吳英俊

（南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 南京 210023）

1 引言

電力系統(tǒng)安全遭到破壞將導(dǎo)致巨大的經(jīng)濟(jì)損失，因此保障系統(tǒng)安全十分重要[1]-[5]。傳統(tǒng)靜態(tài)安全分析方法“逐點(diǎn)法”針對(duì)給定功率注入和故障條件，采用數(shù)值仿真、特征值計(jì)算或能量函數(shù)法等方法來分析電力系統(tǒng)的安全性。這類方法是當(dāng)前工業(yè)界進(jìn)行靜態(tài)安全分析最主要和最實(shí)用的方法，但其缺點(diǎn)亦很多，比如功率注入給定的人為主觀性、選擇故障集的歷史經(jīng)驗(yàn)性和計(jì)算過程的耗時(shí)低效。另外這類方法只針對(duì)一個(gè)或多個(gè)事件，無法對(duì)系統(tǒng)的安全性進(jìn)行全局性分析。

安全域能提供豐富的安全信息，因而自 E.Hnyilicza 等人提出這一概念以來[6]，便受到了大量關(guān)注。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]分別給出了靜態(tài)安全域的隱式表達(dá)和顯式表達(dá)。在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]對(duì)系統(tǒng)安全約束進(jìn)行分組，提出了有功趨于最大直觀安全域。文獻(xiàn)[10，11]研究了直角坐標(biāo)形式潮流方程的一般結(jié)構(gòu)，給出了刻劃靜態(tài)安全域的一次和二次近似公式。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于快速解耦潮流模型計(jì)算電力系統(tǒng)靜態(tài)安全域的新的分組擴(kuò)展算法，并在算法中考慮 N-1安全約束。文獻(xiàn)[13]采用線性規(guī)劃方法，求得了各發(fā)電機(jī)有功調(diào)節(jié)范圍之和最大的安全域。類似于文獻(xiàn)[13]，文獻(xiàn)[14，15]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解非線性規(guī)劃問題，求得了各發(fā)電機(jī)有功調(diào)節(jié)范圍的乘積的安全域。另外電力系統(tǒng)中存在大量的不確定性，文獻(xiàn)[16，18]利用隨機(jī)變量以及模糊數(shù)來描述電力系統(tǒng)中負(fù)荷的不確定性，利用置信區(qū)間的概念求解不同負(fù)荷置信度下的可伸縮靜態(tài)安全域。文獻(xiàn)[19，20]考慮了線路最大潮流約束條件的模糊性，并且采用模糊線性規(guī)劃的方法求解最大安全域。文獻(xiàn)[21]利用二次方程的性質(zhì)刻劃了安全域的分叉邊界?？傮w來講這些方法大多直接基于潮流方程，而大電網(wǎng)潮流方程的超高維數(shù)和強(qiáng)非線性造成邊界求取過程復(fù)雜且獲得的邊界表達(dá)不夠直觀。

本文提出了一種求取靜態(tài)安全域超平面組的方法。該方法線性化節(jié)點(diǎn)功率注入方程，可以快速得到近似真實(shí)節(jié)點(diǎn)功率注入安全域邊界的超平面組。通過分裂電力網(wǎng)絡(luò)把斷面潮流安全域等價(jià)為子網(wǎng)絡(luò)分裂節(jié)點(diǎn)功率注入安全域的交集，間接獲得了斷面潮流安全域邊界超平面組。仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性和正確性。

