王玉婷 劉樹林 馬一博 趙永秀

（西安科技大學電氣與控制工程學院 西安 710054）

1 引言

應用于煤礦等危險環(huán)境的電氣設備必須滿足防爆的要求[1]，本質安全是最佳的防爆型式，因此，防爆電氣設備盡可能設計成本質安全型[2]。目前，評價電氣設備本質安全性能的方法主要有兩種：爆炸性試驗方法和非爆炸性判斷方法[3]。爆炸性試驗方法不能給相關研究提供理論指導，大大地限制了本安型裝置的研發(fā)和推廣應用。而非爆炸性判斷方法可避免爆炸性試驗方法的不足，為本質安全電路的設計提供的理論指導[4]。其中，最小點燃曲線是非爆炸性判斷方法的重要依據(jù)和核心內(nèi)容。

目前，有關最小點燃曲線的報道僅限于對該類曲線修正方面的研究[5,6]，而對于最小點燃曲線的數(shù)值化，還未見到相關報道。本質安全電路的設計通常是已知部分性能指標或元器件參數(shù)，通過查表得到滿足本安的臨界數(shù)值[7]，再依據(jù)本質安全要求，并考慮一定的安全系數(shù)，對其余元件參數(shù)進行合理設計。但是，這種方法不但存在很大的誤差，且因人而異，使用不便。因此，研究基于 PC平臺的數(shù)值化本安評價系統(tǒng)是評價電氣設備本安性能的必然趨勢。而最小點燃曲線的數(shù)值化是銜接手動查詢原始實驗曲線的判斷方法和基于 PC平臺的本安評價系統(tǒng)的基礎，所以對最小點燃曲線數(shù)值化的研究十分重要和必要。

為此，本文將利用Matlab中的Cftool將簡單電容電路的臨界點燃曲線轉化成一可查詢的函數(shù)，用該函數(shù)求得對應參數(shù)來代替手動查表的過程，從而實現(xiàn)最小點燃曲線查詢的數(shù)值化和方便快捷，可為非爆炸性本安評價系統(tǒng)的設計奠定良好基礎，對本質安全電氣設備的設計及推廣應用具有重要意義。

2 簡單電容電路的最小點燃電壓曲線

針對本安問題的研究，可將電路分為簡單電路和復雜電路，簡單電路又分為簡單電阻、電容及電感電路。對于簡單電路的本安性能，可直接采用相應的最小點燃曲線進行判斷。最小點燃電壓曲線是針對簡單電容電路，以電容量和點燃電壓為坐標的曲線[8]，如圖1所示[1]。

圖1 I類電容電路最小點燃電壓曲線Fig.1 Minimum ignition voltage curve of the capacitive circuit

對于簡單電容電路，根據(jù)電路中電容量的值便可以查得該電路的最小點燃電壓值，但不能直接用于工程設計，必須要考慮適當?shù)陌踩禂?shù)，具體公式如下：

設計最大允許電流（電壓）=曲線查得的最小點燃電流（電壓）/安全系數(shù)

圖1中的左下角為對簡單電容電路進行爆炸性試驗的等效電路。圖中包含有4條曲線，分別對應R=0、5.6Ω、15Ω、40Ω。從圖1中可見，隨著限流電阻的增加，對應的最小點燃電壓也隨著增加，即其本安性能也隨之提高。本文將對最危險情況（R=0）對應的點燃電壓曲線的數(shù)值擬合方法進行研究。

3 基于Cftool工具箱的最小點燃電壓曲線數(shù)值化

3.1 基于Cftool工具箱的曲線擬合與數(shù)值化流程

擬合工具箱 Cftool是用戶圖形界面 GUI和Matlab內(nèi)部M函數(shù)的集成[9]，可對數(shù)據(jù)進行分段、平滑等預處理；可使用樣條法等插值法對非參變量進行數(shù)據(jù)擬合，具有將可視化與數(shù)值化相結合的特點[10]。

Cftool工具箱的使用方法為：啟動 Cftool，進入曲線擬合工具箱界面“Curve Fitting tool”，打開data窗口，讀入需要擬合的數(shù)據(jù)點數(shù)組，數(shù)組中的數(shù)據(jù)會顯示在工具箱界面的坐標系下。在Fitting窗口中新建一個fit，然后在“Type of fit”菜單中選擇需要的擬合曲線類型。Cftool工具箱提供的擬合類型有用戶自定義函數(shù)類型、指數(shù)逼近、傅里葉逼近、高斯逼近、插值逼近、多項式逼近、冪逼近和有理數(shù)逼近等等。根據(jù)數(shù)據(jù)特征和用戶的需要選擇合適的擬合類型，點擊“Apply”，Results框中會顯示擬合結果。

