阿不都熱蘇力·阿不都熱西提，帕孜來提，帕爾哈提·米吉提

（新疆大學物理科學與技術(shù)學院，烏魯木齊830046）

平面波展開法在質(zhì)量分數(shù)測量上的應(yīng)用研究

阿不都熱蘇力·阿不都熱西提，帕孜來提，帕爾哈提·米吉提

（新疆大學物理科學與技術(shù)學院，烏魯木齊830046）

為了提出測定果糖質(zhì)量分數(shù)的新方案，采用光子晶體平面波展開法進行了理論分析和數(shù)值模擬。通過研究以硅半導體材料為背景介質(zhì)周期性排列空氣孔圓柱構(gòu)成的光子晶體，分別取得了正方晶格和三角晶格的空氣孔結(jié)構(gòu)光子晶體的TE模、TM模禁帶結(jié)構(gòu)特性。結(jié)果表明，在高頻率區(qū)域，2維正方晶格或三角晶格結(jié)構(gòu)各向同性光子晶體的光子帶隙隨待測質(zhì)量分數(shù)不同是單調(diào)變化的；同時，晶格結(jié)構(gòu)對光子帶隙有一定的影響，不論是在正方結(jié)構(gòu)還是三角結(jié)構(gòu)光子晶體中，TE模帶隙都比TM模大得多。這對質(zhì)量分數(shù)測量和高血糖患者的臨床應(yīng)用有一定的指導作用。

材料；光子帶隙；平面波展開；質(zhì)量分數(shù)；果糖

引 言

光子晶體（photonic crystal，PC）作為一種新型人工材料，又稱為光子帶隙材料。所謂光子晶體就是使某一種折射率的材料周期性地嵌入到另一種光傳輸材料中，而得到的晶體結(jié)構(gòu)。由于光線入射到不同介質(zhì)的界面會產(chǎn)生折射或反射，當某一種材料周期地分布在另一種不同折射率的材料中時，光線在傳播過程中也會遭到這種周期結(jié)構(gòu)的反射或折射，使某一能量范圍的光線不能通過，從而導致某一頻率范圍的光線的阻斷。

光子晶體的概念是1987年分別由JOHN［1］和YABLONOVICH［2］等人提出來的。它是以傳統(tǒng)的晶體概念作為依據(jù)的。光子晶體中介質(zhì)折射率的周期性變化對光的影響類似于凝聚態(tài)物質(zhì)中周期性勢場對電子的影響。據(jù)大家所知，在半導體材料中電子具有能隙和能帶的特性，在光子晶體中也存在光子能帶和能隙的特征，只有那些頻率在光子能帶的光才能通過光子晶體，而那些頻率在光子帶隙的光則會被禁止傳播。光子帶隙的存在導致了光子晶體許多嶄新的物理性質(zhì)，光子晶體廣闊的應(yīng)用前景已成為當今世界范圍的研究熱點，也得到了迅速的發(fā)展。

光子晶體能帶結(jié)構(gòu)方面主要有3種計算方法：平面波展開法［3］、傳輸矩陣法和有限時域差分法［4-5］。目前各種電磁波段在各種光子禁帶結(jié)構(gòu)的應(yīng)用設(shè)計和數(shù)字模擬技術(shù)及制備工藝技術(shù)已成為材料科學研究的熱點。同時糖類化合物在藥物、生物、催化及環(huán)境等相關(guān)領(lǐng)域具有重要作用，有關(guān)糖類的研究也是一個重要課題［6］。在研究電解質(zhì)溶液行為的理論中，作為媒介的介電常數(shù)具有重要意義。而光子晶體將在研究果糖等糖類的研究中有重要的應(yīng)用價值。

本文中采用平面波展開方法，以果糖等材料的水溶液作為空氣孔中的介質(zhì)材料，計算了2維正方、三角排列介質(zhì)柱及空氣孔結(jié)構(gòu)光子晶體的帶隙。首次考慮了填充溶液、晶格結(jié)構(gòu)、介電常數(shù)、質(zhì)量分數(shù)及其溫度對最大絕對帯隙的影響，提出了用光子晶體禁帶特性來測量果糖溶液的新法，為光子晶體禁帶理論臨床應(yīng)用提供一定的理論依據(jù)［7］。