2 電力網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)安全域邊界構(gòu)成

電力系統(tǒng)靜態(tài)安全是指電力系統(tǒng)各元器件運(yùn)行在功率和電壓的安全約束范圍內(nèi)。一般來說滿足系統(tǒng)安全約束的節(jié)點(diǎn)功率注入點(diǎn)就是安全運(yùn)行點(diǎn)，安全域可等價(jià)為滿足安全約束的節(jié)點(diǎn)功率注入點(diǎn)的集合。對(duì)于某些功率注入點(diǎn)，若極小量增加或減少其某一節(jié)點(diǎn)的功率注入便不滿足安全約束，則該點(diǎn)在安全域邊界上，這些點(diǎn)的集合是安全域的邊界。圖1是一電力網(wǎng)絡(luò)示意圖，該網(wǎng)絡(luò)包含 n個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖中P+Q表示節(jié)點(diǎn)注入功率，V和θ表示狀態(tài)量（節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角）。對(duì)于圖1中電力網(wǎng)絡(luò)，安全域是對(duì)應(yīng)于狀態(tài)量Vi和 θ（ii = 1,2,…,n）存在且滿足安全約束的功率注入點(diǎn)Pi和Qi（i = 1,2,…,n）的集合。安全域的邊界是對(duì)應(yīng)于狀態(tài)量Vi和θi（i = 1,2,…,n）滿足安全約束的功率注入點(diǎn)Pi,和Qi（,i = 1,2,…,n）中，當(dāng)任一Pi,或Qi,增加或減少極小量后，至少有一個(gè)狀態(tài)量Vi或θ（ii = 1,2,…,n）不滿足安全約束的功率注入點(diǎn)的集合。

圖1 電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)功率注入示意圖Fig.1 A simple power network with nodal power injections

靜態(tài)安全約束一般包含節(jié)點(diǎn)電壓幅值約束和線路潮流約束。對(duì)于圖1中n節(jié)點(diǎn)和l條線路的電力網(wǎng)絡(luò)，其安全域邊界應(yīng)由n個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓幅值約束和l條線路潮流約束共同決定。圖2是電力系統(tǒng)靜態(tài)安全域邊界示意圖，安全域邊界由2n+2l塊子邊界構(gòu)成。其中2n塊節(jié)點(diǎn)電壓幅值約束子邊界構(gòu)成了節(jié)點(diǎn)電壓幅值約束安全域邊界，2l塊線路潮流約束子邊界構(gòu)成了線路潮流約束安全域邊界。

圖2 電力網(wǎng)絡(luò)的安全域邊界構(gòu)成示意圖Fig.2 The boundary of power system steady-state security region

由于電力系統(tǒng)的高維數(shù)，求取安全域邊界解析表達(dá)十分困難。但安全域邊界是由子邊界構(gòu)成，如能求得子邊界的解析表達(dá)，則可間接獲得安全域邊界的解析表達(dá)。求解子邊界解析表達(dá)時(shí)，為避免強(qiáng)非線性可線性化節(jié)點(diǎn)功率注入方程，用超平面近似真實(shí)的子邊界。如中，V2min和 V2max對(duì)應(yīng)的超曲面安全域子邊界可由超平面H1和H2來近似。

3 節(jié)點(diǎn)功率注入方程線性化

對(duì)圖1中電力網(wǎng)絡(luò)，列寫節(jié)點(diǎn)功率注入方程：

把式（1）寫成下面的緊湊形式

經(jīng)等價(jià)變換，把式（2）變換成以節(jié)點(diǎn)功率注入為變量的電壓幅值和相角的表達(dá)式。

式（3）的求取，數(shù)學(xué)上是求取式（2）的逆映射。求取逆映射前，先給出逆映射存在定理。

定理1：對(duì)于映射f：X→Y，當(dāng)且僅當(dāng)映射f為一一映射時(shí)，其存在逆映射f-1：Y → X；當(dāng)映射f為多對(duì)一映射時(shí)，其不存在逆映射。

事實(shí)上，式（2）是從 V-θ空間到 P-Q空間的多對(duì)一映射。由定理1可知，式（3）是不存在的，即V-θ空間到P-Q空間的逆映射不存在。

一般情況下電力系統(tǒng)運(yùn)行在點(diǎn)（V = 1,θ = 0）附近。在點(diǎn)（V = 1,θ = 0）的小鄰域內(nèi)，從V-θ空間到P-Q空間的映射是一一映射。因此，在V-θ空間，運(yùn)行點(diǎn)（V = 1,θ = 0）的某一鄰域內(nèi)式（2）的逆映射存在。