對Cftool工具箱的擬合結果，通過編程來查詢擬合結果中的任意值，從而實現(xiàn)最小點燃電壓曲線的數(shù)值化。

最小點燃電壓曲線數(shù)值化的思路為：首先，在最小點燃電壓曲線取一些合適的點，讀取各點對應的最小點燃電壓及電容值，再將所讀取的數(shù)據(jù)轉換為對數(shù)；其次，使用Cftool對轉化后的數(shù)據(jù)進行擬合；最后，利用Matlab程序設計，實現(xiàn)對擬合結果的數(shù)值查詢。

3.2 曲線擬合的原理及方法

曲線擬合（curve fitting）是一種用解析表達式逼近平面上離散點組的數(shù)據(jù)處理方法。在實際工程應用和科學實踐中，經(jīng)常需要尋求兩個（或多個）變量間的關系，而實際卻只能通過觀測得到一些離散的數(shù)據(jù)點，曲線擬合是針對這些分散的數(shù)據(jù)點，運用擬合方法生成一條連續(xù)的曲線，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。

曲線擬合可分為參數(shù)擬合和非參數(shù)擬合，參數(shù)擬合是做曲線的最佳逼近，擬合函數(shù)不需要經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點，而在非參數(shù)擬合中，認為已知點是準確的，擬合過程主要是用不同的方法來求取描述點之間的數(shù)據(jù)，從而得到擬合曲線。插值法是非參數(shù)擬合中收斂性較好的一種方法，它包括拉格朗日插值、牛頓插值、埃爾米特插值、分段低次插值和三次樣條插值等[11]。拉格朗日插值多項式直接顯示了與插值節(jié)點的關系，使用更加方便，適應于理論應用。牛頓插值法具有承襲性，每增加一個點，只需在原來的結果上加上一項即可。埃爾米特插值和三次樣條插值多用于計算[12,13]。通過對各種方法的擬合結果進行分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)擬合很難完整的描述本文數(shù)據(jù)的特征，而非參數(shù)擬合中的三次樣條插值擬合結果和原曲線最為相似。因此，本文選擇三次樣條插值法。

三次樣條插值法帶有導數(shù)條件，求得的插值函數(shù)與原始數(shù)據(jù)更吻合，而且具有一階、二階導數(shù)的收斂性質，因而在曲線擬合中被廣泛應用。但是實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界（邊界點的導數(shù)為0），夾持邊界（邊界點導數(shù)給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。目前，最小點燃曲線中電壓和電容的關系只能根據(jù)實驗結果測得，沒有確定的理論推斷，因此在邊界處的導數(shù)條件沒有相關的理論依據(jù)。所以，本文的 3.3小節(jié)中的邊界條件采用默認的自然邊界條件。

3.3 電容電路最小點燃曲線的擬合

要實現(xiàn)基于計算機的非爆炸評價方法，必須對最小點燃曲線進行擬合，實現(xiàn)最小點燃曲線查詢部分的數(shù)字化。

本文以圖1中R=0Ω的曲線為例進行擬合研究。首先，讀取曲線上最小點燃電壓對應的電容值，將uk存入數(shù)組 U，ck存入數(shù)組 C（k=0,1,2,…,12），其中U為最小點燃電壓值，單位為V；C為對應的電容量，單位為μF。

U=(10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400);

C=(4300 24 8 4.1 2.5 1.7 1.3 1.05 0.81 0.66 0.205 0.105 0.07);

其次，根據(jù)三次樣條插值法對該組數(shù)據(jù)進行處理。將最小點燃曲線的數(shù)據(jù)分為兩個部分進行插值法求解，第一部分為u0～u9（電壓值為10～100的數(shù)據(jù)點），第二部分為u9～u12（電壓值為100～400的數(shù)據(jù)點）。

參照文獻[10]中求解三次樣條插值法的公式，第一部分數(shù)據(jù)的求解過程如下：

其中， hj為相鄰電壓值之差，即步長。且 λj,mj,μj,gj滿足關系式[10]

考慮到邊界條件，可用矩陣形式將式（4）表示為

在自然邊界條件下，將式（2）、式（3）代入式（5）可得

求解式（6）可得

用三次樣條插值法求解電容量函數(shù)的基本形式為

例如在[50，60]區(qū)間，將表中及式（7）代入式（8）中可得電容量 C( u)的表達式如下所示[6]