1 光子晶體的電磁波理論

2維光子晶體與波導的情況相類似，可以定義為兩種模式，即TE模式和TM模式。

假設(shè)電磁波在兩種不同相對介電常數(shù)的2維光子晶體中傳播，此時電磁波的傳播分解為兩個相互獨立的方程來描述。

以下兩式分別為只含電場或磁場的主方程式［8-13］：

式中，c表示為光速，ω為本征頻率。這兩個基本方程形式上與量子力學中的Sch?dinger方程很相似，電磁場在光子晶體中的傳播可由上述任一個方程來確定。為求解方便，本文中磁場方程是由H→（波方法來求解，而電場方程是由E→（波方法來求解。

Fig.1 Model of2-D lattice structure

將（3）式～（5）式代入（1）式或（2）式，分別可得TM和TE偏振態(tài)下的特征方程分別為：

（6）式或（7）式中的介電常數(shù)可表示為：

式中，J1為1階貝塞爾函數(shù)，f為填充因子（正方晶格f＝三角晶格f＝，a為晶格常數(shù)），ε是a空氣孔的介電常數(shù)，εb是背景材料的介電常數(shù)。將（8）式代入（6）式和（7）式，即可求出E偏振和H偏振的本征頻率ω。

2 數(shù)值計算結(jié)果

本文中對正方晶格和三角晶格的空氣孔結(jié)構(gòu)光子晶體的TE模、TM模禁帶特性進行研究，分析了填充比和果糖質(zhì)量分數(shù)對禁帶的影響。在如圖1a所示的晶體結(jié)構(gòu)中，注入圓柱形空氣孔的果糖介電常數(shù)為εa＝1.8031，背景材料的介電常數(shù)為εb＝11.7，空氣孔的半徑為r＝0.4a，晶格常數(shù)a＝1μm，模數(shù)為n＝15，果糖質(zhì)量分數(shù)為0.075。圖2和圖3分別為空氣孔在電介質(zhì)中按正方和三角晶格形式排列的光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)圖。圖中縱坐標采用歸一化的無量綱頻率ωa／（2πc），而橫坐標采用歸一化的Bloch波矢k，為便于比較，分別用TE模式和TM模式來表示。從圖中可以看出，正方晶格TE模有2個能隙，Δ表示的是帶隙在總的能帶中占有的百分比，即帶隙為0.264～0.269，Δ＝1.5%；帶隙為0.493～0.494，Δ＝0.1%；而對于TM模式出現(xiàn)一個帶隙，即帶隙為0.220～0.221，Δ＝0.2%；出現(xiàn)的帶隙寬度也比較窄，從TE模式的第一帶隙和TM模式的第一帶隙之間的帶隙情形看，不出現(xiàn)多重帶隙的絕對光子禁帶。三角晶格TE模有2個能隙：帶隙為0.249～0.350，Δ＝33.8%；帶隙為0.800～0.811，Δ＝1.4%；而對于TM模式出現(xiàn)一個帶隙，即帶隙為0.663～0.667，Δ＝2.2%；雖然在三角晶格結(jié)構(gòu)中更容易形成帶隙，出現(xiàn)的帶隙寬度也比較寬，但是不出現(xiàn)多重帶隙的絕對光子禁帶。

Fig.2 Dispersion diagram of the square lattice（εa＝1.8031，εb＝11.7）

改變相對介質(zhì)常數(shù)，以介質(zhì)常數(shù)較大的Si半導體材料（εb＝11.7）為背景，使空氣圓柱在Si介質(zhì)中呈正方晶格或三角晶格的2維光子晶體。當晶格常數(shù)a＝1μm，空氣柱半徑為r＝0.4μm，模數(shù)n＝15，果糖質(zhì)量分數(shù)為0.4時，TE和TM偏振的帶隙結(jié)構(gòu)圖如圖4和圖5所示。從圖4和圖5可以看出，增加介質(zhì)空氣孔中填充的果糖質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)，對正方晶格材料中出現(xiàn)的TE模有一個能隙，即帶隙為0.263～0.264，Δ＝0.3%；而對于TM模式未出現(xiàn)帶隙；在TE模帶隙中出現(xiàn)的帶隙寬度比原來變窄。從三角晶格結(jié)構(gòu)圖也發(fā)現(xiàn)，TE模的能隙雖然比較寬，但是比改變質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)前的寬度變窄，即帶隙0.247～0.341，Δ＝31.8%；帶隙為0.794～0.802，Δ＝1.0%；而對于TM模式出現(xiàn)一個帶隙，即帶隙為0.659～0.668，Δ＝1.5%。