下面采用一種新方法來線性化節(jié)點(diǎn)功率注入方程組（1）。線路潮流的計(jì)算式為

式中，Pij和Qij分別為支路ij的有功潮流和無功潮流。

重寫（4）為

式中， Γ1= Vjc osθij- Vi， Γ2= Vjs in θij。

在點(diǎn)（V = 1,θ = 0）的小鄰域內(nèi)， Vi=1，得到

進(jìn)一步利用 cosθij=1，得到 Γ1= Vj- Vi。利用Vj=1和sin θij= θi- θj,得到Γ2= Vjs in θij。最終可得

對(duì)節(jié)點(diǎn)i應(yīng)用基爾霍夫定律可以得到

對(duì)于圖1中電力網(wǎng)絡(luò)，寫成矩陣形式

寫成矩陣形式

假設(shè)節(jié)點(diǎn)0為參考節(jié)點(diǎn)。則在（10）中，有V0= 1 和and θ0= 0。該參考節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角代入（10），得到除參考節(jié)點(diǎn)外其他節(jié)點(diǎn)的功率注入和電壓幅值與相角之間的線性關(guān)系。

式中，G0=（G10,G20… Gn0）T， BG0=（BG10,BG20…BGn0）T。

為形式簡潔，重寫（11）為

基于式（12），可以得到下式

式（13）給出了以節(jié)點(diǎn)功率注入表達(dá)的電壓幅值和相角方程，是經(jīng)線性化后得到的狀態(tài)量空間到節(jié)點(diǎn)功率注入空間的線性映射。下面以圖3中簡單單機(jī)單負(fù)荷系統(tǒng)作為例子來說明采用的線性化方法的合理性。系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)和負(fù)荷都用恒功率注入表示，線路參數(shù)G+jB = 1.361 5-j5.037 4。

圖3 簡單單機(jī)單負(fù)荷系統(tǒng)Fig.3 A single-generator single-load system

圖4給出了采用和不采用線性化節(jié)點(diǎn)功率注入方程時(shí)節(jié)點(diǎn)注入有功-無功空間與節(jié)點(diǎn)電壓-相角空間之間關(guān)系的平面和曲面（發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)，因此安全域空間為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)功率注入空間）。從圖中可以看出在運(yùn)行點(diǎn)（VD= 1,θD= 0）的鄰域內(nèi)，曲面和平面基本重合。

表1和表2給出了采用式（1）和式（13）得到的簡單單機(jī)單負(fù)荷系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)功率注入和電壓之間的關(guān)系的比較，即采用本文所提線性化方法和不采用線性化方法得到的節(jié)點(diǎn)功率注入和電壓之間的關(guān)系的比較。在點(diǎn) {Vi= 1; θi= 0 | i = 1,2,…,n}的鄰域內(nèi)，即在電壓范圍為[0.9 1.1]和電壓相角范圍為[-10°,10°]時(shí)，利用采用式（1）和式（13）得到的節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角有誤差，但是誤差較小。因此，從工程實(shí)際來講，本文所提線性化方法具有可行性。

圖4 狀態(tài)量-控制量曲面和平面比較Fig.4 Comparisons of security regions characterized by hyper-surfaces and hyper-planes

表1 節(jié)點(diǎn)電壓幅值比較Tab.1 Comparison of Values of Voltage Amplitude

表2 節(jié)點(diǎn)電壓相角比較Tab.2 Comparison of Values of Voltage Angle

4 節(jié)點(diǎn)功率注入安全域

電力網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)安全約束為：

（1）PQ節(jié)點(diǎn)的電壓幅值約束

（2）采用類似于文獻(xiàn)[8]的方法，潮流約束用關(guān)聯(lián)矩陣來表示

式中，δ 為線路最大允許相角差。

重寫式（15）為如下形式

線路潮流約束是線路相角差函數(shù)，變換式（16）得到

把安全約束限值 Vmax，Vmin，-δ和 δ代入式（17），便得到近似真實(shí)安全域的子邊界的超平面組。

5 基于安全域的安全性分析

5.1 安全性與安全裕度

在分析運(yùn)行點(diǎn)的安全性（位置）和安全裕度（到邊界距離）之前，先給出如下定理。

定理2：n維空間Rn中一點(diǎn)P0(x10,x20,…,xn0)到超平面S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…,an≠ 0)的距離為

由于運(yùn)行點(diǎn)可分為安全和不安全，因此這里去掉距離公式中的絕對(duì)號(hào)，以表征系統(tǒng)的安全性。求得的距離是一個(gè)帶有符號(hào)的數(shù)值，可稱為“方向距離”。符號(hào)表征運(yùn)行點(diǎn)處于安全域邊界的安全側(cè)或是不安全側(cè)，數(shù)值表征到邊界的絕對(duì)距離。