參照第一部分數(shù)據(jù)的計算公式，可得第二部分數(shù)據(jù)的相關參數(shù)計算為

自然邊界條件下相對應的三對角方程組為

其解為 m11=-4 .17× 1 0-3,m12=3× 1 0-5。

例如在區(qū)間[200，300]上,將表中及式（12）的解代入式（8）中可得

依據(jù)上述理論，本文應用Matlab對簡單容性電路最小點燃曲線進行擬合。先將數(shù)組 U、C存入Matlab工作空間,在 Cftool工具箱中，選擇擬合數(shù)組，點擊生成數(shù)據(jù)，U、C即會顯示在擬合工具箱下的坐標系中。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，該圖中的數(shù)據(jù)走勢和圖1中相差很大，這是由于圖1的坐標軸不同于通常坐標軸，不是平均分配的，而是對數(shù)坐標。但在Cftool中的坐標是通常意義下的線性坐標，所以兩種坐標軸下的顯示數(shù)據(jù)趨勢不同，再加上之前在對數(shù)坐標系下取得的數(shù)據(jù)在 C<1000的部分比較密集且C數(shù)據(jù)跨度很大，采用Cftool中的坐標很難完整的描述所有數(shù)據(jù)的特性。而且在這種情況下，多種擬合方法的擬合結果都與實際曲線的走勢差距太大，無法擬合出比較符合數(shù)據(jù)特性的曲線。

但是在Cftool中沒有對數(shù)坐標，因此，本文在該處采用數(shù)據(jù)轉換的方法對其進行處理：對數(shù)組U和C中的數(shù)據(jù)進行取對數(shù)運算（運算結果存入u、c），然后再進行曲線擬合。由Cftool坐標系中的顯示可以看出，進行數(shù)據(jù)轉換處理之后，數(shù)據(jù)分布比較分散，數(shù)據(jù)之間的位置關系比較明顯，更容易進行曲線擬合。

在Cftool的多種擬合類型中，多項式擬合最簡單常用，且擬合函數(shù)簡單；自定義函數(shù)類型能夠根據(jù)用戶的需要設置函數(shù)類型等。而有關最小點燃曲線的擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，及對各種擬合結果的觀察分析可知，使用插值法所得的曲線與原曲線最為接近。將擬合類型設置為 interpolant，選擇其中的cubic spline擬合方式，單擊Apply，得到擬合結果如下所示：

圖2 差值擬合結果Fig.2 The interpolant fitting results

其中灰色曲線為插值擬合后的曲線，黑色點為原曲線中所取得數(shù)組經(jīng)過變換所得的值。橫縱坐標分別代表的取對數(shù)后的最小點燃電壓值和電容值。

該曲線的擬合是以三次樣條插值法為理論依據(jù)的，但是在Matlab軟件中，默認的邊界條件為非扭結邊界，因此，圖中擬合結果和前文中的計算結果近似相等。

但是，插值法是求取描述數(shù)據(jù)點之間的值的一種擬合，擬合結果不像多項式擬合一樣存在具體函數(shù)表達式。因此無法實現(xiàn)程序查詢，阻礙了非爆炸性本安判據(jù)的數(shù)字化實現(xiàn)。本文用如下語句解決這一問題：

該語句將差值擬合變?yōu)轭愃坪瘮?shù)的形式，u1為自變量，即待評價電路輸出電壓取對數(shù)后的值；c為因變量，即滿足本安要求的臨界電容量取對數(shù)后的值。interp1表示擬合方法為插值擬合，spline表示插值擬合中的具體類型為三次樣條插值。u、c為需要插值擬合的數(shù)組。

將等效電容值及相關參數(shù)經(jīng)過變換帶入c中，將得出的數(shù)值進行反對數(shù)運算，即可得到滿足本安要求的參數(shù)范圍，運算結果既可指導本安儀器的設計，也可將實際電路參數(shù)與所得參數(shù)范圍相比較，得到電路的輸出本安特性。

4 曲線擬合的應用

綜合上述分析，可以得到容性電路的最小點燃電壓曲線的擬合結果，并以程序實現(xiàn)對擬合曲線的函數(shù)查詢：輸入不同的Vi值，即可得到對應的電容值。

為了驗證擬合曲線的正確性，I類電容電路在最小點燃電壓值為13V、33V、130V、330V處，查最小點燃曲線讀取數(shù)據(jù)；并在相應的電壓值處，用上述方式查詢擬合函數(shù)，得到對應的電容值。數(shù)據(jù)結果對比如下表所示：

表 軟件查詢和查曲線讀取數(shù)據(jù)的結果對比Tab.The comparison between software query results and inquiring the curve data

從上表的對比結果可以得出查曲線讀取數(shù)據(jù)和查詢擬合函數(shù)所得的結果誤差在 5%以內(nèi)，因此，擬合曲線和原曲線擬合程度很高，該擬合查詢函數(shù)可以用于軟件實現(xiàn)最小點燃曲線的查詢。

