伍建輝 董 亮

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

迫擊炮是對(duì)遮蔽目標(biāo)實(shí)施曲線射擊的一種火炮，具有構(gòu)造簡(jiǎn)單、操作靈活、造價(jià)低廉、彈道彎曲、最小射程近、射速快、可實(shí)時(shí)伴隨步兵作戰(zhàn)等特點(diǎn)，對(duì)開(kāi)闊地及掩體內(nèi)目標(biāo)、各種野戰(zhàn)工事、高大障礙物(如山坡)背后目標(biāo)，有著良好的毀傷破壞作用，作為步兵近距離火力支援的有效武器，仍被現(xiàn)代各國(guó)軍隊(duì)大量裝備。

迫擊炮的外彈道設(shè)計(jì)是根據(jù)一定的戰(zhàn)技要求，合理確定武器口徑、初速及彈丸凈質(zhì)量，并以此作為內(nèi)彈道設(shè)計(jì)、武器和彈藥設(shè)計(jì)的必要依據(jù)，是進(jìn)行迫擊炮設(shè)計(jì)的首要工作。迫彈的運(yùn)動(dòng)是由其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和繞其質(zhì)心得轉(zhuǎn)動(dòng)所組成的，在迫彈初步設(shè)計(jì)和參數(shù)仿真階段，為了能夠便捷地獲得迫彈的飛行彈道及其主要的飛行特性，研究過(guò)程通常分兩步進(jìn)行［1］，首先，暫不考慮彈丸繞質(zhì)心得轉(zhuǎn)動(dòng)，而將彈丸當(dāng)做一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)研究;然后，在此基礎(chǔ)上再研究彈丸繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。在質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和圍繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)分別研究后，再進(jìn)一步研究他們之間的影響，這種方法在一般情況下具有足夠的精度，且便于工程設(shè)計(jì)應(yīng)用，同時(shí)易于搞清飛行動(dòng)力學(xué)中一些問(wèn)題的物理意義。本文討論迫彈的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)并對(duì)此進(jìn)行彈道解算。

1 直角坐標(biāo)系下迫擊炮外彈道質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程建立

為了能把射擊彈丸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律當(dāng)做質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立的微分方程組進(jìn)一步簡(jiǎn)化，外彈道學(xué)引入了以下著名的基本假設(shè)［2］:

a.彈丸為理想的軸對(duì)稱體，且在全部的飛行時(shí)間內(nèi)攻角為0;

b.氣象條件為標(biāo)準(zhǔn)氣象條件;

c.地表面為平面，重力加速度g豎直朝下，垂直于炮口水平面且大小為g=9．80m·s-2;

d.忽略地球自轉(zhuǎn)引起的科氏加速度;

在基本假設(shè)的條件下，彈丸沒(méi)有圍繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，彈丸的飛行軌跡是一條在射擊平面運(yùn)動(dòng)的理想彈道。此時(shí)彈丸只受重力和空氣阻力影響。圖1表示了彈丸的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。

圖1 直角坐標(biāo)系內(nèi)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

圖1中ax為空氣阻力加速度矢量，axx、axy為ax在x，y軸的投影，g為空氣加速度矢量。根據(jù) 圖中的數(shù)學(xué)關(guān)系以及外彈道理論，x軸的加速度分量為:

同理y軸的加速度分量為:

式中cb為彈道系數(shù)，H(y)為空氣密度函數(shù)，G(v)為虛擬阻力函數(shù)。

根據(jù)上式以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可以建立以時(shí)間t為自變量的彈丸質(zhì)心微分方程組如下［3］:

方程組中τ0N地面標(biāo)準(zhǔn)虛溫;τ為虛溫;θ為彈道傾角;

初始條件為

2 彈道仿真模型的建立

2.1 龍格－庫(kù)塔算法及流程

彈道解算就是對(duì)上面的微分方程組的求解問(wèn)題，一般對(duì)于微分方程y·=f(t，y)采用數(shù)值積分方法，用泰勒級(jí)數(shù)可求得tm+1時(shí)刻的精確解為［1］:

上式中ωi為待定的加權(quán)因子，r為使用k值的個(gè)數(shù)(即階數(shù));ki為不同點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f值，ci，aij為待定系數(shù)。

當(dāng)r=4時(shí)，可得到著名的四階龍格-庫(kù)塔公式，具體公式為:

四階龍格-庫(kù)塔算法是數(shù)字仿真中廣泛采用的數(shù)值積分方法，其截?cái)嗾`差為o(h5)，計(jì)算精度較高，是可以自啟動(dòng)的單步法，需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量少，但每步需要對(duì)f進(jìn)行四次計(jì)算，計(jì)算量較大［4］。圖2是龍格-庫(kù)塔算法流程。

算法中四階龍格-庫(kù)塔算法在Matlab平臺(tái)下可以自己編制子函數(shù)，也可用其自帶函數(shù)ode45()實(shí)現(xiàn)。

2.2 積分步長(zhǎng)h的確定

龍格-庫(kù)塔算法的截?cái)嗾`差與步長(zhǎng)的五次方成正比，如果減小步長(zhǎng)h精度將會(huì)提高，但是步長(zhǎng)減小，計(jì)算點(diǎn)數(shù)將會(huì)增加，積累誤差將會(huì)相應(yīng)增大，可能反而會(huì)降低精度，同時(shí)計(jì)算時(shí)間加長(zhǎng)，計(jì)算速度降低，所以要處理好步長(zhǎng)與精度之間的關(guān)系。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，六自由度運(yùn)動(dòng)方程解算中步長(zhǎng)小于0.005s，一般高射炮彈道解算取步長(zhǎng)為0.5s，遠(yuǎn)射程地面火炮步長(zhǎng)h=0.5～1s。

