欒 迪

(南京理工大學(xué)紫金學(xué)院，江蘇南京 210046)

0 引言

二級(jí)倒立擺是對(duì)準(zhǔn)確性和快速性要求很高的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng).它能有效地反映諸如可鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等許多控制中的關(guān)鍵問(wèn)題，是檢驗(yàn)各種控制理論的理想模型[1～2].最優(yōu)控制是控制理論中非常熱門(mén)的控制方法，用它來(lái)設(shè)計(jì)二級(jí)倒立擺的控制方法，無(wú)疑成為研究的熱點(diǎn).

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，機(jī)械部分主要有小車(chē)、下擺、上擺、導(dǎo)軌、皮帶輪、傳動(dòng)皮帶等，控制對(duì)象由小車(chē)、下擺、上擺組成，電氣部分由電機(jī)、晶體管直流功率放大器、傳感器以及保護(hù)電路組成[3].

圖1 二級(jí)倒立擺物理模型示意圖

假設(shè)條件:

(1)上擺、下擺及小車(chē)都是剛體;

(2)皮帶輪與皮帶之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，傳動(dòng)皮帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象;

(3)小車(chē)的驅(qū)動(dòng)力與直流放大器的輸入成正比，忽略電機(jī)繞組中的電感;

(4)小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力正比于小車(chē)的速度;

(5)下擺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力矩正比于下擺的轉(zhuǎn)動(dòng)速度;

(6)上擺運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力矩正比于上擺對(duì)下擺的相對(duì)角速度.

1 線性二次狀態(tài)控制器(LQR)設(shè)計(jì)

1.1 線性控制器(反饋陣K)

設(shè)狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)率的形式為 u*(t)=－Kx(t)，通過(guò)使性能指標(biāo)函數(shù)即式(1)為最小，可求得狀態(tài)反饋增益陣K.最優(yōu)性能指標(biāo)滿足如式(2)的黎卡提方程[4～5].最優(yōu)性能指標(biāo)如式(3)所示.

在matlab中用以下語(yǔ)句可得狀態(tài)反饋增益陣K和滿足式(2)黎卡提方程的唯一對(duì)稱正定解P.

Q=2*eye(6)，R=1.6，

P=are(A，BB，Q)，K=inv(R)*B＇*P

可以得到結(jié)果:

k=[0.8839－91.2426 86.1288 1.0498－6.2024 11.3657 ]

綜上所述，PVT1在肝癌中明顯高表達(dá)，其表達(dá)水平與肝癌患者TACE術(shù)后緩解程度、復(fù)發(fā)和生存率密切相關(guān)，可作為預(yù)測(cè)肝癌患者TACE預(yù)后的潛在分子標(biāo)志物。

計(jì)算最小性能指標(biāo):

x0=[0，15*pi/180，10*pi/180，0，0，0]＇;%初始條件，J=0.5* x0*P* x0＇

得到 J=4.4146.

圖2 LQR法各狀態(tài)變量響應(yīng)曲線

1.2 仿真結(jié)果

從仿真曲線圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，達(dá)到要求.

2 線性二次輸出控制器(LQY)設(shè)計(jì)

2.1 線性控制器(反饋陣K)

設(shè)狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)率的形式為 u*(t)=－Kx(t)，通過(guò)使性能指標(biāo)函數(shù)(式(4))為最小，可求得狀態(tài)反饋增益陣K.最優(yōu)性能指標(biāo)滿足如式(5)的黎卡提方程.最優(yōu)性能指標(biāo)如式(6)所示.

在matlab中用以下語(yǔ)句可得狀態(tài)反饋增益陣K和滿足式5黎卡提方程的唯一對(duì)稱正定解P.

計(jì)算最小性能指標(biāo):

x0=[0，15*pi/180，10*pi/180，0，0，0]＇;%初始條件，J=0.5* x0*P* x0＇

得到 J=3.8694.

圖3 LQY法各狀態(tài)變量響應(yīng)曲線

2.2 仿真結(jié)果

從仿真曲線圖3可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，滿足要求.

3 LQR與LQY法比較

為比較LQR法與LQY法的控制性能，對(duì)兩種方法進(jìn)行對(duì)比，仿真曲線如圖4所示.

圖4 LQR與LQY法各狀態(tài)變量響應(yīng)曲線對(duì)比

從仿真曲線圖4中LQR算法和LQY算法的對(duì)比來(lái)看，LQR算法比LQY算法響應(yīng)曲線好一點(diǎn)，但不是很明顯.

可是從前面的計(jì)算結(jié)果看，有:

J*(LQR)＞J*(LQY)

理論上應(yīng)當(dāng)J*(LQR)＜J*(LQY)，之所以出現(xiàn)這種情況，可能是LQR法在選擇Q陣與R陣時(shí)沒(méi)有使之達(dá)到性能最優(yōu).

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了二級(jí)倒立擺的最優(yōu)控制方法，線性二次狀態(tài)控制器(LQR)和線性二次輸出控制器(LQY)，并且給出了仿真結(jié)果.通過(guò)仿真可知，兩種控制器都能夠使得二級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定，達(dá)到預(yù)期的效果.且兩種控制方法效果相當(dāng).

[1]張葛祥，李眾立，畢效輝.倒立擺與自動(dòng)控制技術(shù)研究[J].西南工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，16(3):12－16.

[2]宋君烈，肖軍，徐心和.倒立擺系統(tǒng)的 Lagrange方程建模與模糊控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，23(4):333－337.

[3]鄭科，徐建明，俞立.基于TS模型的倒立擺最優(yōu)性能模糊控制[J].控制理論與應(yīng)用，2004，21(5):703－708.

[4]Farwig M，Zu H，Unbehauen H.Discrete Computer Control of a Triple‐ Inverted Pendulum[J].Optimal Control Applications and Methods，1990，11(2):157－171.

[5]徐雄.倒立擺系統(tǒng)的研發(fā)及基于 MATLAB的實(shí)時(shí)模糊控制[J].電子測(cè)試，2007，5:2－5.