5.2 超長方體安全域

為說明表征節(jié)點(diǎn)最小功率注入裕度的超長方體安全域的求法，先給出如下定理。

定理 3：n維空間 Rn中一點(diǎn) P0(x10,x20,…xn0)，超平面 S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…an≠0)。超平面S的法向量為= [ a1,a2,… ,an]。點(diǎn)P0到超平面S的方向距離為，則在各個(gè)坐標(biāo)的投影為。

對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)為 n+1的電力網(wǎng)絡(luò) f，假設(shè)其一運(yùn)行點(diǎn)O，利用定理2和定理3求得各節(jié)點(diǎn)功率注入變

式（20）表示的超長方體安全域是由所有節(jié)點(diǎn)功率注入最小裕度構(gòu)成的超長方體安全域。

6 斷面潮流安全域

直接求取斷面潮流安全域邊界是不可行的，因此可把求解斷面線路潮流安全域轉(zhuǎn)化為求解節(jié)點(diǎn)功率注入安全域。下面提出一種與節(jié)點(diǎn)分裂法[22]相似的網(wǎng)絡(luò)分裂法，該方法分裂電力網(wǎng)絡(luò)后得到的兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)都保留聯(lián)絡(luò)線和分裂節(jié)點(diǎn)。如分裂圖5a中的電力網(wǎng)絡(luò)后得到圖5b中的子網(wǎng)絡(luò)-A和子網(wǎng)絡(luò)-B。子網(wǎng)絡(luò)-A中分裂節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，和，子網(wǎng)絡(luò)-B中分裂節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)和。

圖5 斷面聯(lián)絡(luò)線節(jié)點(diǎn)分裂電力網(wǎng)絡(luò)Fig.5 A new network splitting method

對(duì)每個(gè)獨(dú)立電力網(wǎng)絡(luò)而言，其分裂節(jié)點(diǎn)的功率注入安全域是只考慮該獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)安全約束時(shí)的安全域，因此原網(wǎng)絡(luò)斷面潮流安全域等價(jià)于兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的分裂節(jié)點(diǎn)的功率注入安全域的交集。

7 算例

7.1 節(jié)點(diǎn)功率注入安全域超平面組求取算例

下面以IEEE 14-節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例來求取功率注入安全域。該系統(tǒng)共有5臺(tái)發(fā)電機(jī)和11個(gè)負(fù)荷，節(jié)點(diǎn)1 為平衡節(jié)點(diǎn)，安全約束為 Vi∈ [0.9,1.1]，θij∈ [-10°,10°]，其中 i,j ∈(2,3,…,14)。表 3 給出了系統(tǒng)的 3個(gè)運(yùn)行點(diǎn)。

表4給出了三個(gè)運(yùn)行點(diǎn)到所有超平面的方向距離。由此可知運(yùn)行點(diǎn)1在所有超平面的安全側(cè)；運(yùn)行點(diǎn)2在節(jié)點(diǎn)14的電壓幅值約束安全域邊界超平面和線路7-8的線路潮流約束安全域邊界超平面的非安全側(cè)；運(yùn)行點(diǎn)3在線路7-8的線路潮流約束安全域邊界超平面的非安全側(cè)。為驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行潮流計(jì)算，表5給出了潮流計(jì)算結(jié)果。從表5中可以看出，運(yùn)行點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)14電壓幅值和線路7-8線路潮流都在安全范圍內(nèi)；運(yùn)行點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)14電壓幅值和線路7-8線路潮流都越下限；運(yùn)行點(diǎn)3線路7-8線路潮流越下限。

表6給出了運(yùn)行點(diǎn)1的超長方體安全域。圖6和圖7給出了運(yùn)行點(diǎn)1的節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)8有功功率注入空間的子安全域和安全域可視化圖形。

圖6 節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)8有功功率注入空間子安全域Fig.6 Nodal active power injection security sub-regions in the space of Bus-3 and Bus-8

圖7 節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)8有功功率注入空間安全域Fig.7 Nodal active power injection security region in the space of Bus-3 and Bus-8

表3 IEEE 14-節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)功率注(BaseKVA =100,p.u.)Tab.3 Nodal power injections of IEEE 14-bus system(BaseKVA =100,p.u.)