圖2 外彈道解算的龍格-庫(kù)塔流程

2.3 炮兵標(biāo)準(zhǔn)氣象條件［3，5］

彈道解算涉及氣象條件，我國(guó)炮兵使用的標(biāo)準(zhǔn)氣象條件包括地面標(biāo)準(zhǔn)氣象條件和空中標(biāo)準(zhǔn)氣象條件兩部分。

2.3.1 地面標(biāo)準(zhǔn)氣象條件

氣溫t0N=15℃ 地面空氣密度 ρ0N=1．206kg·m-3

氣壓 Pe0N=846．3Pa 地面虛溫 τ0N=288．9K

相對(duì)濕度φ=50%

音速 cs0N=341．1m·s-1

無(wú)風(fēng)無(wú)雨

2.3.2 空中標(biāo)準(zhǔn)氣象條件(＜30km)

空中氣象條件包括以下氣象諸元:

a.虛溫

在對(duì)流層(y＜9300m)

在亞同溫層(9300m＜y＜12000m)和同溫層(12000m ＜y＜30000m)有不同的解析式，由于迫彈高程受限，所以本文不贅述。

b.空氣密度函數(shù)H(y)

根據(jù)外彈道理論，對(duì)前蘇聯(lián)1943年阻力定律有經(jīng)驗(yàn)公式:

y＜9300m時(shí)，

此經(jīng)驗(yàn)公式有足夠的精度保證。

c.虛擬阻力函數(shù)G(v)

G(v)函數(shù)為分段函數(shù)，仿真中可以用邏輯函數(shù)的形式進(jìn)行表述，可以使程序簡(jiǎn)潔可讀性高。

另外在＜30km高度內(nèi)無(wú)風(fēng)無(wú)雨。

3 彈道仿真結(jié)果分析

本文選擇的炮彈種類為國(guó)產(chǎn)PP89式100mm迫擊炮進(jìn)行仿真，該炮的參數(shù)現(xiàn)已公開(kāi)，口徑100mm，初速308m/s，最大射程6.4km，射角范圍:45°～80°，彈質(zhì)量 8kg［6］。

仿真中將氣象條件涉及的氣象諸元函數(shù)代入，并取彈道系數(shù)Cb=0.8613，積分步長(zhǎng)h=0.2s，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3-圖6。

圖3 射角 θ0=45°/50°時(shí)t-y彈道曲線

圖4 射角θ0=45°/50°時(shí)x-y彈道曲線

圖5 射角θ0=55°/60°時(shí)速度v曲線

圖6 射角θ0=45°/50°時(shí)彈道傾角曲線

PP89式 100mm迫彈在 45°下最大射程為6.4km，仿真結(jié)果為6448m。絕對(duì)誤差為52m，相對(duì)誤差為52/6400=0．812% ，說(shuō)明該仿真模型能符合實(shí)際的實(shí)驗(yàn)效果，具有很高的可行性和可靠性。

從仿真結(jié)果來(lái)看，彈道特性完全符合空氣彈道的一般特性，當(dāng)初速、射角、彈道系數(shù)一定時(shí)，就可以確定一條彈道曲線。因此，只要改變模型中相應(yīng)參數(shù)就可以得到任一初速、任一射角下的彈道諸元［7］。隨著射角大小的改變，彈丸飛行時(shí)間、射程、彈道高程、落點(diǎn)速度都會(huì)做出相應(yīng)的改變。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文先建立迫彈運(yùn)動(dòng)質(zhì)心模型，使用Matlab對(duì)迫彈彈道進(jìn)行仿真，解算出彈道及部分參數(shù)的變化曲線仿真結(jié)果，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于建立模型比較簡(jiǎn)單，仿真精度比較高，同時(shí)程序可移植性高，曲線較完整地描述了彈丸運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，對(duì)迫彈研制、安全飛行試驗(yàn)和落點(diǎn)散布研究等有著積極的意義。

［1］李新國(guó)，方群.有翼導(dǎo)彈飛行動(dòng)力學(xué)［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社.2005.

［2］馬利兵，林都.基于Matlab的外彈道模型仿真研究［J］.中北大學(xué)學(xué)報(bào).2006，27(5):142-145.

［3］徐明友.火箭外彈道學(xué)［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2004.

［4］ 李丹.四階龍格-庫(kù)塔法在火控解算中的應(yīng)用［J］.微計(jì)算機(jī)信息.2011，27(3):192-193.

［5］ 韓子鵬等.彈箭外彈道學(xué)［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社.2008.

［6］國(guó)產(chǎn) PP89式100mm炮擊炮［J］.輕兵器.2001，(12):45.

［7］段文龍，彭杰剛.基于Matlab/Simulink的彈丸外彈道6自由度運(yùn)動(dòng)仿真［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào).2009，23(4):146-149.