Fig.3 Dispersion diagram of the triangular lattice（εa＝1.8031，εb＝11.7）

Fig.4 Dispersion diagram of the square lattice（εa＝1.9321，εb＝11.7）

Table 1 The dielectric constant of the fructose solutions of different mass fraction and lattice structure（273.15K）

由上述模擬結(jié)構(gòu)來看，填充比一定，光子晶體帶隙寬度并非隨著質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)增大總是增大，而是減少。不論是正方晶格還是三角晶格，TE模在空氣孔型光子晶體中更容易形成帶隙，且出現(xiàn)的帶隙較寬，帶隙數(shù)目多；TM模的帶隙數(shù)目較少且?guī)遁^窄。

由不同質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)情況下，通過數(shù)值模擬計算，把所得數(shù)據(jù)匯制成表格，見表1。從表1可以看出，當注入圓柱空氣孔的質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)分別由0.075到0.40和1.8031到1.9321變化時，以Si背景的光子晶體都存在光子帶隙，但是未出現(xiàn)TE模和TM模帶隙相互重疊的完全光子帶隙（因為TM模的帶隙較窄，表1中只給出TE模的數(shù)據(jù)）。如圖6所示，當空氣孔中質(zhì)量分數(shù)和介電常數(shù)變增大時，不論是正方晶格還是三角晶格TE模的最大帶隙寬度逐漸減少。

Fig.5 Dispersion diagram of the triangular lattice（εa＝1.9321，εb＝11.7）

3 結(jié) 論

根據(jù)平面波展開法，研究和計算了不同質(zhì)量分數(shù)果糖溶液在正方晶格和三角晶格光子晶體中的光子帶隙變化關(guān)系。計算發(fā)現(xiàn)，將通過改變由玻璃板中鉆孔的空氣孔2維光子晶體尺寸和間隔可以改變材料的光子帶隙。此外，如果改變空氣孔的介電常數(shù)，如填入一些其它材料，光子帶隙也發(fā)生變化。結(jié)果表明，TE模式在圓形空氣孔結(jié)構(gòu)的光子晶體中更容易形成帶隙，而TE模式下，光子帶隙隨質(zhì)量分數(shù)的不同而發(fā)生變化，也就是光子帶隙隨質(zhì)量分數(shù)的增加而變窄。同時，晶格結(jié)構(gòu)對光子帶隙有一定的影響。不論是正方結(jié)構(gòu)還是三角結(jié)構(gòu)光子晶體下，TE模帶隙都比TM模大得多。這些結(jié)論為2維光子晶體質(zhì)量分數(shù)測量儀的設(shè)計及其應(yīng)用提供很好的理論依據(jù)，為作者正在設(shè)計中的光子晶體質(zhì)量分數(shù)測量儀提供了有用的理論依據(jù)。

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Application of plane wave expansion method in measurement of mass fraction

ABUDOUREXITI·Abudouresuli，PAZILAITI，MIJITI·Paerhati
（School of Physics and Technology，Xinjiang University，Urumqi830046，China）

In order to propose a novel method to measure the mass fraction of fructose，plane wave expansion method for photonic crystal was adopted.A 2-D photonic crystal with a square lattice and triangle lattice of circular cylinders was designed in the Si background semiconductor material.The TE mode and TM mode band gap structure characteristics of square lattice and triangular lattice air hole structure photonic crystal were achieved.The results show that for isotropic photonic crystal of either square or triangular array arrangement，it is easier for the dielectric air type photonic crystal to form TE-polarized mode band gap in high-frequency region.Lattice structure has a certain impact on photonic band gap，TE mode band gap is much larger than the TM mode in both square and triangular structure photonic crystal.The photonic band gap changes with the difference of the mass fraction of the fructose solutions，which are used as the dielectric material in the air hole.

materials；photonic band gap；plane wave expansion；mass fraction；fructose

O734

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.01.014

1001-3806（2014）01-0065-05

國家自然科學基金資助項目（11164030）

阿不都熱蘇力·阿不都熱西提（1961-），男，工學博士，教授，主要從事光子晶體的應(yīng)用研究。

E-mail：abdrusul＠sina.com

2013-03-07；

2013-04-02