中單變量計算得到的100年一遇的波高和風(fēng)速分別減小2.10%和44.77%。

從表5能夠看到各重現(xiàn)期下的基底剪力、傾覆力矩和甲板的最大位移通過聯(lián)合概率計算均降低了。100年一遇的基底剪力在波高主極值、聯(lián)合概率密度最大、基底剪力最大、傾覆力矩最大和最大位移最大的5種不同的聯(lián)合條件下均小于波高和風(fēng)速獨立下的基底剪力，降低8.8%～37.0%。100年一遇的傾覆力矩在5種不同聯(lián)合條件下均小于波高和風(fēng)速獨立下的傾覆力矩，降低5.5%～28.2%。100年一遇的最大位移在五種不同的聯(lián)合條件下均小于波高和風(fēng)速獨立下的最大位移，降低7.4%～10.7%。而設(shè)計參數(shù)的降低將導(dǎo)致海洋結(jié)構(gòu)設(shè)計成本的下降。

表5 給定重現(xiàn)期時的響應(yīng)設(shè)計值Table 5 Design values of response under given return periods

5 結(jié)論

以渤海海域某導(dǎo)管架平臺24年的年最大波高和相應(yīng)的風(fēng)速為研究實例，基于Gumbel邊緣分布，構(gòu)造了4種二維Archimedean Copula函數(shù)的聯(lián)合分布模型：Clayton Copula，F(xiàn)rank Copula，GH Copula和AMH Copula。通過計算得到以下結(jié)論：（1）通過擬合優(yōu)度的評價，得到Clayton Copula函數(shù)擬合年最大波高及其相應(yīng)風(fēng)速的效果最好，故選用Clayton Copula計算渤海海域的風(fēng)浪聯(lián)合分布；（2）在波高主極值、聯(lián)合概率密度最大、基底剪力最大、傾覆力矩最大和最大位移最大5種不同的條件下，Clayton Copula聯(lián)合分布計算的波高和風(fēng)速的設(shè)計值均小于單變量計算的設(shè)計值；同時，在給定重現(xiàn)期下，基底剪力、傾覆力矩和甲板的最大位移通過聯(lián)合概率計算均比波高和風(fēng)速獨立條件下降低了。從而可見，Copula聯(lián)合分布能夠有效合理地降低海洋工程的環(huán)境荷載設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，從而減少工程投資。

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Joint Statistical Analysis of Winds and Waves Based on Archimedean Copula Function

DONG Sheng，ZHAI Jin-Jin，TAO Shan-Shan
（College of Engineering，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

Four kinds of common-used Archimedean Copulas（Clayton，F(xiàn)rank，GH，AMH）were applied to construct joint probability distribution of annual extreme wave height and corresponding wind speed，meanwhile the two margins are both taken as Gumbel distribution.These joint models could make the best use of marginal information and the correlation between the two radon variables.Observations about wave height and wind speed on a jacket platform in Bohai Sea were applied to verify the efficiency of these joint models.Based on goodness-of-fit，Clayton model was the optimal selection for this data to calculate joint return values.Considering constraint conditions of offshore platform responses，two-dimensional Clayton Copula was used to analyze joint statistical characters of winds and waves. The result shows that the two-dimensional joint distribution based on Copula considers correlation between waves and winds；meanwhile the offshore platform responses and the loads design criterion can be lowered by the joint distribution comparing with univariate method.

annual maximum wave height；corresponding wind speed；marginal distribution；joint distribution；Archimedean Copula

TE951

A

1672-5174（2014）10-134-08

責(zé)任編輯 陳呈超

國家自然科學(xué)基金項目（51279186；51479183）；國家留學(xué)基金項目（201406335003）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項（201413003）資助

2014-07-10；

2014-09-10

董 勝（1968-），男，教授，博導(dǎo)。E-mail：dongsh＠ouc.edu.cn