表4 運(yùn)行點(diǎn)到超平面的距離Tab.4 Distances from operation points to hyper-planes

θ5-θ60.652 3-0.278 8 0.634 1 -0.297 1 0.574 8 -0.356 4 θ6-θ111.028 6-1.152 0 0.965 4 -1.215 1 0.955 1 -1.225 4 θ6-θ121.091 7-0.941 0 1.093 5 -0.939 2 1.078 8 -0.953 9 θ6-θ131.693 8-1.488 5 1.677 0 -1.505 2 1.657 7 -1.524 6 θ7-θ80.220 5-1.760 5-0.279 5 -2.260 5 -0.279 5-2.260 5 θ7-θ92.064 1 -0.9466 2.302 6 -0.708 1 2.228 8 -0.781 9 θ9-θ102.200 3-1.915 5 2.252 3 -1.863 5 2.260 0 -1.855 8 θ9-θ141.008 9-0.634 0 1.096 0 -0.546 9 1.058 9 -0.584 0 θ10-θ111.342 1-1.136 0 1.412 5 -1.065 7 1.423 4 -1.054 7 θ12-θ131.231 6-1.257 6 1.215 8 -1.273 4 1.218 8 -1.270 4 θ13-θ140.788 1-0.862 1 0.768 7 -0.881 4 0.723 4 -0.926 7

運(yùn)行點(diǎn)1 運(yùn)行點(diǎn)2 運(yùn)行點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)-14電壓幅值 1.019 0.831 1.014線路7-8有功潮流 -7.100 -13.423 -11.842

表6 運(yùn)行點(diǎn)1時(shí)的超長方體安全域(p.u.)Tab.6 Hyper-cube for operation point 1 (p.u.)

7.2 線路潮流安全域超平面組求取算例

下面求解 IEEE 118-節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)中線路15-33，19-34，30-38和23-24組成的斷面的線路潮流安全域。分裂該系統(tǒng)成由線路 15-33’、19-34’、30-38’、23-24’和區(qū)域-A構(gòu)成的子網(wǎng)絡(luò)-A和由線路15’-33、19’-34、30’-38、23’-24 和區(qū)域-B 構(gòu)成的子網(wǎng)絡(luò)-B，求取每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)功率注入安全域。節(jié)點(diǎn) 33’、34’、38’和節(jié)點(diǎn) 24’的功率注入構(gòu)成的子安全域即為原網(wǎng)絡(luò)斷面聯(lián)絡(luò)線潮流只考慮區(qū)域-A和斷面的安全約束下的安全域，節(jié)點(diǎn)15’、19’、30’和 23’的功率注入構(gòu)成的子安全域即為原網(wǎng)絡(luò)斷面聯(lián)絡(luò)線潮流只考慮區(qū)域-B和斷面的安全約束下的安全域。因此，原網(wǎng)絡(luò)斷面線路潮流安全域等價(jià)于兩個(gè)子安全域的交集。

圖8 IEEE 118-節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)Fig.8 IEEE 118-bus test system

圖9給出了線路 23-24和線路30-38潮流的子安全域的可視化圖形。

圖9 線路23-24和線路30-38潮流安全域Fig.9 Interface power flow security region in the space of Line 23-24 and Line-30-38

8 結(jié)論

（1）靜態(tài)安全域邊界包括電壓幅值約束安全域邊界和線路潮流約束安全域邊界。電壓幅值約束安全域邊界和線路潮流約束安全域邊界又可分成約束上限子邊界和約束下限子邊界。

（2）在點(diǎn)（V = 1，θ = 0）的小鄰域內(nèi)，線性化節(jié)點(diǎn)功率注入方程，得到了從節(jié)點(diǎn)注入有功-無功空間到節(jié)點(diǎn)電壓-相角空間的線性關(guān)系，提出了用超平面組來近似節(jié)點(diǎn)功率注入安全域邊界的方法。分析了運(yùn)行點(diǎn)的安全性和裕度，利用空間向量分解法，給了超長方體安全域概念。

（3）提出了一種新的分裂電力網(wǎng)絡(luò)的方法，分裂后兩個(gè)子電力網(wǎng)絡(luò)都保留了分裂線路，把網(wǎng)絡(luò)斷面潮流安全域等價(jià)為分裂后子網(wǎng)絡(luò)分裂節(jié)點(diǎn)安全域的交集，間接地獲得到線路潮流安全域邊界超平面組。

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