林煥程,朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引言

在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的推動(dòng)下,包括框架理論在內(nèi)的許多理論知識(shí)在計(jì)算機(jī)算法中的可行性越來越被重視,并且涉及迭代形式的結(jié)論在算法中相比其他形式更容易實(shí)現(xiàn).在Gabor框架與小波分析的研究中,Gabor系統(tǒng)或小波系統(tǒng)可以用l2()上一些給定的算子來定義,如以下三種:a∈,Ta(f(x))=f(x-a);b∈,Eb(f(x))=exp(2πibx)f(x);利用上述的算子,l2()上的Gabor系統(tǒng)表示為:

{EmbTnag}m,n∈={exp(2πimbx)g(x-na)}m,n∈

其中:a,b>0為常數(shù),g∈l2()是給定的函數(shù).此外,由函數(shù)f∈l2()生成的二進(jìn)小波系統(tǒng)也可以用類似的算子迭代形式來表示:

更多有關(guān)Gabor系統(tǒng)或小波系統(tǒng)的結(jié)論參見文獻(xiàn)[1-2].本研究旨在探討Hilbert空間H中一個(gè)算子迭代表示的序列與K-框架以及K-Riesz基之間的聯(lián)系,并且與一般框架中的對(duì)應(yīng)結(jié)論進(jìn)行對(duì)比,推廣已知的研究結(jié)果.

以下先回顧一些有關(guān)框架、K-框架、K-Riesz基等本研究將涉及的定義,其中以H表示一個(gè)可分的復(fù)Hilbert空間,為正整數(shù)集.

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

由定義1可知H的框架也是一個(gè)Bessel序列,由文獻(xiàn)[1]中的引理3.2.1,可定義如下的有界線性算子:

U:l2()

(2)

定義2設(shè)K:H→H為非零的有界線性算子,如果存在A,B>0滿足:

(3)

(4)

由于受到近年動(dòng)態(tài)采樣研究成果[5]的啟發(fā),文獻(xiàn)[6-10]對(duì)于以如下算子T的迭代形式表示的框架:

(5)

進(jìn)行了一系列的研究,得到了關(guān)于T的性質(zhì)以及有關(guān)框架的穩(wěn)定性的結(jié)論.以下是更加一般的形式,

(6)

在以下內(nèi)容中,H表示一個(gè)無窮維復(fù)可分Hilbert空間,記B(H)為H上的有界線性算子全體,算子K∈B(H)且K≠θ(零算子),R(K)與N(K)分別表示有界線性算子K的值域與核,I為H的恒等算子,為復(fù)數(shù)集.

2 主要定理與結(jié)果

下面將探討何時(shí)一個(gè)K-框架能夠具有算子迭代表示.以下的引理1～2是一般框架和K-框架的等價(jià)刻畫,體現(xiàn)了K-框架與框架最重要的不同; 引理3的提出是為了對(duì)本研究中討論的一種特殊的迭代算子進(jìn)行定義.

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(9)可知：

(11)

即T是有界算子.

(12)

其中m∈，故對(duì)于任意根據(jù)式(12) 可得：

即N(U)右平移不變,證畢.

注1文獻(xiàn)[8]中證明了對(duì)于一般框架而言,由式(7) 定義的迭代算子有界當(dāng)且僅當(dāng)合成算子的核滿足右平移不變,而定理1中1) 多了一個(gè)合成算子閉值域的條件,這表明即使在算子迭代表示序列中,K-框架與一般框架也有很大的不同.以下給出一個(gè)例子說明,當(dāng)一個(gè)算子迭代表示的K-框架的合成算子U不具有閉值域時(shí),僅有N(U)右平移不變的條件將得不到迭代算子有界的結(jié)論.

(13)

所以當(dāng)k→∞時(shí),上式趨于∞,即迭代算子T無界.

接下來考慮一個(gè)序列已經(jīng)具有有界算子迭代表示時(shí),該序列與K-框架的關(guān)系,下面給出一個(gè)必要條件.

又因?yàn)棣铡蔙(T),所以Kf∈R(T),由Kf在R(K)中的任意性知R(K)?R(T),證畢.

注4文獻(xiàn)[8]指出,對(duì)于H中任意的Riesz基,均有有界線性算子迭代表示,上述定理3說明了在定義4給出的K-Riesz基的定義下,任意K-Riesz基也均有有界線性算子迭代表示,并給出了具體的迭代算子的界,推廣了文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論.

根據(jù)上述定理3,可以看出每一個(gè)K-Riesz基都可以用算子迭代表示的形式來表示,以下討論H中一個(gè)具有算子迭代形式的K-框架成為一個(gè)K-Riesz基所需要的條件,以及一個(gè)K-Riesz基在具有算子迭代形式時(shí)所能得到的結(jié)論.

引理5[4]設(shè)H1與H2為兩個(gè)可分的復(fù)Hilbert空間,K:H1→H2為閉值域有界線性算子,則存在K的唯一有界線性偽逆算子K+使得:

①U*T*是滿算子;