5 結論

利用Matlab中Cftool工具箱對最小點燃曲線進行了擬合研究，得出了相應的擬合曲線以及曲線的函數(shù)查詢方法，進而實現(xiàn)了非爆炸性判斷方法的數(shù)值化和軟件化。該結論為本安評價系統(tǒng)的軟件設計奠定了一定的基礎，同時也減小了查曲線讀取數(shù)據(jù)的人為誤差。通過將在最小點燃曲線上讀取的電壓值和電容量以對數(shù)來表示解決了被擬合數(shù)據(jù)和Cftool工具箱坐標不相符的問題，而且將在最小點燃曲線上讀取的數(shù)據(jù)分為兩部分，以三次樣條插值法進行擬合，得到了最接近實驗曲線的擬合結果，最后應用程序設計實現(xiàn)了對最小點燃曲線的數(shù)值化查詢。最小點燃曲線作為非爆炸性本安判據(jù)的理論依據(jù)，不僅在本質安全電路的設計具有指導意義，而且是電路本安性能的判斷的重要準則。簡單電容電路最小點燃曲線的數(shù)值化擬合實現(xiàn)，為實現(xiàn)基于PC平臺的本安評價系統(tǒng)架好了橋梁，對實現(xiàn)本安評價的軟件化具有非常重要的意義。

文中的方法可推廣應用到對阻性、感性電路的最小點燃曲線及其它曲線的擬合和數(shù)值化。

[1] 中國強制性國家標準匯編[S].電工卷,GB 3846.4—2000,中國標準出版社,2011.

[2] 劉樹林,劉健.本質安全開關變換器[M].北京: 科學出版社,2008.

[3] 劉樹林,崔強,李勇.Buck變換器的輸出短路火花放電能量及輸出本質安全判據(jù)[J].物理學報,2013,16(62): 1-10.Liu Shulin,Cui Qiang.Output short-circuit spark discharging energy and output intrinsic safety criterion of Buck converters[J].Acta Physical Sinica,2013,16(62): 1-10.

[4] 劉樹林,鐘久明,劉健.Buck-Boost變換器的最小電感和電容設計考[J].電工技術學報,2011,26(2):114-120.Liu Shulin,Zhong Jiuming,Liu Jian.Design considerations of the minimum inductance and capacitance of Buck-Boost converters[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2011,26(2):114-120.

[5] 孟慶海,胡天祿.低壓電感電路最小點燃電流和電感之間的關系[J].西安礦業(yè)學院院報,1998,18(4):370-373.Meng Qinghai,Hu Tianlu.Analysis of relation between minimum ignition current and reluctance in low voltage circuits[J].Journal of Xi’an MiningInstitute,1998,18(4): 370-373.

[6] Widginton D W,項云林.本安點燃曲線近期的一些研究[J].爆炸性環(huán)境電氣防爆技術,1993(1): 25-28.Widginton D W,Xiang Yunlin.Some recent study of intrinsic safety ignition curve[J].Electric Explosion Protection,1993(1): 25-28.

[7] 劉樹林,劉健,寇蕾.開關變換器的本質安全特性分析與設計[J].電工技術學報,2006,21(5): 36-41.Liu Shulin,Liu Jian,Kou Lei.Intrinsically safe behavior of switching converters and its design[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2006,21(5): 36-41.

[8] 劉樹林,鐘久明,樊文斌,等.電容電路短路火花放電特性及其建模研究[J].煤炭學報,2012,37(12):2123-2128.Liu Shulin,Zhong Jiuming,Fan Wenbin,et al.Short circuit discharge behavior of the capacitive circuit and its mathematical model[J].Journal of China Coal Society,2012,37(12): 2123-2128.

[9] 董辰輝,彭雪峰.Matlab2008全程指南[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009.3.

[10] 唐家德.基于Matlab的非線性曲線擬合[J].計算機與現(xiàn)代化,2008(6): 15-19.Tang Jiade.Non linear curve fitting based on Matlab[J].Computer and Modemization,2008(6):15-19.

[11] 龍熙華.數(shù)值分析[M].西安: 陜西科學技術出版社,2005.

[12] 劉世忠.用網(wǎng)絡拓撲和三次樣條插值法計算復雜的非線性電阻網(wǎng)絡[J].電工技術學報,1992(3): 30-34.Liu Shizhong.Calculation of complicated nonlinear resistive networks by application of network topology and cubic spline method[J].Transactions of China Electrotechnical Society,1992(3): 30-34.

[13] 王成山,李鵬,等.一種計及多重開關的電力電子時域仿真插值算法[J].電工技術學報,2010,25(6):83-88.Wang Chengshan,Li Peng.et al.An interpolation algorithm for time-domain simulation of power electronics circuit considering multiple switching events[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2010,25(6): 83-88.